Sistema nonholonomic

Rolling wheelEdit

Una ruota (a volte visualizzato come un monociclo o una moneta di rotolamento) è un sistema nonholonomic.

Spiegazione del profanomodifica

Considera la ruota di una bicicletta parcheggiata in un determinato luogo (a terra). Inizialmente la valvola di gonfiaggio si trova in una certa posizione sulla ruota. Se la bicicletta viene cavalcata e poi parcheggiata esattamente nello stesso punto, la valvola quasi certamente non si troverà nella stessa posizione di prima. La sua nuova posizione dipende dal percorso intrapreso. Se la ruota fosse olonomica, lo stelo della valvola finirebbe sempre nella stessa posizione finché la ruota fosse sempre rotolata nella stessa posizione sulla Terra. Chiaramente, tuttavia, questo non è il caso, quindi il sistema non è holonomic.

Spiegazione matematicamodifica

Un individuo in sella a un monociclo motorizzato. Lo spazio di configurazione del monociclo e il raggio r {\displaystyle r}

della ruota sono contrassegnati. Le linee rosse e blu giacevano a terra.

È possibile modellare matematicamente la ruota con un sistema di equazioni di vincolo e quindi dimostrare che quel sistema non è olonomico.

In primo luogo, definiamo lo spazio di configurazione. La ruota può cambiare il suo stato in tre modi: avere una rotazione diversa sul suo asse, avere un angolo di sterzata diverso e trovarsi in una posizione diversa. Si può dire che ϕ {\displaystyle \phi }

è la rotazione intorno all’asse, θ {\displaystyle \theta }

è l’angolo di sterzo relativa al x {\displaystyle x}

asse x e x {\displaystyle x}

e y {\displaystyle y}

definire la posizione spaziale. Pertanto, lo spazio di configurazione è: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

ora dobbiamo correlare le variabili di ogni altro. Notiamo che quando la ruota cambia la sua rotazione, cambia la sua posizione. Il cambiamento di rotazione e posizione che implica velocità deve essere presente, cerchiamo di mettere in relazione velocità angolare e angolo di sterzata a velocità lineari prendendo semplici derivati temporali dei termini appropriati:

( x, y ) = ( r ϕ cos ⁡ θ r ϕ peccato ⁡ θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}

La velocità nel x {\displaystyle x}

direzione è uguale alla velocità angolare volte il raggio è pari al coseno dell’angolo di sterzata e la velocità y {\displaystyle y}

è simile. Ora facciamo qualche manipolazione algebrica per trasformare l’equazione in forma Pfaffiana, quindi è possibile verificare se è olonomica. ( x − r ϕ cos ⁡ θ y − r ϕ peccato ⁡ θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}

facciamo separare le variabili da loro coefficienti (lato sinistro dell’equazione, derivato da sopra). Ci rendiamo anche conto che possiamo moltiplicare tutti i termini per d t {\displaystyle {\text {d}} t}

quindi finiamo con solo i differenziali (lato destro dell’equazione): ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ ) ( x y θ, ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ ) ( d x d y d q d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&r\cos \theta \\0&&&r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&r\cos \theta \\0&&&r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\right)}

Il lato destro dell’equazione è ora in Pfaffian forma:

∑ s = 1 n A r i d u s = 0, r = 1 , 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}

ora utilizziamo la prova universale per holonomic vincoli. Se questo sistema fosse olonomico, potremmo dover fare fino a otto test. Tuttavia, possiamo usare l’intuizione matematica per provare il nostro meglio per dimostrare che il sistema non è holonomic sul primo test. Considerando l’equazione di prova è:

γ ( ∂ β ∂ α u − ∂ α ∂ u β ) + β ( ∂ α ∂ u γ − ∂ γ ∂ u α ) + α ( ∂ γ ∂ u β ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

possiamo vedere che se uno qualsiasi dei termini α {\displaystyle A_{\alpha }}

, β {\displaystyle A_{\beta }}

, o Un γ {\displaystyle A_{\gamma }}

erano zero, che quella parte dell’equazione di test sarebbe banale da risolvere e sarebbe uguale a zero. Pertanto, è spesso consigliabile che la prima equazione di prova abbia il maggior numero possibile di termini diversi da zero per massimizzare la possibilità che la somma di essi non sia pari a zero. Pertanto, scegliamo: Α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d id{\displaystyle u_ {\gamma }=d\phi }

Sostituiamo nella nostra equazione di prova:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

e semplificare:

r sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

Si può facilmente vedere che questo sistema, come descritto, è nonholonomic, perché il peccato ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta }

non è sempre uguale a zero.

Ulteriori conclusionimodifica

Abbiamo completato la nostra prova che il sistema non è olonomico, ma la nostra equazione di prova ci ha dato alcune intuizioni sul fatto che il sistema, se ulteriormente vincolato, potrebbe essere olonomico. Molte volte equazioni test restituirà un risultato simile − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

implicando che il sistema potrebbe non essere vincolata per la holonomic senza modificare radicalmente il sistema, ma il risultato si può vedere che r sin ⁡ θ {\displaystyle r\sin \theta }

può essere pari a zero, in due modi diversi:

• r {\displaystyle r}
  

  , il raggio della ruota, può essere zero. Questo non è utile in quanto il sistema perderebbe tutti i suoi gradi di libertà.

• sin θ θ {\displaystyle \sin \theta}
  

  può essere zero impostando θ {\displaystyle \theta}

  

  uguale a zero. Ciò implica che se la ruota non fosse autorizzata a girare e dovesse muoversi solo in linea retta in ogni momento, sarebbe un sistema olonomico.

C’è una cosa che non abbiamo ancora considerato, tuttavia, che per trovare tutte queste modifiche per un sistema, si devono eseguire tutte le otto equazioni di prova (quattro da ogni equazione di vincolo) e raccogliere tutti i fallimenti per raccogliere tutti i requisiti per rendere il sistema olonomico, se possibile. In questo sistema, delle sette equazioni di prova aggiuntive, si presenta un caso aggiuntivo:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

Questo non crea molte difficoltà, tuttavia, come l’aggiunta di equazioni e dividendo per r {\displaystyle r}

risultati: peccato ⁡ θ cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta\cos \theta =0}

quale è la soluzione θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n \ in \ mathbb {Z}}

Fare riferimento alla spiegazione del profano di cui sopra dove si dice, ” nuova posizione dipende dal percorso intrapreso. Se la ruota fosse olonomica, lo stelo della valvola finirebbe sempre nella stessa posizione finché la ruota fosse sempre rotolata nella stessa posizione sulla Terra. Chiaramente, tuttavia, questo non è il caso, quindi il sistema non è holonomic.”Tuttavia è facile immaginare che se alla ruota fosse permesso solo di rotolare in una linea perfettamente retta e indietro, lo stelo della valvola finirebbe nella stessa posizione! Infatti, lo spostamento parallelo all’angolo dato di π {\displaystyle \pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

non è effettivamente necessario nel mondo reale in quanto l’orientamento del sistema di coordinate stesso è arbitrario. Il sistema può diventare olonomico se la ruota si muove solo in linea retta a qualsiasi angolo fisso rispetto a un dato riferimento. Quindi, non solo abbiamo dimostrato che il sistema originale non è olonomico, ma siamo anche stati in grado di trovare una restrizione che può essere aggiunta al sistema per renderlo olonomico.

Rolling sphereEdit

Questo esempio è un’estensione del problema “rolling wheel” considerato sopra.

Si consideri una cornice di coordinate cartesiane ortogonali tridimensionali, ad esempio un piano di livello con un punto segnato su di esso per l’origine e gli assi x e y disposti con linee a matita. Prendi una sfera di raggio unitario, ad esempio una pallina da ping-pong e segna un punto B in blu. Corrispondente a questo punto è un diametro della sfera, e il piano ortogonale a questo diametro posizionato al centro C della sfera definisce un grande cerchio chiamato equatore associato al punto B. Su questo equatore, selezionare un altro punto R e contrassegnarlo in rosso. Posizionare la sfera sul piano z = 0 in modo tale che il punto B coincida con l’origine, C si trova a x = 0, y = 0, z = 1 e R si trova a x = 1, y = 0 e z = 1, cioè R si estende nella direzione dell’asse x positivo. Questo è l’orientamento iniziale o di riferimento della sfera.

La sfera può ora essere arrotolata lungo qualsiasi percorso chiuso continuo nel piano z = 0, non necessariamente un percorso semplicemente connesso, in modo tale che non scivoli né si torce, in modo che C ritorni a x = 0, y = 0, z = 1. In generale, il punto B non coincide più con l’origine e il punto R non si estende più lungo l’asse x positivo. Infatti, selezionando un percorso adatto, la sfera può essere riorientata dall’orientamento iniziale a qualsiasi possibile orientamento della sfera con C situato a x = 0, y = 0, z = 1. Il sistema è quindi non holonomic. L’anolonomia può essere rappresentata dal quaternione doppiamente unico (q e-q) che, quando applicato ai punti che rappresentano la sfera, porta i punti B e R alle loro nuove posizioni.

Foucault pendulumEdit

Un ulteriore esempio di sistema non olonomico è il pendolo di Foucault. Nella cornice delle coordinate locali il pendolo oscilla su un piano verticale con un particolare orientamento rispetto al nord geografico all’inizio del percorso. La traiettoria implicita del sistema è la linea di latitudine sulla Terra in cui si trova il pendolo. Anche se il pendolo è fermo nel telaio terrestre, si muove in un telaio riferito al Sole e ruota in sincronia con la velocità di rivoluzione della Terra, in modo che l’unico movimento apparente del piano del pendolo sia quello causato dalla rotazione della Terra. Quest’ultimo frame è considerato un frame di riferimento inerziale, sebbene anch’esso non sia inerziale in modi più sottili. Il telaio di Terra è ben noto per essere non inerziale, un fatto reso percepibile dalla presenza apparente di forze centrifughe e forze di Coriolis.

Il movimento lungo la linea di latitudine è parametrizzato dal passare del tempo, e il piano di oscillazione del pendolo di Foucault sembra ruotare attorno all’asse verticale locale con il passare del tempo. L’angolo di rotazione di questo piano alla volta t rispetto all’orientamento iniziale è l’anolonomia del sistema. L’anolonomia indotta da un circuito completo di latitudine è proporzionale all’angolo solido sotteso da quel cerchio di latitudine. Il percorso non deve essere vincolato ai cerchi di latitudine. Ad esempio, il pendolo potrebbe essere montato in un aereo. L’anolonomia è ancora proporzionale all’angolo solido sotteso dal percorso, che ora può essere piuttosto irregolare. Il pendolo di Foucault è un esempio fisico di trasporto parallelo.

Luce polarizzata lineare in una fibra otticamodifica

Prendi una lunghezza di fibra ottica, diciamo tre metri, e stendila in una linea assolutamente retta. Quando un fascio polarizzato verticalmente viene introdotto ad un’estremità, emerge dall’altra estremità, ancora polarizzato nella direzione verticale. Segna la parte superiore della fibra con una striscia, corrispondente all’orientamento della polarizzazione verticale.

Ora, avvolgere la fibra strettamente attorno a un cilindro di dieci centimetri di diametro. Il percorso della fibra ora descrive un’elica che, come il cerchio, ha una curvatura costante. L’elica ha anche l’interessante proprietà di avere una torsione costante. Come tale il risultato è una rotazione graduale della fibra intorno all’asse della fibra mentre la linea centrale della fibra progredisce lungo l’elica. Corrispondentemente, la striscia si attorciglia anche sull’asse dell’elica.

Quando la luce polarizzata linearmente viene nuovamente introdotta ad un’estremità, con l’orientamento della polarizzazione allineato con la striscia, in generale, emergerà come luce polarizzata lineare allineata non con la striscia, ma ad un angolo fisso rispetto alla striscia, dipendente dalla lunghezza della fibra e dal passo e dal raggio dell’elica. Questo sistema è anche non holonomic, per possiamo facilmente bobina la fibra verso il basso in una seconda elica e allineare le estremità, restituendo la luce al suo punto di origine. L’anolonomia è quindi rappresentata dalla deviazione dell’angolo di polarizzazione con ciascun circuito della fibra. Con un’adeguata regolazione dei parametri, è chiaro che è possibile produrre qualsiasi stato angolare possibile.

RoboticsEdit

In robotica, nonholonomic è stato particolarmente studiato nell’ambito della pianificazione del movimento e della linearizzazione del feedback per robot mobili.