Una strategia economica di adeguamento del grafico di controllo di Shewhart per il XXI secolo

I grafici di controllo di Shewhart sono ampiamente usati per visualizzare i dati del campione formano un processo di produzione. Sono stati anche trovati utili nella valutazione della capacità di processo, nella stima dei parametri di processo e nel monitoraggio del comportamento di un processo di produzione. Un grafico di controllo viene mantenuto prelevando campioni da un processo e tracciando in ordine temporale sul grafico alcune statistiche calcolate dai campioni. Limiti di controllo sul grafico rappresentano i limiti entro i quali i punti tracciati cadrebbero con alta probabilità se l’operazione in controllo. Un punto al di fuori dei limiti di controllo è preso come un’indicazione che qualcosa, a volte chiamato una causa speciale di variazione, è successo a cambiare il processo. Quando il grafico segnala che è presente una causa speciale, viene eseguita un’azione di rettifica per rimuovere la causa speciale e riportare il processo in controllo. Oltre alle cause comuni, che producono variazioni casuali, cause speciali possono produrre individualmente una notevole quantità di variazione. Quando è presente una causa speciale di variazione, la distribuzione della metrica di qualità è indicizzata da uno o più parametri e l’effetto della presenza di una causa speciale è quello di modificare i valori di questi parametri. Lo scopo di un grafico di controllo è quello di rilevare cause speciali di variazione in modo che queste cause possano essere trovate ed eliminate. Poiché si presume che una causa speciale produca una modifica dei parametri, il problema per cui viene utilizzato un grafico di controllo può essere formulato come il problema del monitoraggio di un processo per rilevare eventuali modifiche nei parametri della distribuzione della variabile di qualità.

Duncan (1956) indica che la pratica abituale nel mantenere un grafico di controllo è tracciare il campione dal processo relativo ai limiti di controllo a larghezza costante, ad esempio i limiti a tre sigma. In questo documento, viene studiata una modifica alla pratica standard in cui i limiti di controllo del campionamento non sono fissi ma possono variare dopo che il processo ha funzionato per un periodo di tempo. La base di scelta della larghezza limite di controllo è un modello per il costo di funzionamento del grafico. Il modello di costo è sviluppato per descrivere il costo totale per unità di tempo di monitoraggio della media di un processo utilizzando sia lo standard che il grafico di controllo Shewhart generalizzato. Il modello di costo è sviluppato nell’ipotesi che la caratteristica di qualità di interesse sia normalmente distribuita con varianza nota e costante.

La definizione del modello di costo per il grafico di controllo Shewhart standard procede in due fasi come definito da Zou& Nachlas (1993). Innanzitutto, la distribuzione uniforme della durata viene utilizzata per descrivere la variabile casuale t, il tempo fino a uno spostamento del processo. Si presume che il processo sia soggetto a uno spostamento dal valore in controllo della media del processo, μ1, a un valore fuori controllo, μ2, in un momento casuale. Quindi, il costo di gestione di un grafico di controllo Shewhart standard viene definito utilizzando quattro termini di costo. Sono (1) Costo di ispezione; (2) Costo di falso allarme; (3) Costo del segnale vero; e (4) Costo di produzione di articoli aggiuntivi non conformi quando il processo è fuori controllo. Inoltre, viene determinata la durata del ciclo prevista. Quindi il costo totale previsto per unità di tempo è costruito come il costo di ispezione più il rapporto tra la somma dei tre costi attesi e la lunghezza del ciclo prevista. La definizione del modello di costo corrispondente per il grafico di controllo Shewhart generalizzato procede in modo simile. Supponiamo di pianificare di avviare il grafico con una serie di limiti di controllo e di modificare i limiti per essere più stretti dopo che il processo ha funzionato per un periodo di tempo determinato. In particolare, assumiamo che il processo sia campioni ogni ora h e dopo il campione mth i limiti di controllo vengono modificati. Questo è illustrato nella Mostra 1. L’obiettivo è quello di scegliere i valori economici del parametro di costo per ridurre al minimo il costo totale previsto. Il modello di costo è costruito per consentire la scelta ottimale del tempo di cambiamento e i migliori valori per i limiti di controllo iniziali e regolati e quindi può aumentare la sensibilità del grafico di controllo a piccoli ma previsti cambiamenti nella media del processo in modo che il grafico sia in grado di rilevare rapidamente una causa speciale e portare il processo Il modello di costo viene utilizzato anche per fornire un confronto con l’implementazione convenzionale del grafico di controllo Shewhart per lo scopo di educazione alla gestione della qualità PMBOK®.

Sviluppo del modello

Si supponga che un processo sia monitorato utilizzando un grafico θ <∞). Sia N il valore massimo di t, quindi N = θ / h, e supponiamo che N sia come intero. Per costruire il costo totale previsto per unità di tempo vengono considerate le seguenti categorie di costo:

1. Ci = costo di campionamento e ispezione, costo unitario per evento = c

2. Cf = costo falso allarme, costo unitario per evento = c

3. Ct = costo di correzione del segnale e del processo vero, costo unitario per evento = c

4. Cd = costo di produzione di prodotti scadenti mentre fuori controllo, costo unitario per articolo = c

5. CT = costo totale per unità di tempo

La funzione costo totale previsto per unità di tempo viene quindi definita come:

Dove E è la lunghezza del ciclo prevista (tempo da segnalare). Vengono utilizzate le seguenti notazioni:

μ1 = a-valore di controllo del processo di media

μ2 = out-of-controllo del valore del processo di media

σx = il noto e costante deviazione standard della popolazione

UCL = upper control limit = μ1 + kσx / n1/22

LCL = abbassare il limite di controllo = μ1 – kσx / n1/2

Ux = limite specifica superiore

Lx = abbassare il limite della specifica

p1 = percentuale di non conformità quando µ = μ1

p2 = percentuale di non conformità quando µ = μ2

p = p1 – p2

h = intervallo di tempo tra i campioni

r = il tasso di produzione in unità/ora.

n = numero di elementi controllati a campione

m = numero di campioni prima di modificare i limiti di controllo

δ = numero di unità di σx da μ1 per μ2

k1 = numero σx /n1/2 da μ1 a UCL prima campione mh

k2 = numero σx /n1/2 da μ1 a UCL dopo il campione mh

α = il tipo mi probabilità di errore

β = la probabilità di errore di tipo II

Le variabili di decisione sono n, h, m, k1 e k2. I valori ottimali per le variabili decisionali vengono scelti per ridurre al minimo il costo totale previsto per funzione di tempo unitario.

(1) Costo di ispezione = Ci = {costo fisso + (costo unitario)(numero ispezionato)}/{tempo tra i campioni}, quindi:

Si noti che il costo di ispezione è lo stesso sia per il grafico di controllo Shewhart standard e generalizzato.

(2) Falso allarme costo = Cf = (costo unitario)(probabilità di falso allarme) = cf P.

Lasciare che Un = “falso allarme”, A1 = “falsi allarmi esempio io,” A2 = “nessun processo maiusc prima di campione io”, allora la probabilità di falso allarme è costruito come:

Così il falso allarme costo è di:

La probabilità di falso allarme per la generalizzata grafico di controllo di Shewhart è molto diverso da quello standard di un grafico di controllo. Dobbiamo considerare t ≤ mh o t > mh separatamente. Cosi:

Quindi:

(3) True signal cost = Ct = (costo unitario)(probabilità di un vero segnale) = ctP.

Lasciate che B = “true” segnale” B1= “processo di spostamento in un intervallo j”, B2 = “nessun falso allarme su di procedere j-1 campioni,” allora l’espressione per P è:

Così, il segnale vero costo è il seguente modulo:

La probabilità di vero segnale per la generalizzata grafico di controllo di Shewhart è definito come:

Così:

(4) Costo di produzione di articoli non conformi quando il processo è fuori controllo = Cd = (costo unitario)(velocità di produzione)(aumento in proporzione non conforme)(tempo previsto fuori controllo).

Gli intervalli di tempo di questo passaggio possono essere rivisti nell’allegato 2.

L’E = E + E = E + E. Si noti che la parte dell’intervallo prima dello spostamento del processo può essere scritta come T = t – jh, quindi:

Quindi:

Infine:

La E è la stessa per il grafico di controllo Shewhart generalizzato ma la E è un po ‘ diversa in quanto l’identificazione dell’intervallo in cui si verifica lo spostamento influisce sulla probabilità del segnale. Così:

Quindi:

(4) Lasciare E1 = “falso allarme sul campione j e nessun processo di shift prima di campione j,” E2 = “processo di spostamento durante l’intervallo di s, nessun falso allarme prima di intervalli, e vero segnale di campione j (j-s+1 ° spostamento).”Quindi l’espressione per la lunghezza del ciclo prevista è:

La lunghezza del ciclo prevista per il grafico di controllo Shewhart generalizzato deve anche riflettere le differenze negli eventi del segnale prima e dopo mh. E(g) può essere scritto come:

Quindi:

il Modello di Analisi

Arbitri per il costo del modello sviluppato in precedenza, il costo termini sono funzioni delle variabili di decisione, parametri di costo e il parametro di distribuzione. Due dei valori decisionali di m e n sono vincolati ad essere interi, mentre k1 e k2 possono assumere valori reali. Poiché Montgomery (1980) indica che una frequenza di campionamento di un’ora è comune per molti grafici di controllo, h = viene utilizzata un’unità di tempo. Il comportamento del modello di costo viene analizzato numericamente. GINO (Lasdon & Warren, 1985) viene utilizzato per esaminare il comportamento del modello di costo su set di parametri ragionevoli e l’algoritmo GRG (generalized Reduced Gradient) viene utilizzato per tentare di minimizzare il costo totale previsto per funzione di tempo unitario per tali set di parametri. Gli intervalli di parametri valutati sono elencati di seguito.

(1) θ θ (8, 200)

(2) δ = 0.522, la grandezza dello spostamento nella media quando si verifica uno spostamento. Questo valore è selezionato perché corrisponde ad un aumento della proporzione non conforme da 0,01 a 0,02.

(3) ci = 1.0; 5.0

(4) cd ∈ (1, 10)

(5) cf = 100

(6) r = 200, il tasso di produzione

(7) ct = 10

Il parametro precedente intervalli di definire gli scenari in cui le prestazioni economiche di standard e generalizzato grafico di controllo di Shewhart sono indagati. Viene esaminata l’analisi numerica del comportamento della funzione costo totale atteso per unità di tempo rispetto alle variabili decisionali per una famiglia di intervalli di parametri.

La funzione costo totale previsto per unità di tempo è convessa in k per tutti gli intervalli degli altri parametri. Piccoli valori di k creano un grande costo totale previsto perché viene fornito un numero eccessivo di falsi allarmi. Questo può dominare qualsiasi risparmio di costi a causa di rilevamento rapido spostamento. I valori intermedi di k producono il costo totale previsto più piccolo perché bilanciano i costi di produzione non conforme rispetto al costo del falso allarme. Grandi valori di k forniscono probabilità di rilevamento dei turni ridotte e quindi costi di produzione non conformi sempre più elevati. L’effetto totale è che il costo previsto diminuisce al minimo e poi aumenta di nuovo all’aumentare di K.

La funzione di costo totale previsto è anche convessa in n per tutti gli intervalli degli altri parametri. Piccoli valori di n implicano bassi costi di campionamento ma elevati costi non conformi poiché i turni non vengono rilevati rapidamente. I valori intermedi di n bilanciano il costo di campionamento rispetto al costo del prodotto non conforme per ottenere il costo totale previsto più basso. Grandi valori di n implicano grandi costi di campionamento, che possono dominare i risparmi nei costi dei prodotti non conformi ottenuti attraverso maggiori probabilità di rilevamento. Queste interpretazioni variano a seconda dell’importanza relativa di ciascuna categoria di costo, ma l’effetto complessivo è che la funzione di costo totale prevista è convessa in n.

I risultati di cui sopra per n e k sono anticipati per i grafici di controllo Shewhart standard in generale e confermati per i grafici di controllo Shewhart generalizzati. Il grafico di controllo Shewhart generalizzato ha caratteristiche che il grafico di controllo Shewhart standard non ha. Le proprietà che derivano da queste funzionalità aggiuntive sono ora esplorate.

Il comportamento del modello in termini di variabile decisionale m, k1 e k2 è caratterizzato da tre casi. Le grandezze relative dei parametri di costo in ciascun caso determinano quale comportamento viene osservato. Nel caso in cui uno, il costo totale previsto per unità di tempo funzione CT, visualizza comportamento convesso in ciascuna delle variabili di decisione m, k1 e k2 e un minimo si verifica all’interno della regione fattibile convessa. Ciò significa che il grafico di controllo dei costi minimi è una forma del grafico di controllo Shewhart generalizzato. Nel caso due, CT è ancora convesso ma ha un minimo corrispondente a un limite di m = 0 e k2 = k1 e aumenta rigorosamente in ciascuna di queste variabili. Ciò significa che il grafico di controllo dei costi minimi è un grafico di controllo Shewhart standard senza modifiche dei limiti di controllo. Nel caso tre, CT rigorosamente diminuire sia in m e k2 e ha un minimo al confine k1 = k2 e m = ∞. Ciò implica che il grafico di controllo dei costi minimi è un grafico di controllo Shewhart standard senza modifiche dei limiti di controllo.

Conclusione

L’analisi presentata sopra produce diversi punti interessanti. Il primo di questi è che l’analisi del costo di funzionamento di qualsiasi tipo di grafico di controllo dovrebbe essere trattata con molta attenzione, in quanto la funzione di costo potrebbe non avere sempre la regolarità comunemente assunta. La scelta dei coefficienti di costo, il tempo di distribuzione del turno e i parametri di distribuzione hanno un’influenza diretta sulle prestazioni del costo totale previsto per funzione di tempo unitario. Gli importanti risultati dell’analisi effettuata mostrano che il grafico Shewhart generalizzato per i mezzi può essere economicamente interessante quando il costo dell’ispezione, il costo del segnale reale e il costo non conforme bilanciano insieme la durata del ciclo prevista e il costo del falso allarme. In questo caso, il costo totale previsto per funzione di tempo unitario è convesso con un minimo interno e un’opportunità di ottimizzazione del grafico di controllo Shewhart generalizzato. Quando uno o più termini del modello dominano gli altri, il costo totale previsto per unità di tempo mostrerà lo stesso comportamento crescente o decrescente del fattore dominante e il modello di costo generalizzato studiato in questo documento sarà poco attraente.

La seconda conclusione è che tutti i parametri e le variabili del modello sono importanti per la funzione di costo totale previsto per unità di tempo. I limiti di controllo k1 e k2 hanno un grande effetto rispetto al parametro di distribuzione θ e k2 ha un effetto maggiore rispetto a k1. È anche vero che la dimensione del campione, n, e il tempo della variazione della larghezza dei limiti di controllo, m, aumentano l’effetto del parametro di distribuzione, K1 e k2.

La conclusione finale è che esistono applicazioni di grafici di controllo per le quali il modello di costo è utile. I valori dei parametri del processo di produzione che visualizzano relazioni più comuni portano al grafico di controllo Shewhart generalizzato con costi inferiori rispetto al grafico di controllo Shewhart standard corrispondente. Per il caso di esempio analizzato sopra, il risparmio ottimale è di $0,22 per articolo prodotto. Poiché il tasso di produzione assunto è 200 / ora, il risparmio saving 44 all’ora. Questo risparmio è drammatico e quindi vale la pena perseguire il grafico di controllo Shewhart generalizzato.