Dual Vector Space

The dual vector space to a real vector space is the vector space of linear functions , denoted . In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

v obou případech má duální vektorový prostor stejný rozměr jako . Vzhledem k vektorovému základu existuje dvojí základ pro , písemné , kde je Kroneckerovo delta.

dalším způsobem, jak realizovat izomorfismus s , je vnitřní produkt. Reálný vektorový prostor může mít symetrické skalární součin v tomto případě vector odpovídá dual element . Pak základ odpovídá jeho dvojímu základu pouze tehdy, je-li ortonormální báze, v tomto případě . Komplexní vektorový prostor může mít Hermitian vnitřní produkt, v takovém případě je konjugát-lineární izomorfismus , tj., .

Duální vektorové prostory mohou popsat mnoho objektů v lineární algebře. Když jsou omezené dimenzionální vektorový prostor, prvek tenzorový součin , řekněme , odpovídá lineární transformaci . To znamená, že . Například transformace identity je . Je bilineární forma na , např. vnitřní produkt, je prvek .