Valssauspyörä
pyörä (joskus visualisoidaan yksipyöräiseksi tai pyöriväksi kolikoksi) on ei-holonominen järjestelmä.
Maallikon selitys
pitää tietyssä paikassa (maassa) pysäköitynä olevaa polkupyörän pyörää. Aluksi inflaatioventtiili on tietyssä asennossa pyörässä. Jos polkupyörä on ajettu ympäri, ja sitten pysäköity täsmälleen samaan paikkaan, venttiili ei lähes varmasti ole samassa asennossa kuin ennen. Sen Uusi kanta riippuu valitusta polusta. Jos pyörä olisi holonominen, venttiilivarsi päätyisi aina samaan asentoon, kunhan pyörä rullattaisiin aina takaisin samaan paikkaan maapallolla. Tämä ei kuitenkaan selvästikään pidä paikkaansa, joten järjestelmä on epäholonominen.
matemaattinen selitysmedit
merkitään. Punaiset ja siniset viivat makasivat maassa.
on mahdollista mallintaa pyörä matemaattisesti rajoiteyhtälöiden järjestelmällä ja sitten todistaa, että kyseinen järjestelmä on nonholonominen.
ensin määritellään konfiguraatioavaruus. Pyörä voi muuttaa tilaansa kolmella tavalla: pyörimällä akselinsa ympäri eri tavalla, ohjauskulmalla eri tavalla ja olemalla eri paikassa. Voidaan sanoa, että ϕ {\displaystyle \phi }
on pyörimisliike akselin ympäri, θ {\displaystyle \theta }
on ohjauskulma suhteessa X: ään {\displaystyle x}
-Axis, ja x {\displaystyle x}
ja Y {\displaystyle y}
määrittelevät spatiaalisen sijainnin. Näin konfiguraatioavaruus on: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}
meidän on nyt suhteutettava nämä muuttujat toisiinsa. Huomaamme, että kun pyörä muuttaa pyörimistään, se muuttaa asentoaan. Pyörimis-ja asennon muutos, mikä viittaa nopeuksiin, on oltava läsnä, yritämme suhteuttaa kulmanopeuden ja ohjauskulman lineaarisiin nopeuksiin ottamalla yksinkertaisia aika-derivaattoja sopivista termeistä:
( x y ) = ( R ϕ cos θ θ r ϕ sin θ θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{C}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}
nopeus x {\displaystyle x}
suunta on yhtä suuri kuin kulmanopeus kertaa säde kertaa ohjauskulman kosinin, ja Y {\displaystyle y}
nopeus on samanlainen. Nyt teemme joitakin algebrallinen manipulointi muuttaa yhtälön pfaffian muodossa, joten on mahdollista testata, onko se holonomic. ( x − R ϕ cos θ θ Y − r ϕ sin θ θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{C}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}
erotetaanpa muuttujat niiden kertoimista (yhtälön vasen puoli, johdettu edellä). Ymmärrämme myös, että voimme kertoa kaikki termit D t {\displaystyle {\text{d}}t}
, joten päädymme vain differentiaaleihin (yhtälön oikea puoli: ( 1 0 0 − r cos θ θ 0 1 0-r sin θ θ ) ( x y θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos θ 0 1 0 − r sin θ θ ) ( D x D y d θ d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{C}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theeta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{C}{\Dot {X}}\\{\dot {y}}\\{\Dot {\theta }}\\{\Dot {\Phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{C}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-R\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{C}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\Theta \\{\text{d}}\Phi \end{array}}\right)}
yhtälön oikea puoli on nyt pfaffian-muodossa:
∑ S = 1 N A R S D u S = 0 ; r = 1 , 2 {\\displaystyle\sum _{s=1}^{n}a_{RS}du_{S}=0;\; r=1,2}
holonomisille rajoitteille käytetään nyt universaalia testiä. Jos systeemi olisi holonominen, joudumme ehkä tekemään jopa kahdeksan koetta. Voimme kuitenkin käyttää matemaattista intuitiota yrittääksemme parhaamme todistaaksemme, että järjestelmä on nonholonominen ensimmäisellä testillä. Ottaen huomioon testin yhtälö on:
γ ( ∂ β ∂ u α − ∂ A α ∂ u β ) + β ( ∂ A α ∂ u γ − ∂ A γ ∂ u α ) + A α ( ∂ A γ ∂ u β ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\osittainen A_{\beta }}{\osittainen u_{\alpha }}}-{\frac {\osittainen A_{\alpha }}{\osittainen u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\osittainen A_{\alpha }}{\osittainen u_{\gamma }}}-{\frac {\osittainen A_{\gamma }}{\osittainen u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\osittainen A_{\gamma }}{\osittainen u_{\beta }}}-{\frac {\osittainen A_{\beta }}{\osittainen u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}
voimme nähdä , että jos termeistä a α {\displaystyle a_{\Alpha}}
, a β {\displaystyle a_{\beta }}
tai γ {\displaystyle A_{\gamma}}
olivat nolla , että testiyhtälön kyseinen osa olisi triviaali ratkaistavaksi ja on yhtä kuin nolla. Siksi on usein paras käytäntö, että ensimmäisellä testiyhtälöllä on mahdollisimman monta nollasta poikkeavaa termiä, jotta niiden summa ei olisi yhtä suuri kuin nolla. Siksi valitsemme: The α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}
The β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}
The γ = − r cos θ {\displaystyle a_{\Gamma }=-r\cos \theta }
u α = D x {\displaystyle u_{\Alpha }=DX}
u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }
U γ = d ϕ {\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }
korvaamme testiyhtälömme:
( − r cos θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − t cos θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\osittainen x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\osittainen x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}
ja yksinkertaistaa:
R sin θ θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}
voimme helposti nähdä, että tämä kuvailtu järjestelmä on ei-holonominen, koska sin θ {\displaystyle \sin \theta }
ei ole aina yhtä suuri kuin nolla.
Lisähuomautuksia
olemme saaneet valmiiksi todisteemme siitä, että järjestelmä on ei-holonominen, mutta testiyhtälömme antoi meille joitakin oivalluksia siitä, voisiko järjestelmä, jos sitä edelleen rajoitetaan, olla holonominen. Monta kertaa testiyhtälöt palauttavat tuloksen, kuten − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}
mikä tarkoittaa, ettei systeemiä voida koskaan rajoittaa holonomiseksi muuttamatta systeemiä radikaalisti , mutta tuloksessamme voimme nähdä, että r sin θ θ {\displaystyle r\sin \theta }
voi olla nolla, kahdella eri tavalla:
- R {\displaystyle r}
, eli pyörän säde voi olla nolla. Tästä ei ole apua, sillä järjestelmä menettäisi kaikki vapausasteensa.
- sin θ θ {\displaystyle \sin \theta }
voi olla nolla asettamalla θ {\displaystyle \theta }
yhtä suuri kuin nolla. Tämä viittaa siihen, että jos pyörän ei sallittaisi kääntyä ja sen olisi koko ajan liikuttava vain suoralla linjalla, kyseessä olisi holonominen järjestelmä.
on kuitenkin yksi asia, jota emme ole vielä ottaneet huomioon, että löytääksemme kaikki tällaiset muutokset systeemiin on suoritettava kaikki kahdeksan testiyhtälöä (neljä jokaisesta rajoiteyhtälöstä) ja kerättävä kaikki epäonnistumiset, jotta saadaan kerättyä kaikki vaatimukset systeemin holonomiseksi, jos mahdollista. Tässä järjestelmässä seitsemästä lisätestiyhtälöstä esiintyy lisätapaus:
− r cos θ θ = 0 {\displaystyle-r\cos \theta =0}
Tämä ei kuitenkaan aiheuta suuria vaikeuksia, sillä yhtälöiden lisääminen ja jakaminen R {\displaystyle r}
tulokset: sin θ − cos θ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}
jolla on ratkaisu θ = π 4 + n π ; n ∈ z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} }
viittaa yllä olevaan maallikon selitykseen, jossa sanotaan: ”uusi sijainti riippuu valitusta polusta. Jos pyörä olisi holonominen, venttiilivarsi päätyisi aina samaan asentoon, kunhan pyörä rullattaisiin aina takaisin samaan paikkaan maapallolla. Tämä ei kuitenkaan selvästikään pidä paikkaansa, joten järjestelmä on epäholonominen.”On kuitenkin helppo kuvitella, että jos pyörän annettaisiin pyöriä vain täysin suorassa linjassa ja takana, venttiilinvarsi päätyisi samaan asentoon! Itse asiassa π {\displaystyle \pi }
/ 4 {\displaystyle 4}
ei ole todellisuudessa välttämätöntä reaalimaailmassa, koska itse koordinaatiston suunta on mielivaltainen. Systeemistä voi tulla holonominen, jos pyörä liikkuu vain suorassa linjassa missä tahansa kiinteässä kulmassa suhteessa annettuun referenssiin. Näin ollen emme ole ainoastaan todistaneet, että alkuperäinen järjestelmä on ei-holonominen, vaan olemme myös pystyneet löytämään rajoituksen, joka voidaan lisätä järjestelmään, jotta se olisi holonominen.
Rolling sphereEdit
Tämä esimerkki on edellä tarkastellun ”rolling wheel” – ongelman laajennus.
tarkastellaan kolmiulotteista ortogonaalista Karteesista koordinaatistoa, esimerkiksi tasopöytää, johon on merkitty piste origoa varten, ja X-ja y-akselit kynäviivoilla. Otetaan pallon säteellä, esimerkiksi pingispallo, ja merkitään yksi piste B sinisellä. Tätä pistettä vastaa pallopinnan halkaisija, ja pallopinnan keskipisteeseen C sijoitettu tämän halkaisijan ortogonaalinen taso määrittelee pisteeseen B liittyvän päiväntasaajaksi kutsutun ison ympyrän.valitse tälle päiväntasaajalle toinen piste R ja merkitse se punaisella. Aseta pallo on z = 0 tasolla siten, että Kohta B on samanaikaisesti Origon kanssa, C sijaitsee x = 0, y = 0, z = 1, ja R sijaitsee x = 1, y = 0, ja z = 1, eli R ulottuu suuntaan positiivinen x-akselin. Tämä on pallon alku-tai referenssisuuntaus.
pallo voidaan nyt rullata mitä tahansa jatkuvaa suljettua polkua pitkin Z = 0-tasossa, ei välttämättä yksinkertaisesti yhdistettyä polkua, siten, että se ei luista eikä pyöri, jolloin C palaa arvoon x = 0, y = 0, z = 1. Yleensä piste B ei ole enää yhtäpitävä Origon kanssa, eikä piste R enää ulotu positiivisen X-akselin suuntaisesti. Itse asiassa, valitsemalla sopiva polku, pallo voidaan suunnata uudelleen alkuperäisestä suuntautumisesta mihin tahansa mahdolliseen suuntaan pallo C sijaitsee x = 0, y = 0, z = 1. Järjestelmä on siis epäholonominen. Anholonomiaa voidaan esittää kaksin verroin ainutlaatuisella kvaterniolla (q ja-q), joka pallopintaa edustaviin pisteisiin sovellettuna kantaa pisteitä B ja R uusiin asemiinsa.
Foucault ’n heiluri
lisäesimerkki ei-holonomisesta järjestelmästä on Foucault’ n heiluri. Paikallisessa koordinaattikehyksessä heiluri heiluu pystysuorassa tasossa, jonka suunta on tietty suhteessa maantieteelliseen pohjoiseen polun alussa. Systeemin implisiittinen liikerata on maan leveysasteiden linja, jossa heiluri sijaitsee. Vaikka heiluri on paikallaan maan kehyksessä, se liikkuu aurinkoon tarkoitetussa kehyksessä ja pyörii synkronisesti maan Pyörimisnopeuden kanssa niin, että heiluritason ainoa näennäinen liike on maan pyörimisen aiheuttama liike. Tätä jälkimmäistä kehystä pidetään inertiaalivertailukehyksenä, vaikka sekin on hienovaraisemmilla tavoilla ei-inertiaalinen. Maan runko on tunnetusti ei-inertiaalinen, minkä tekee havaittavaksi keskipakoisvoimien ja Coriolisvoimien näennäinen läsnäolo.
leveysasteen suuntainen liike parametrisoituu ajan kulumisen mukaan, ja Foucault ’ n heilurin värähtelytaso näyttää pyörivän paikallisen pystyakselin ympäri ajan kuluessa. Tämän tason pyörimiskulma ajanhetkellä t suhteessa alkusuuntaukseen on järjestelmän anholomia. Täydellisen leveyspiirin indusoima anholomia on verrannollinen leveyspiirin välittämään avaruuskulmaan. Polun ei tarvitse rajoittua leveyspiireihin. Heiluri saatettiin asentaa esimerkiksi lentokoneeseen. Anholonomia on edelleen verrannollinen polun välittämään avaruuskulmaan, joka voi nyt olla melko epäsäännöllinen. Foucault ’ n heiluri on fysikaalinen esimerkki rinnakkaiskuljetuksesta.
Lineaarinen polarisoitunut valo optisessa fiberEdit
ota optisen kuidun pituus, sano kolme metriä, ja aseta se täysin suorassa linjassa. Kun toisesta päästä otetaan käyttöön pystysuunnassa polarisoitunut säde, se nousee toisesta päästä edelleen polarisoituneena pystysuunnassa. Merkitse alkuun kuidun kanssa raita, joka vastaa suuntausta pystysuora polarisaatio.
kelaa nyt kuitu tiukasti halkaisijaltaan kymmenen sentin sylinterin ympärille. Kuidun polku kuvaa nyt helixiä, jolla on ympyrän tavoin jatkuva kaarevuus. Helix on myös mielenkiintoinen ominaisuus ottaa jatkuva vääntö. Sellaisena tuloksena on kuidun asteittainen pyöriminen kuidun akselin ympäri kuidun keskilinjan edetessä helixiä pitkin. Vastaavasti raita kiertyy myös helixin akselin ympäri.
kun lineaarisesti polarisoitunut valo otetaan jälleen käyttöön toisessa päässä siten, että polarisaation suunta on linjassa juovan kanssa, se yleensä syntyy lineaarisena polarisoituneena valona, joka ei ole linjassa juovan kanssa, vaan jossain kiinteässä kulmassa juovaan nähden riippuen kuidun pituudesta sekä helixin sävelkorkeudesta ja säteestä. Tämä järjestelmä on myös epäholonominen, sillä voimme helposti kelata kuidun alas toisella kierteellä ja kohdistaa päät, palauttaen valon lähtöpisteeseensä. Anholonomiaa edustaa siis polarisaatiokulman poikkeama kuidun jokaisella piirillä. Parametrien sopivalla säätämisellä on selvää, että mikä tahansa mahdollinen kulmatila voidaan tuottaa.
robotiikka
robotiikassa nonholonomiikkaa on tutkittu erityisesti liikkuvien robottien liikesuunnittelun ja palautteen linearisoinnin piirissä.