Shewhart管理図は、生産プロセスを形成するサンプルデータを表示するために広く使用されています。 また、プロセス能力の評価、プロセスパラメータの推定、および生産プロセスの動作の監視にも価値があることが判明しています。 管理図は、プロセスからサンプルを取得し、サンプルから計算された統計量をチャート上で時間順にプロットすることによって維持されます。 管理図上の管理限界は、プロットされた点が管理で操作されている場合に高い確率で落ちる限界を表します。 管理限界の外にある点は、変動の特別な原因と呼ばれることもある何かがプロセスを変更したことを示すものとして取られます。 チャートが特別な原因が存在することを通知すると、特別な原因を削除してプロセスを制御に戻すための修正アクションが実行されます。 ランダムな変動を生成する一般的な原因に加えて、特別な原因は、個別にかなりの量の変動を生成することができます。 変動の特別な原因が存在する場合、品質指標の分布は1つ以上のパラメータによって索引付けされ、特別な原因の存在の影響はこれらのパラメータの値を変更することである。 管理図の目的は、これらの原因を見つけて排除できるように、変動の特殊な原因を検出することです。 特別な原因がパラメータの変化を生じると仮定されるので、管理図が使用される問題は、品質変数の分布のパラメータの変化を検出するためのプロセスを監視する問題として定式化することができる。
div 一般化されたShewhart管理図
Duncan(1956)は、管理図を維持する際の通常の練習は、一定の幅の管理限界、例えば三シグマ限界に対す ここでは，サンプリング管理限界が固定されていないが，プロセスが一定期間操作された後に変化する可能性がある標準的な慣行への修正を検討した。 制御限界幅の選択の基礎は、チャートを操作するコストのモデルです。 標準管理図と一般化されたＳｈｅｗｈａｒｔ管理図の両方を用いて，プロセスの平均を監視する単位時間当たりの総コストを記述するためにコストモデルを開発した。 コストモデルは、関心のある品質特性が既知の一定の分散で正規分布されるという仮定の下で開発されます。
標準Shewhart管理図のコストモデルの定義は、Zou&Nachlas(1993)で定義されているように、二つのステップで進行します。 まず，一様寿命分布を用いて，確率変数ｔ，すなわちプロセスシフトまでの時間を記述した。 プロセスは、ランダムな時点で、プロセス平均の制御内値σ１から制御外値σ２へのシフトを受けると仮定される。 次に、標準のShewhart管理図の運用コストを、4つのコスト項を使用して定義します。 それらは（1）点検費用です;（2）誤報の費用;（3）本当信号の費用;および（4）プロセスが制御からあるとき付加的な不適合項目を作り出す費用。 さらに、予想されるサイクル長が決定される。 次に、単位時間あたりの予想される総コストは、検査コストに予想されるサイクル長に対する三つの予想コストの合計の比率を加えたものとして構 一般化されたShewhart管理図の対応するコストモデルの定義は、同様の方法で進行します。 管理限界のセットで管理図を開始し、プロセスが決定された期間にわたって操作された後、制限をより厳しく変更する予定であると仮定します。 具体的には、プロセスはh時間ごとのサンプルであり、mthサンプルの後に管理限界が変更されると仮定します。 これは、別紙1に示されています。 目的は、予想される総コストを最小限に抑えるために、コストパラメータの経済的価値を選択することです。 コストモデルは、変更時間の最適な選択と初期管理限界と調整管理限界の最適な値を可能にするために構築されているため、管理図は、特別な原因を迅速に検出し、プロセスを制御することができるように、プロセス平均の小さいが予想されるシフトに対する管理図の感度を高めることができます。 また費用モデルがPMBOK®の質管理教育の為にShewhartの管理図の慣習的な実施との比較を提供するのに使用されている。
モデル開発
プロセスが
チャートを使用して監視され、プロセスがランダムな時点でプロセス平均σ1の制御内値から制御外値σ2にシフトすることを前提としています。 プロセスシフトまでの時間は、F(t)=t/λ,(0<<∞)の確率変数であると仮定します。 Nをtの最大値とし、N=π/hとし、Nを整数とする。 単位時間当たりの予想される総コストを構築するために、以下のコストカテゴリが考慮されます。
1。 Ci=サンプリングおよび検査コスト、イベントあたりの単価=c
2。 Cf=誤警報コスト、イベントあたりの単価=c
3。 Ct=真の信号とプロセス補正コスト、イベントあたりの単位コスト=c
4。 Cd=制御不能な状態で標準以下の製品を生産するコスト、アイテムあたりの単価=c
5。 CT=単位時間あたりの総コスト
単位時間あたりの予想される総コスト関数は、次のように定義されます。
ここで、Eは予想さ 次の表記が使用されます:
μ1=ン-コントロールの値の平均
μ2=の値の平均
σx=既知の定人口の標準偏差
UCL=上制限値=μ1+kσx/n1/22
LCL以下に制限=μ1-kσx/n1/2
Ux=上の仕様で限定
Lx=下仕様で限定
p1=割合不適合時のμ=μ1
p2=割合不適合時のμ=μ2
p= p1–p2
h=時間のサンプル
r= 生産率は単位時間
n=数項目を検査したサンプル
m=サンプル数を変更する前に管理限界
δ=台数のσxからμ1にμ2
k1=数σx/n1/2からμ1にUCL前にサンプルmh
k2=数σx/n1/2からμ1にUCL後のサンプルmh
α=タイプIエラー確率
β=、タイプII誤り確率
この決定変数がn、h、m、k1とk2. 決定変数の最適値は、単位時間関数あたりの予想される総コストを最小限に抑えるために選択されます。
(1)検査コスト=Ci={固定コスト+(ユニットコスト)(検査数)}/{サンプル間の時間}、したがって：
展示2。 Tとtpを含む時間間隔
検査コストは、標準および一般化されたShewhart管理図の両方で同じであることに注
(2)誤警報コスト=Cf=(単位コスト)(誤警報の確率)=cf P.
A=”誤警報”、a1=”サンプルIの誤警報”、A2=”サンプルIの前にプロセスシフトなし”とすると、誤警報の確率は次のように構成されます。
したがって、誤警報コストは次のようになります。
p>
一般化されたShewhart管理図の誤警報の確率は、標準管理図のそれとはかなり異なります。 T≤mhまたはt>mhを別々に考慮する必要があります。 このように:p>
したがって、
（3）真の信号コスト=Ct=（単位コスト）（真の信号の確率）=ctP。
B=”真の信号”、B1=”区間jのプロセスシフト”、B2=”j-1サンプルの進行に誤警報はありません”とすると、Pの式は次のようになります。
したがって、真の信号コストは次の形をしています。
一般化されたshewhart管理図の真の信号の確率は、次のように定義されます:
このように：
（4）プロセスが制御不能であるときに不適合項目を生産するコスト=Cd=（単価）（生産率）（不適合割合の増加）（制御
このステップの時間間隔は、別紙2で確認することができます。
このステップの時間間隔は、別紙2でプロセスシフト前の間隔の部分はT=t–jhと書くことができることに注意してください。
次に：
最後に:
Eは一般化されたShewhart管理図でも同じですが、シフトが発生する間隔の識別が信号確率に影響するため、eは少し異なります。 したがって、
したがって、
(4)Let E1=”サンプルjの誤警報とサンプルjの前にプロセスシフシフト後）。”次に、期待されるサイクル長の式は次のようになります:
一般化されたShewhart管理図の予想サイクル長は、mhの前後の信号イベントの違いも反映している必要があります。 E(g)は次のように書くことができます。
したがって、
モデル分析
以前に開発されたコストモデ Mとnの決定値のうちの2つは整数に制約されますが、k1とk2は実数の値を取ることができます。 Montgomery(1980)は、多くの管理図で1時間のサンプリング周波数が一般的であることを示しているように、h=1単位時間が使用されます。 コストモデルの挙動を数値的に解析した。 GINO(Lasdon&Warren,1985)は、合理的なパラメータセット上のコストモデルの動作を調べるために使用され、一般化された縮小勾配(GRG)アルゴリズムは、それらのパラメータセットの単位時間関数あたりの予想される総コストを最小化しようとするために使用されます。 評価されるパラメータの範囲を以下に示します。
(1)≤(8,200)
(2)δ=0.図522に示すように、シフトが発生したときの平均におけるシフトの大きさである。 この値は、不適合比率が0.01から0.02に増加することに対応するために選択されます。
(3)ci=1.0;5.0
(4)cd∈(1,10)
(5)cf=100
(6)r=200、生産率
(7)ct=10
上記のパラメータ範囲は、標準の経済パフォーマンスと一般化されたShewhart管理図を調査するシナ パラメータ範囲の族に対する決定変数に関する単位時間関数当たりの予想総コストの挙動の数値解析を調べた。
単位時間関数あたりの予想される総コストは、他のパラメータのすべての範囲に対してkで凸です。 Kの値が小さいと、過剰な数の誤警報が発生するため、予想される総コストが大きくなります。 これは急速な転位の検出による費用節約を支配するかもしれません。 Kの中間値は、不適合生産のコストと誤警報コストのバランスをとるため、予想される総コストが最小になります。 Kの大きい価値は減らされた転位の検出の確率およびこうしてますます大きい不適合の生産費を提供する。 総効果は、期待されるコストが最小に減少し、kが増加するにつれて再び上昇することである。
期待される総コスト関数は、他のパラメータのすべての範囲についてもnで凸です。 Nの小さい値は、シフトが急速に検出されないため、サンプリングコストは低いが、不適合コストが高いことを意味する。 Nの中間値は、サンプリングコストと不適合製品コストのバランスをとり、予想される総コストを最小にします。 Nの値が大きいと、サンプリングコストが大きくなり、検出確率が高くなることによって達成される不適合製品コストの節約を支配する可能性が これらの解釈は、各コストカテゴリの相対的な重要性に応じて異なりますが、全体的な効果は、予想される総コスト関数がnで凸であることです。
上記のnおよびkの結果は、一般的なShewhart管理図で予想され、一般化されたShewhart管理図で確認されています。 一般化されたShewhart管理図には、標準のShewhart管理図にはない機能があります。 これらの追加機能の結果として得られるプロパティについては、次のように説明します。
決定変数m、k1、およびk2の観点からのモデルの動作は、三つのケースによって特徴付けられます。 それぞれの場合のコストパラメータの相対的な大きさによって、どの動作が観察されるかが決まります。 １つの場合、単位時間関数ＣＴあたりの予想される総コストは、決定変数ｍ、ｋ１、およびｋ２のそれぞれに凸挙動を表示し、最小値は凸実現可能領域の内 これは、最小コスト管理図が一般化されたShewhart管理図の何らかの形であることを意味します。 二つの場合、CTはまだ凸であるが、それはm=0とk2=k1の境界に対応する最小値を持ち、それらの変数のそれぞれにおいて厳密に増加する。 つまり、最小原価管理図は、管理限界が変更されていない標準のShewhart管理図であることを意味します。 三つの場合、CTはmとk2の両方で厳密に減少し、境界k1=k2およびm=∞で最小値を有する。 これは、最小原価管理図が管理限界の変更のない標準的なShewhart管理図であることを意味します。
結論
上記の分析は、いくつかの興味深い点をもたらします。 これらの最初は、コスト関数が常に一般的に想定される規則性を持っていない可能性があるため、管理図のいずれかのタイプを操作するコストの分析は、非常に慎重に扱われるべきであるということです。 コスト係数、シフト分布の時間および分布パラメータの選択は、単位時間関数あたりの予想される総コストのパフォーマンスに直接影響します。 分析の重要な結果は，検査コスト，真の信号コスト，および不適合コストが予想サイクル長と誤警報コストのバランスをとるとき，平均に対する一般化されたＳｈｅｗｈａｒｔチャートが経済的に魅力的であることを示した。 この場合、単位時間関数あたりの予想される総コストは、内部最小値と一般化されたShewhart管理図の最適化の機会と凸です。 一つ以上のモデル項が他の項を支配する場合，単位時間あたりの予想される総コストは支配因子と同じ増減挙動を示し，本稿で研究した一般化コストモデルは魅力的ではない。
第二の結論は、すべてのモデルパラメータと変数が単位時間関数あたりの予想される総コストにとって重要であるということです。 管理限界k1とk2は、分布パラメータσよりも大きな効果を持ち、k2はk1よりも大きな効果を持ちます。 また、サンプルサイズn、および管理限界の幅の変化の時間mは、分布パラメーター K1およびk2の効果を高めることも事実です。
最終的な結論は、コストモデルが有用である管理図のアプリケーションがあるということです。 より一般的に見られる関係を表示する製造プロセスパラメータの値は、対応する標準的なShewhart管理図よりも低コストを有する一般化されたShewhart管理図につ 上記で分析した例の場合、最適な節約は、生産されたアイテムあたり0.22ドルです。 想定される生産率は200/時間であるため、時間あたり44ドルを節約します。 この節約は劇的であるため、一般化されたShewhart管理図は追求する価値があります。