Dual Vector Space

Posted on
MathWorld Contributors > Moslehian >
MathWorld Contributors > Rowland, Todd >

The dual vector space to a real vector space V is the vector space of linear functions f:V-R, denoted V^*. In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

kummassakin tapauksessa duaalivektoriavaruudella on sama dimensio kuin v. Vektoriperusteisesti v_1v_n for V on olemassa kaksoisperusta v^*, kirjoitettu v_1^*v_n^*, jossa v_i^* * (v_j)=delta_(ij) ja delta_(ij) on Kroneckerin delta.

toinen tapa toteuttaa isomorfismi V on sisätuotteen kautta. Reaalisella vektoriavaruudella voi olla symmetrinen sisätulo , jolloin vektori v vastaa duaalielementtiä f_v(w)=w,v. Tällöin perusta vastaa sen duaalipohjaa vain, jos se on ortonormaali perusta, jolloin v_i^*=f_(v_i). Kompleksisella vektoriavaruudella voi olla Hermitiaaninen sisätulo, jolloin f_v(w)=w,v on V kanssa V^*, ts., f_(alphav)=alpha^_f_v.

Duaalivektoriavaruudet voivat kuvata monia objekteja lineaarialgebrassa. Kun v ja W ovat äärellisiä dimensiollisia vektoriavaruuksia, tensoritulon Elementti V^* tensor W, sano suma_(ij)v_j^* tensor w_i, vastaa lineaarista muunnosta t(v)=suma_(IJ)v_j^*(V)w_i. Eli V^* tensor W=Hom(V,W). Esimerkiksi identiteettimuunnos on v_1 tensor v_1^*+...+v_n tensor v_n^ *. Bilineaarinen muoto V, kuten sisätuote, on V^* tensor V^*.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.