ローリングwheelEdit
ホイール（時には一輪車やローリングコインとして視覚化）は、非ホロノミックシステムです。
素人の説明編集
特定の場所（地面）に駐車している自転車の車輪を考えてみましょう。 最初に膨張弁は車輪のある特定の位置にあります。 自転車が乗っていて、まったく同じ場所に駐車している場合、バルブはほぼ確実に以前と同じ位置にありません。 その新しい位置は、取られたパスに依存します。 車輪がホロノミックであれば、車輪が常に地球上の同じ場所にロールバックされている限り、弁茎は常に同じ位置に終わるでしょう。 しかし、明らかに、これはそうではないので、システムは非ホロノミックです。
数学的な説明編集
がマークされている。 赤と青の線が地面に横たわっていた。制約方程式のシステムを使ってホイールを数学的にモデル化し、そのシステムが非ホロノミックであることを証明することが可能です。
まず、構成空間を定義します。 車輪は3つの方法で状態を変えることができます:車軸についての別の回転を持っていて、別のステアリング角度を持っていて、そして別の位置にあ Θ{\displaystyle\phi}
は車軸を中心とした回転であり、θ{\displaystyle\theta}
はx{\displaystyle x}に対する操舵角である。
-軸、およびx{\displaystyle x}
およびy{\displaystyle y}
空間位置を定義します。 したがって、構成空間は: u→=T{\displaystyle{\overrightarrow{u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta&\phi\end{bmatrix}}^{\mathrm{T}}}
ここで、これらの変数を互いに関連付ける必要があります。 ホイールの回転が変化すると、その位置が変化することがわかります。 速度を意味する回転と位置の変化が存在しなければならない、我々は適切な用語の簡単な時間微分を取ることによって、角速度とステアリング角を線形速度に関連させようとする。:{\開始{アレイ}{C}r{\ドット{\ファイ}}\COS\シータ\R{\ドット{\ファイ}}\罪\シータ\端{アレイ}}\右）=\左（{\開始{アレイ}{C}r{\ドット{\ファイ}}\COS\シータ\R{\ドット{\ファイ}}\罪\シータ\端{アレイ}}\右）}
X{\displaystyle x}の速度
p>
方向は角速度倍に等しいです 半径に操舵角の余弦を掛け、y{\displaystyle y}
速度は類似している。 ここで、方程式をpfaffian形式に変換するための代数的操作を行い、それがホロノミックであるかどうかをテストすることができます。 (x−r≤cos≤y−r≤sin≤)=0→{\displaystyle\left({\begin{array}{c}{\dot{x}}-r{\dot{\phi}}\cos\theta\{\dot{y}}-r{\dot{\phi}}\sin\theta\end{array}}\right)={\overrightarrow{0}}}
変数をそれらの係数から分離しましょう（方程式の左側、上から導出）。 また、すべての項にd t{\displaystyle{\text{d}}t}
を掛けることができることを認識しているので、微分（方程式の右辺）のみで終わる。: (1 0 0−r cos θ0 1 0−r sin θ)(x y θ)(x y θ)(x y θ)(x y θ)(x y θ)) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos θ0 1 0−r sin θ)(d x d y d θ d θ){\displaystyle\left({\begin{array}{c}1&&&&-r\cos\theta\\0&-r\cos\theta\\0&-r\cos\theta\\0&-r\cos\theta\\0&-r\cos\theta\\-r\sin\theta\end{array}}\right）\left（{\begin{array}{c}{\dot{x}}\{\dot{y}}\{\dot{\theta}}\{\dot{\phi}}\end{array}}\right）={\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}}{\dot{\phi}0}}=\left({\begin{array}{c}1&0
方程式の右辺は現在、Pfaffian形式になっています。
∑s=1N a r s d u s=0;r=1,2{\displaystyle\sum_{k=0}x{\infty}\sum_{k=0}x{\infty}\sum_{k=0}x{\infty}\sum_{k=0}x{\infty}\sum_{k=0}x{\infty}\sum_{k=0}phi{\infty}\sum_{k=0}phi{\infty}\sum_{k=0}phi{\infty}\sum_{k=0}phi{\infty}\sum_{k=0}phi{\infty}\sum_{k=0}phi{\s=1}^{n}a_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}
ホロノミック制約に対する普遍検定を使用する。 このシステムがホロノミックであれば、最大8つのテストを行う必要があります。 しかし、数学的な直感を使用して、システムが最初のテストで非ホロノミックであることを証明するために最善を尽くすことができます。 テスト方程式を考慮すると、次のようになります:
γ(∂β∂u α−∂、α∂u β)+β(∂、α∂u γ−∂、γ∂u α)＋α(∂、γ∂u β−∂β∂u γ)=0{\displaystyle A_{\gamma}{\bigg(}{\frac{\partial A_{\beta}}{\partial u_{\alpha}}}-{\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial u_{\beta}}}{\bigg)}+A_{\beta}{\bigg(}{\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial u_{\gamma}}}-{\frac{\partial A_{\gamma}}{\partial u_{\alpha}}}{\bigg)}+A_{\alpha}{\bigg(}{\frac{\partial A_{\gamma}}{\partial u_{\beta}}}-{\frac{\partial A_{\beta}}{\partial u_{\gamma}}}{\bigg)}=0}
いずれかの項a α{\displaystyle A_{\gamma}}{\partial U_{\gamma}}}{\bigg)}=0
p>
,a β{\displaystyle a_{\beta}}
,a β{\displaystyle a_{\beta}} }}
、またはa≤{\displaystyle A_{\gamma}}
はゼロであり、テスト方程式のその部分は解くのが自明であり、ゼロに等しい。 したがって、最初のテスト方程式にゼロ以外の項をできるだけ多く持たせて、それらの合計がゼロに等しくない可能性を最大化することをお勧めし したがって、我々は選択します: Α=1{\displaystyle A_{\alpha}=1}
β=0{\displaystyle A_{\beta}=0}
θ=−r cos θ{\displaystyle a_{\gamma}
u Α=d x{\displaystyle U_{\alpha}=dx}
U Β=d θ{\displaystyle u_{\Beta}=d\Theta}
u θ= d∞{\displaystyle u_{\gamma}=d\phi}
テスト方程式に代入します:
(−r cosθ)(∂y∂x∂x∂y∂x(0)−∂∂θ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ 抽(1)−∂y∂x∂x∂y∂x(−r cosθ))+(1)(∂∂θ(−r cosθ)−∂∂抽(0))=0{\displaystyle(-r\cos\theta){\bigg(}{\frac{\partial}{\partial x}}(0)-{\frac{\partial}{\partial\theta}}(1){\bigg)}+(0){\bigg(}{\frac{\partial}{\partial\phi}}(1)-{\frac{\partial}{\partial x}}(-r\cos\theta){\bigg)}+(1){\bigg(}{\frac{\partial}{\partial\theta}}(-r\cos\theta)-{\frac{\partial}{\partial\phi}}(0){\bigg)}=0}
r sin θ=0{\displaystyle r\sin\theta=0}
sin θ{\displaystyle\sin\theta}
は必ずしも等しいとは限らないため、この系は非ホロノミックであることが容易にわかる。ゼロに。
Additional conclusionsEdit
我々は、システムが非ホロノミックであるという証明を完了しましたが、私たちのテスト方程式は、システムがさらに制約されている場合、ホロノミックである可能性があるかどうかについてのいくつかの洞察を与えました。 多くの場合、テスト方程式は−1=0{\displaystyle-1=0}
のような結果を返しますが、システムを根本的に変更することなく、システムをホロノミックに制約することはできませんでしたが、結果ではr sin θ{\displaystyle r\sin\theta}
は2つの異なる方法でゼロに等しくすることができます：
- r{\displaystyle r}
車輪の半径はゼロにすることができます。 システムはすべての自由度を失うため、これは役に立ちません。
- sin θ{\displaystyle\sin\theta}
θ{\displaystyle\theta}
をゼロに設定することでゼロにすることができます。 これは、車輪が回転することを許されず、常に直線でのみ移動しなければならなかった場合、それはホロノミックシステムであることを意味する。
しかし、我々はまだ考慮していないことが一つあります,システムのためのすべてのそのような変更を見つけるために,一つは、すべてのテスト方程式を実行する必要があります(各制約方程式から四つ)そして、すべての障害を収集して、可能であれば、システムをホロノミックにするためのすべての要件を収集します. このシステムでは、7つの追加のテスト方程式のうち、追加のケースが表示されます:
−r cosθ=0{\displaystyle-r\cos\theta=0}
こない多くの困難にして加える方程式の分割によるr{\displaystyle r}
結果、このように表示されます:sinθ−cosθ=0{\displaystyle\sin\theta-\cos\theta=0}
以上のソθ=π4+n π; n∈Z{\displaystyle\theta={\frac{\pi}{4}}+n\pi ;\;n\in\mathbb{Z}}
“新しい位置は取られたパスに依存する”と言われているところで、上記の素人の説明を参照してください。 車輪がホロノミックであれば、車輪が常に地球上の同じ場所にロールバックされている限り、弁茎は常に同じ位置に終わるでしょう。 しかし、明らかに、これはそうではないので、システムは非ホロノミックです。”しかし、ホイールが完全に直線で回転して戻ってくるだけであれば、バルブステムは同じ位置に終わることを視覚化するのは簡単です！ 実際、与えられたθ{\displaystyle\pi}
/4{\displaystyle4}
の角度に平行に移動することは、座標系自体の向きが任意であるため、現実世界では実際には必要ではない。 ホイールが与えられた基準に対して任意の固定角度で直線でのみ移動する場合、システムはホロノミックになることができます。 したがって、元のシステムが非ホロノミックであることを証明しただけでなく、ホロノミックにするためにシステムに追加できる制限を見つけるこ
Rolling sphereEdit
この例は、上記で検討した’rolling wheel’問題の拡張です。
三次元直交直交座標フレーム、例えば、原点のためにマークされた点を持つレベルテーブルトップ、および鉛筆の線でレイアウトされたx軸とy軸を考え 例えば、ピンポンボールのような単位半径の球を取り、1つの点Bを青色でマークします。 この点に対応するのは球の直径であり、球の中心Cに位置するこの直径に直交する平面は、点Bに関連付けられた赤道と呼ばれる大円を定義します。 点Bが原点と一致し、Cがx=0、y=0、z=1に位置し、Rがx=1、y=0、z=1に位置するように、z=0平面上に球を配置します。Rは正のx軸の方向に延びています。 これは球の初期方向または基準方向です。
球は、必ずしも単純に連結された経路ではなく、z=0平面内の任意の連続した閉じた経路に沿って転がることができ、cはx=0,y=0,z=1に戻る。 一般に、点Bは原点と一致しなくなり、点Rは正のx軸に沿って伸びなくなります。 実際、適切な経路を選択することによって、球は、ｘ＝０、ｙ＝０、ｚ＝１に位置するＣを有する球の初期配向から任意の可能な配向に再配向され得る。 したがって、システムは非ホロノミックです。 アンホロノミーは二重一意四元数（qと−q）で表され、球面を表す点に適用すると、点Bと点Rをそれらの新しい位置に運ぶことができる。
フーコー振り子編集
非ホロノミック系の追加の例は、フーコー振り子です。 ローカル座標フレームでは、振り子は、パスの開始時に地理的な北に対して特定の向きを持つ垂直平面内でスイングしています。 システムの暗黙の軌道は、振り子が配置されている地球上の緯度の線です。 振り子は地球のフレーム内で静止していますが、太陽と呼ばれるフレーム内を移動し、地球の回転速度と同期して回転しているため、振り子平面の見かけ上の動きは地球の回転によって引き起こされるものだけです。 この後者のフレームは、慣性基準フレームであると考えられていますが、より微妙な点で非慣性でもあります。 地球のフレームは非慣性であることがよく知られており、遠心力とコリオリ力の見かけの存在によって知覚可能になった事実である。
緯度線に沿った運動は時間の経過によってパラメータ化され、フーコー振り子の振動面は時間の経過とともに局所的な垂直軸を中心に回転するように 最初の向きに対する時刻tにおけるこの平面の回転角度は、システムのanholonomyです。 緯度の完全な回路によって誘導されるanholonomyは、その緯度の円によってサブテンディングされた立体角に比例します。 パスは緯度の円に制約される必要はありません。 たとえば、振り子は飛行機に搭載されている可能性があります。 Anholonomyはまだパスによってサブテンドされた立体角に比例していますが、これは非常に不規則である可能性があります。 フーコーの振子は平行輸送の物理的な例である。
光ファイバ内の線形偏光編集
光ファイバの長さを取り、三メートルを言い、絶対に直線にレイアウトします。 垂直偏光ビームが一方の端に導入されると、それは他方の端から出て、垂直方向に偏光されたままである。 垂直偏光の向きに対応するストライプで繊維の上部をマークします。
今、直径十センチメートルの円筒の周りにしっかりと繊維を巻きます。 繊維の経路は、円のように一定の曲率を有する螺旋を記述する。 らせんはまた、一定のねじりを有するという興味深い特性を有する。 そのような結果は繊維の中心線が螺旋形に沿って進歩すると同時に繊維の軸線のまわりの繊維の漸進的な回転です。 これに対応して、ストライプはまた、らせんの軸の周りにねじれます。
直線偏光が再び一端に導入されると、偏光の向きがストライプと整列して、一般に、ストライプと整列した線形偏光として出現しますが、繊維の長さ、ヘリックスのピッチと半径に依存して、ストライプに対して一定の角度で整列します。 このシステムはまたnonholonomic、なぜなら私達は容易に第2螺旋形の繊維を巻き、起源のポイントにライトを戻す端を一直線に並べてもいい。 したがって、anholonomyは、ファイバの各回路との偏光角の偏差によって表されます。 パラメータの適切な調整によって、任意の可能な角度状態が生成され得ることは明らかである。
RoboticsEdit
ロボット工学では、非ホロノミックは、特に移動ロボットのための運動計画とフィードバック線形化の範囲で研究されてきました。