Rolling wheelEdit
kola (někdy zobrazil jako jednokolce nebo válcování mince) je nonholonomic systému.
laické vysvětleníeditovat
zvažte kolo jízdního kola, které je zaparkováno na určitém místě (na zemi). Zpočátku je nafukovací ventil v určité poloze na kole. Pokud se kolo projede kolem a pak zaparkuje přesně na stejném místě, ventil téměř jistě nebude ve stejné poloze jako dříve. Jeho nová pozice závisí na zvolené cestě. Pokud kolo bylo holonomic, pak dřík ventilu by vždy skončit ve stejné pozici tak dlouho, jak kola byla vždy vrácena zpět na stejné místo na Zemi. Je zřejmé, že tomu tak není, takže systém je neholonomický.
Matematické explanationEdit
kola, jsou označeny. Červené a modré čáry ležely na zemi.
je možné modelovat kolo matematicky se systémem rovnic omezení a pak dokázat, že tento systém je neholonomický.
nejprve definujeme konfigurační prostor. Kolo může změnit svůj stav třemi způsoby: mít jinou rotaci kolem své nápravy, mít jiný úhel řízení a být na jiném místě. Můžeme říci, že ϕ {\displaystyle \phi }
je rotace o nápravu, θ {\displaystyle \theta }
je úhel natočení volantu vzhledem k x {\displaystyle x}
-a osy x {\displaystyle x}
a y {\displaystyle y‘}
definovat prostorové polohy. Konfigurační prostor je tedy: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta ‚ &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}
teď Musíme vztah těchto proměnných k sobě navzájem. Všimli jsme si, že když kolo mění svou rotaci, mění svou polohu. Změna rotace a pozice naznačuje rychlosti musí být přítomen, pokusíme se vztahují úhlové rychlosti a úhlu natočení volantu na lineární rychlosti tím, že jednoduché čas-deriváty vhodné podmínky:
( x, y ) = ( r, ϕ cos θ r, ϕ sin θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}
rychlost v x {\displaystyle x}
směru je rovna úhlové rychlosti krát poloměr krát kosinus úhlu řízení a y {\displaystyle y}
rychlost je podobná. Nyní děláme nějakou algebraickou manipulaci, abychom transformovali rovnici na Pfaffianovu formu, takže je možné otestovat, zda je holonomická. ( x − r, ϕ cos θ y − r ϕ sin θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}-r, {\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r, {\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}
řekněme, samostatné proměnné od jejich koeficienty (na levé straně rovnice, odvozené z výše uvedených). Také jsme si uvědomit, že vynásobíme všechny termíny o d t {\displaystyle {\text{d}}t}
takže jsme skončili s pouze rozdíly (pravá strana rovnice): ( 1 0 0 − r cos θ 0 1 0 − r sin θ ) ( x, y, θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos θ 0 1 0 − r sin θ ) ( d x d y d θ d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\right)}
Na pravé straně rovnice je nyní v Pfaffian formě:
∑ s = 1 n r y d u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle \sum _{y=1}^{n}A_{r}du_{s}=0;\;r=1,2}
Jsme nyní používat univerzální test pro holonomic omezení. Kdyby byl tento systém holonomický, museli bychom udělat až osm testů. Můžeme však použít matematickou intuici, abychom se pokusili co nejlépe dokázat, že systém je neholonomický při prvním testu. Vzhledem k testovací rovnici je:
γ ( ∂ β ∂ u α − ∂ A α v ∂ u β ) + β ( ∂ A α v ∂ u γ − ∂ K γ ∂ u, α ) + α ( ∂ K γ ∂ u β − ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}
můžeme vidět, že pokud některý z hlediska α {\displaystyle A_{\alpha }}
, β {\displaystyle A_{\beta }}
, nebo γ {\displaystyle A_{\gamma }}
byly nulové, tak, že část testu rovnice by bylo triviální řešení a bude rovna nule. Proto je často nejlepší praxí mít první testovací rovnici co nejvíce nenulových výrazů, aby se maximalizovala šance, že jejich součet nebude rovnat nule. Proto si vybereme: Α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}
β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}
γ = − r cos θ {\displaystyle A_{\gamma } =r\cos \theta }
u, α = d {x} \displaystyle u_{\alpha }=dx}
u, β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }
u γ = d ϕ {\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }
dosadíme do naší testovací rovnice:
( − r cos θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}} (r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }} (r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}
a zjednodušit:
r sin θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}
můžeme snadno vidět, že tento systém, jak je popsáno, je nonholonomic, protože sin θ {\displaystyle \sin \theta }
není vždy rovna nule.
Další conclusionsEdit
Jsme dokončili důkaz, že systém je nonholonomic, ale náš test rovnice nám dal nějaké poznatky o tom, zda systém, pokud dále omezen, může být holonomic. Mnohokrát test rovnic vrátí výsledek jako − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}
což naznačuje, že systém by mohl nikdy být omezena tak, aby byla holonomic bez radikálně měnit systém, ale v našem výsledek můžeme vidět, že r sin θ {\displaystyle r\sin \theta }
může být rovna nule, a to dvěma různými způsoby:
- r {\displaystyle r}
, poloměr kola, může být nula. To není užitečné, protože systém by ztratil všechny své stupně volnosti.
- sin θ {\displaystyle \sin \theta }
může být nula nastavením θ {\displaystyle \theta }
rovno nule. To znamená, že pokud by se kolo nesmělo otáčet a muselo by se neustále pohybovat pouze v přímce, byl by to holonomický systém.
Existuje jedna věc, kterou jsme dosud však za to, že najít všechny tyto změny pro systém, jeden musí provádět všech osm zkouška rovnice (čtyři z každé omezení rovnice) a shromažďovat všechny nedostatky shromáždit všechny požadavky pro to, aby systém holonomic, pokud je to možné. V tomto systému se ze sedmi dalších testovacích rovnic představuje další případ:
− r cos θ = 0 {\displaystyle r\cos \theta =0}
Toto nepředstavuje velké potíže, nicméně, jak dodal, rovnice a vydělením r {\displaystyle r}
výsledky: sin θ − cos θ = 0 {\displaystyle \sin \theta\cos \theta =0}
která má řešení θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} }
vrátit zpět do laického vysvětlení výše, kde se říká: „nové pozice závisí na cesta. Pokud kolo bylo holonomic, pak dřík ventilu by vždy skončit ve stejné pozici tak dlouho, jak kola byla vždy vrácena zpět na stejné místo na Zemi. Je zřejmé, že tomu tak není, takže systém je neholonomický.“Nicméně je snadné představit si, že pokud kolo bylo pouze dovoleno válet v dokonale rovnou čáru a zpět, dřík ventilu by skončit ve stejné pozici! Ve skutečnosti, pohybující se rovnoběžně s úhlem π {\displaystyle \pi }
/ 4 {\displaystyle 4}
není ve skutečnosti nutné v reálném světě, jako je orientace v souřadnicovém systému sám o sobě je subjektivní. Systém se může stát holonomickým, pokud se kolo pohybuje pouze v přímce v libovolném pevném úhlu vzhledem k danému odkazu. Tím pádem, nejenže jsme dokázali, že původní systém je neholonomický, ale také jsme dokázali najít omezení, které lze do systému přidat, aby byl holonomický.
Rolling sphereEdit
tento příklad je rozšířením výše uvažovaného problému „rolling wheel“.
Zvážit tři-dimenzionální ortogonální souřadnicové rámu, například, úroveň stolu s bodem označené na tom původu, a osy x a y stanoveny s tužkou linky. Vezměte sféru poloměru jednotky, například ping-pongovou kouli, a označte jeden bod B modře. Odpovídá tento bod je průměr koule a roviny kolmé k tomuto průměr umístěn v centru C koule definuje velký kruh nazývá rovník spojené s bodu B. Na to rovníku, vyberte další bod R a mark v červené barvě. Umístěte koule na z = 0 v rovině takové, že bod B je shodný s původem, C je umístěn v x = 0, y = 0, z = 1, a R je umístěn v x = 1, y = 0 a z = 1, tedy R rozšiřuje ve směru kladné osy x. Toto je počáteční nebo referenční orientace koule.
oblasti mohou nyní být vrácena podél libovolné spojité uzavřené cesty v z = 0 rovina, ne nutně jednoduše připojí cestu, a to takovým způsobem, že to ani pásky, ani zvraty, takže C se vrací k x = 0, y = 0, z = 1. Obecně platí, že bod B již není shodný s počátkem a bod R se již nerozkládá podél kladné osy x. Ve skutečnosti, výběr vhodné cesty, oblasti může být re-orientované od počáteční orientace na všechny možné orientace koule s C umístěn v x = 0, y = 0, z = 1. Systém je proto neholonomický. Anholonomie může být reprezentována dvojnásobně jedinečným kvaternionem (q A −q), který při aplikaci na body, které představují kouli, nese body B A R na své nové pozice.
Foucaultovo kyvadlo
dalším příkladem neholonomického systému je Foucaultovo kyvadlo. V místním souřadnicovém rámu se kyvadlo otáčí ve svislé rovině se zvláštní orientací vzhledem k geografickému severu na začátku cesty. Implicitní trajektorie systému je čára zeměpisné šířky na zemi, kde se nachází kyvadlo. I když je kyvadlo v zemském rámu stacionární, pohybuje se v rámu odkazovaném na Slunce a otáčí se synchronně se zemskou rychlostí otáčení, takže jediným zjevným pohybem kyvadla je pohyb způsobený rotací Země. Tento druhý snímek je považován za inerciální referenční rámec, i když je také neinerciální jemnějšími způsoby. O zemském rámu je dobře známo, že není inerciální, což je vnímatelné zjevnou přítomností odstředivých sil a Coriolisových sil.
Pohyb podél linie zeměpisné šířky je parametrické tím, plynutí času, a Foucault kyvadlo je rovina kmitání se zdá otočit o místní svislé osy, jak plyne čas. Úhel natočení této roviny v čase t vzhledem k počáteční orientaci je anholonomy systému. Anholonomie indukovaná úplným obvodem zeměpisné šířky je úměrná pevnému úhlu subtendovanému touto kružnicí zeměpisné šířky. Cesta nemusí být omezena na kruhy zeměpisné šířky. Kyvadlo může být například namontováno v letadle. Anholonomie je stále úměrná pevnému úhlu subtendovanému cestou, což může být nyní docela nepravidelné. Foucaultovo kyvadlo je fyzickým příkladem paralelního transportu.
Lineární polarizované světlo v optickém vlákněeditovat
vezměte délku optického vlákna, řekněme tři metry, a položte jej v naprosto přímé linii. Když je na jednom konci zaveden vertikálně polarizovaný paprsek, vystupuje z druhého konce, stále polarizovaný ve svislém směru. Označte horní část vlákna pruhem odpovídajícím orientaci vertikální polarizace.
nyní vlákno pevně naviňte kolem válce o průměru deseti centimetrů. Cesta vlákna nyní popisuje šroubovice, která má stejně jako kruh konstantní zakřivení. Šroubovice má také zajímavou vlastnost, že má konstantní kroucení. Výsledkem je postupné otáčení vlákna kolem osy vlákna, jak středová čára vlákna postupuje podél šroubovice. Odpovídajícím způsobem se pruh také otáčí kolem osy šroubovice.
Když se lineárně polarizované světlo se znovu představil na jednom konci, s orientaci polarizace souladu s pruhem, to se obecně jeví jako lineární polarizované světlo souladu ne s pruhem, ale na nějaký pevný úhel proužek, závisí na délce vláken, a výšku a poloměr šroubovice. Tento systém je také nonholonomic, můžeme snadno cívky vlákno v druhé šroubovice a sladit končí, vrací světlo do místa původu. Anholonomy je proto reprezentována odchylkou úhlu polarizace s každým obvodem vlákna. Vhodným nastavením parametrů je zřejmé, že lze vytvořit jakýkoli možný úhlový stav.
RoboticsEdit
v robotice byla nonholonomic studována zejména v oblasti plánování pohybu a linearizace zpětné vazby pro mobilní roboty.