flapping plate in uniform flow

Introduction

水泳のエネルギー学、特に抗力低減メカニズムに関する研究は、過去数十年にわたってかなりの量で行われてきた(かなり最近のレビューについては、参照)。 多くの調査が水生動物によって用いられる抗力減少メカニズムに焦点を合わせたが、Lighthillおよび他は抗力が水泳の動きによって実際に高められる Lighthillによって提案された説明は、骨との議論を引用して、時には”骨–Lighthill境界層間伐仮説”と呼ばれるものであり、速度U θでそれ自身に垂直に移動する外部流速度U θ単位面はτ ≈Μ U∥/δ lです。

ドラッグ強調式は、流体中の体の単純な均一な動きに関連付けられている、それはむしろ魚のような水泳ではなく、羽ばたきのような動きに適用 例えば、自由な羽ばたきの翼、又は飛び散る翼は、ほんの数研究を引用するために考慮されています。 正弦波状の矩形翼の羽ばたきを解析し，横縁によって誘起される後流の対称性の損失を単方向飛行に関連させた。 フラッピングによって誘起される誘引状態としてのコヒーレント運動も数値的に再現した。 静止環境における挟み箔の後流を解析し，均一な流れを受ける急落空気箔の実験的および計算的研究を報告した。

しかし、水泳のような動きにおける細長い体に沿った皮膚摩擦は、この量を測定することが困難であるため、あまり注目されていない。 Lighthillによって進められているように、抗力増強の仮説は、抗力減少の提案されたメカニズムと矛盾する。 この不一致は、動物が一定の平均速度で泳いでいるときに平均してバランスをとる推力と抗力を分離することが困難であることを考えると、抗力が不定義であるという事実に起因することがある。 推力は圧力力からも生じるため、圧力抗力を定義することは困難ですが、皮膚摩擦抗力の定義については疑いがありません。 遊泳魚の境界層速度プロファイルを慎重に測定し，イヌ魚の皮膚摩擦抗力が三から五までの因子によって増強されることを確認した。 皮膚摩擦増強は数値シミュレーションでも報告されているが、より小さな要因もある。Bone–Lighthill仮説の重要なポイントの一つは、強化された抗力がに比例するということです。 均一な流れの中でヨーイング円柱上の縦方向抗力を半経験的に解析したとき，Ｔａｙｌｏｒによって同じスケーリングが得られたことは注目に値する。 境界層理論を適用してヨー円筒問題を再圧縮し，抗力係数を導出した。 有限スパンを持つ板はこのモデル問題の極限の場合であり，境界層間伐仮説のスケーリングを求めた。 この皮膚摩擦増強は、流体粒子の加速に起因するものとして理解することができ、この効果を考慮した二次元モデル問題では、下の移動板と高さs/2の自由な上部境界との間の流れを閉じ込めることによって提案されている。 因数は0。6Lighthillによって提案された摩擦境界層の厚さδ lは、このモデルで検索され、Navier-Stokesシステムの二次元数値シミュレーションによって確認されます。

完全な三次元シミュレーションは、移動板に沿って信頼性の高い皮膚摩擦測定がない場合、理論的な抗力増強予測を確認するために必要なままです。 ここでは、厚さが消失する移動する長方形の板、すなわち形態の抗力なしで、均一な流れに浸漬される。 水泳や飛行に関する理論的研究のほとんどでは、抵抗力は圧力抗力と粘性抗力に分解され、例えば運動水泳の最適設計に関する最近の研究では、抵抗力は圧力抗力と粘性抗力に分解される。 この分解は、総抗力の一つの成分として皮膚摩擦を別々に分析することを正当化する。 数値解法は流れ場の特異点であるプレートのエッジを扱うことができ，数値法は信頼できる皮膚摩擦値を提供するために十分に正確でなければならない。 これは，高次コンパクト有限差分離散化とともに多領域アプローチを用いることによって達成され，異なる均一な板速度に対するこの研究で完全な三次元シミュレーションを行った。

本稿の№2では、以前に対処されている移動板の三次元境界層モデルを要約しています。 三次元数値解法は、φ3で説明され、固定平板境界層について検証されます。 移動板の周りの流れのシミュレーション結果は、№4で報告されています。 異なるプレート速度の予測は、皮膚摩擦式の問題に対処し、№5で分析され、周期的なプレート速度も考慮されます。 いくつかの結論は§6で描かれています。

三次元境界層モデル

一様な流入流U θでスパンsを持ち、法線速度U θで移動するプレートを考慮し、図1にスケッチした構成を考えます。 図2に示す均一な流れにおけるヨーイング楕円円柱に対する縦方向抗力の理論的予測は、(y,z)平面における楕円断面の無限のアスペクト比に対する限界ケースであるプレート問題である。 以下では、その結果を簡単に要約する。 ユニフォームフローは、図2に示すように、それぞれ接線成分と法線成分U θとU θに分解されます。 この問題は接線方向に依存しないと考えられ，ポテンシャル流れのｘ成分は単純にＵ∞である。 法線方向では，楕円断面を持つ円柱の周りのポテンシャル流れＱ Ｅを共形写像法を用いて解いた。 (Y,z)平面における楕円境界の周りの境界層内部問題を解決するために、表面に取り付けられた座標θ-θを使用します(図2)。 境界層の方程式は、(θ,θ,x)座標で書かれており、

では、典型的な長さlは、nlが楕円の円周に等しくなるように定義されています（したがって、楕円がプレートの断面に縮退するとnl=2s）。 この問題は、楕円の境界に接線方向θのlと便利な境界層長スケール法線方向θ（一般的な境界層モデリングを参照）で考慮され、レイノルズ数はRe Θ=U≤l/θである。 したがって、参照速度は、それぞれπ方向およびπ方向のU πおよびです。 (2.1)と(2.2)に相当するスケーリングされた方程式は、運動量方程式の近似解を使用して解かれます。 現像境界層プロファイルu θは、流れが付着している限りのみ決定することができることに注意してください: したがって、各アスペクト比b/aについて、z軸に平行なプレートのセクションの限界ケースであるため、図2bにマークされた限界角θ s U θとuxを解くこの境界層解析は、縦抗力係数Cを提供し、単位長さあたりの縦抗力は

楕円円柱のアスペクト比の全範囲でC≤1.8 今後の数値解析のためには、基準速度としてU θを使用し、長さスケールとしてプレートのスパンsを使用することが便利である。 レイノルズ数を定義する

l=2s/πとすると、プレートの単位長さあたりの摩擦抗力の理論的予測は

U*Π=U Π/U πは無次元の通常のプレート速度である。 この式は、の場合に失敗することに注意してください。 したがって、式(2.6)は、プレートのスパンsと長さLの比に依存する可能性のある下限を超える壁速度にのみ関連します。

三次元数値シミュレーション手順

§2で概説されている理論的予測の信頼性を評価するために、完全な三次元問題は、消滅する厚さを持つ板を含む計算領域に対して、数値的に解かれます。 この数値問題は、プレートの前縁と後縁、ならびに横方向の境界に関連する特異点を考えると、特に困難である。 また、この手順は、プレートに沿って信頼性の高い皮膚摩擦結果を提供するために十分に正確でなければならない。 Navier-Stokesシステムの解にはマルチドメインアプローチが使用されています（以下では無次元変数はアスタリスクなしで書かれています）

および

パーティションは、パーティションが次のように設計されています。プレートのエッジは、サブドメイン間の界面の等高線と一致します(図3のスケッチ)。 レイノルズ数Ｒ ｅ＝Ｕ≦ｄ／λは，後に指定する矩形板の入ってくる均一な流速Ｕ≦と典型的な長さスケールｄで形成される。 解決手順の主な側面は、以下に要約されています。 半陰的な二次後方オイラー時間積分を用い，非線形項をＡｄａｍｓ-Ｂａｓｈｆｏｒｔｈスキームで評価した。 投影法は，各タイムステップｔ ｎ＝ｎ δ ｔで中間圧力と速度場を解き，その後にＫｉｍ-Ｍｏｉｎスキームとして知られる非圧縮性を確保するための圧力補正を行う分数ステップ法であると考察した。 したがって、各タイムステップで、θ=3Re/(2δ t)の速度成分に対する一連のヘルムホルツ型問題

圧力（θ=0）を解決する必要があります。 ドメインΩ=≡Ω Kは、インタフェースΣ Ij=Ω I≡Ω Jを持つサブドメインΩ Kに分割され（図3のスケッチを参照）、各サブドメインのヘルムホルツ問題は

ここで、gは、考慮される特定のサブドメインに応じて、計算領域全体の外部に課された境界条件、または内部のプレート上の運動学的条件のいず 三つの空間変数（ｘ，ｙ，ｚ）における離散化のための高次コンパクト有限差分スキームを考察した。 スキームは、不均一なメッシュのために導出されます : 特に、に示されているように、境界付近の点のクラスタリングは、振動を回避し、内部と同じ次数の境界閉包スキームを可能にするために、ここで考えら 前処理ステップでは，各方向の二次導関数演算子を対角化し，タイムステップ手順中に各サブドメインにおけるＨｅｌｍｈｏｌｔｚ問題の高速直接ソルバを生じさせる。 Continuity of the solution as well as of its normal derivative is required at the domain interfaces Γij and fieldsare introduced such that

このシステムでは、時間離散化のための明示的な項を含む式(3.7)の右辺は時間依存であり、各タイムステップで、インターフェイス上の境界値μは、正規導関数(3.9)の連続性を満たすために計算されなければならない。 この問題の代数的定式化は線形システムを導き、その解は隣接するドメイン間の境界条件を提供する。 このシステムは，影響行列とも呼ばれるＳｃｈｕｒ補数行列を含み，その内部ブロック構造は前処理段階でサブドメインパーティションと一貫して決定される。 並列MPIアルゴリズムは、フランスのコンピュータセンター IDRISのクラスタIBM x3750を使用して設計されており、各サブドメインに割り当てられているプロセ Ｓｃｈｕｒ補体系は，階層ＧＭＲＥＳオプションとブロックＪｏｃｏｂｉ前処理を用いて，ポータブルで拡張可能な科学計算ツールキット（Ｐｅｔｓｃ）計算環境，より具体的にはＫｒｙｌｏｖ部分空間パッケージ（ＫＳＰ）を用いて反復的に解いた。 各サブドメインΩ Kでは、30×30×30メッシュが使用されており、アルゴリズムは考慮されるドメインの数（最大120）にほぼ直線的にスケールすることが証明

(a)平板境界層検証

移動プレートに沿った流れに対処する前に、有限のエッジを持つプレートに沿った定常境界層を計算する必要があります。 プレートのエッジは、y=0(図1のスケッチを参照)に配置された消失厚さで、プレートが入ってくる均一な流れと接触しているときの特異点です。 この困難はマルチドメインアプローチを用いた構築によって克服され，エッジは隣接ドメイン間の境界線であり，したがって特異値は計算全体にわたって明示的に現れない。 計算デカルトドメイン

が考慮されており、長さL=36、スパンs=6の長方形のプレートは、y=0平面に位置し、前縁はxl=6、中心はz=0である。 X=0での一様な流れ(1,0,0)(流入時の一様な流れU θは基準速度である)を考慮し、x=60で移流流出条件を使用します。 流速の壁法線成分とスパン方向成分、それぞれvとwは、y=±8でプレートから遠くに消えると仮定されているが、流れ方向成分uには遠場ノイマン境界条件が課されている。 レイノルズ数Re=200が考慮されており、プレートのスパンsに基づいてRes=1200である。 使用されるマルチドメインパーティションは120個のサブドメインを含み、(ndx,ndy,ndz)=(10,4,3)は三つの方向のドメインの数、すなわちxの六つのドメインとzの一つのドメインを超えるプレート範囲である。 すべての変数は無次元になり、変位の厚さは平板に沿った境界層の便利な長さスケールです。 図4aは、異なるスパン方向の位置での変位厚さを示しています。 この値は、エッジに近い領域以外に、スパンに沿って大きく変化しません。 変位の厚さは、流れ場が特異的挙動を有するσ=42でのプレートの後縁に近い領域（厚さが消失する）を除いて、理論によって期待されるように単調に成長す なお、最大値はδ(x)≤0である。すなわち、境界層は、無限小摂動に関して安定である（δに基づく臨界レイノルズ数は≦520である）。Ｒｅ Δ≦120の変位厚さに基づいて最大レイノルズ数を また、遠場境界）は境界層エッジから十分に遠く、境界層プロファイルが均一な流れの99％を回復する距離は≤3δであることに注意してください。…..

単位表面あたりの無次元摩擦抗力、スキン摩擦は、

τは壁のせん断応力であり、cf=0.57/Re Δ(x)は、変位厚さで無次元にしたときに、スパン方向の無限平板に沿ったブラシウス境界層に対して、変位厚さで無次元にしたときに計算されます。 この古典的な境界層の公式は、流れが付着したままである限り、ゼロ圧力勾配流に適用される。 流れ場の三重デッキ構造のようなより複雑な漸近法は、前縁や後縁のような特異点付近の挙動を記述するために使用されなければならない。 本研究では，プレートに沿った流れに焦点を当て，数値Ｎａｖｉｅｒ–Ｓｔｏｋｅｓ解との比較のために古典理論のみを考察した。 図4bは、プレートの中心での流れ状態の計算されたcf値を示しており、前縁xl=6および後縁θ=42で予想される特異挙動を示しています。 プレートに沿って、皮膚摩擦は破線として描かれた理論的なブラシウス値に近い。 板の特異点は壁-垂直速度勾配の有意な振動を誘発せず，矩形平板のこのテストケースではシミュレーション手順が信頼できる皮膚摩擦値を提供することが分かった。

移動プレート上の流れ

定常流が確立されると、プレートは動きに設定され、無次元で一定のプレート速度U θはアスタリスクなしで書かれます。 プレートは最初は平面y=0に位置し、その空間的に均一な変位はσ(t)=U≤tです。

計算固定法線座標が考慮されます。 Navier-Stokesシステム（3.1）では、時間微分はそれに応じて変換されなければならず、プレート上では運動学的条件が適用されます。

この手順では、マッピングによれば、流れが均一になる遠場境界は、時間積分を通してプレートから一定の距離にとどまる。 離散化のために、120のサブドメインは、§3で説明されている境界層計算と同じ30×30×30メッシュのサブドメインあたりのマルチドメイン手順で考慮されています。 厚さがゼロ、長さL=36、スパンs=6のプレートは、全体の計算ドメインΩ=××内の平面に6≤x≤42、-3≤z≤3の矩形を形成します。

レイノルズ数は、プレートのスパンに基づいてRe=200、または同等にRes=1200です。 システムは初期条件として固定版のための流れ速度から始まって異なった版の速度U≤のための時間に（タイムステップΔ T=0.005と）、統合された。 T=40でのプレートの周りの瞬間的な流れ構造は、U θ=0.1,0.2,0の図5に示されています。図3に示すように、プレートの近傍における流れ方向速度場uのz=0カットが示されている（厚さはゼロであるが、細い黒い線として見える）。 より小さい速度U θ=0.1,0.2では、運動の効果は前縁付近と後縁の下流にのみ見え、境界層構造は動かないプレートと定性的に類似しており、流れ方向速度成分はプレートの境界からわずかな距離で均一な値u=1を回復する。 より高い速度のためにU θ=0。しかし、図３に示すように、流れは前縁で分離を示し、それは下側での逆流れ領域の形成をもたらし、プレートは上向きの動きをする。 流れ方向の渦度場wx=≤w/≤y−≤v/≤zは、前縁からのx=L/3での切断が(z,y)平面に示されている図6に示されています。 上向きの動きの結果として、プレートの横方向の端に二つの反対の反回転渦構造が形成される。 渦度の強さはＵ βとともに増加した。 U≤=0の場合。3いくつかの不完全なマッチング、速度場の勾配を含む渦度は、プレートのエッジに垂直なサブドメイン境界に対応する線で表示されます。 これは，この数値問題におけるＳｃｈｕｒ補数行列系を解くために使用される反復手順の誤差許容度によるものである。

固定プレートに沿った境界層の流れから始まり、プレートを運動させると、流れ構造は過渡的な領域を受け、重要な問題は、時間積分中に準定常状態に収束するかどうかである。 単位表面あたりの無次元摩擦力

プレートの下面と上面、すなわちそれぞれy=0−とy=0+で、u≤=0.1x=L/3で、異なる時間t=20,30,40では、図7に示されている。 T=40での流れは、この小さなプレート速度に対して準定常状態にあると考えることができることがわかります。 Z=±3における横方向のエッジは流れ場の特異点であり、プレートのエッジの非常に近くを除いてスキン摩擦がプロットされることに注意してくださ 動かないプレートの皮膚摩擦も点線として示されており、これはもちろん、縁部に隣接する領域を除いてプレートに沿って一定である。 粘性摩擦増強は既にこの低い板速度で明らかに実証されている。 より高い速度U θ=0のための皮の摩擦。図3を図8に示す。 プレートが動いている上側では摩擦値は収束挙動を示したが，下側では流れは非定常のままであった。 実際、図5に示すように、U θ=0.3での流れは、一般に非定常挙動と同義である前縁で比較的強い分離を示す。 また、下側では、皮膚摩擦は、z=0に関して対称な二つのピークを示し、これは高い壁速度に対してより顕著である。 この摩擦抵抗の局所的な増加は、上向きの動きによって誘導され、図6に示す下側のエッジ渦度構造の存在に関連している可能性が高い。

移動プレートのスキン摩擦式

スパンsを使用して縦摩擦抗力（2.6）を無次元にすると、

アスタリスクがなければ、積分はスパンの上下側に沿って取られ、数値積分式の特異点であるプレートのエッジを省略する（単純な台形則が使用されている）。 粘性抗力係数が定義できるかどうかは準定常状態の存在と密接に関連している。 しかし，前節で示したように，流れの局所的特徴は，前縁と側縁での流れの強い分離のために，より高いプレート速度で非定常である可能性が高い。 ここで考慮される最も高い版の速度はU θ=0.4であり、spanwise統合された皮の摩擦Cfはt=80まで計算された。 T=40,60,80の場合の結果を図9に示します。 前縁付近では挙動は非常に不安定であるが、この量に対する準定常進化はより下流に見られる。 これは，初期過渡挙動が消失した後，異なるプレート速度に対する粘性摩擦をある一定の時間に比較できるという確信を与える。 T=40でのU θ=0.1、0.2、0.3、0.4の結果を図10に示します。 予想されるように、Cf値の一貫した挙動は、前縁に近い領域で観察されないが、より下流の曲線は、互いに平行から遠くないことが見られる。 図11では、量

は、x=15から始まり、前縁付近のプレートの長さの四分の一を破棄していることが示されています。 この量はxによって変化するが、最も低い壁速度U≤=0.1の場合に加えて、C3D≤1.8の周りの値で曲線のクラスタリングが観察される。 この値は理論的な係数C3D=1.4(§2参照)よりも高く、理論モデルでは分離線(プレートの横縁)を超える摩擦抵抗の寄与が考慮されていないため、驚くことではありません。 また、摩擦抗力式を導出する際には、流れの流れごとの不変性を仮定し、スケーリングに正確につながるスパン方向の境界層構造 このスケーリングはもちろん、C3Dの観測された流れ方向の依存性につながる流れ方向の境界層進化によって変更されます。また、低い壁速度の場合、U λ=0での結果を説明するスパン方向の境界層構造に主に焦点を当てることはより疑問です。図1は、図11で少し離れています。

(a)周期的なプレート速度

任意の水泳行動における壁の動きは周期的であり、その中で魚や鯨類の多数の通常の体の速度は、典型的には頭から尾まで0.1U≤から0.3U≤まで変化することが示されている。 このモデルでは、プレートの明示的な空間的うねりは考慮されていませんが、周期的な動きに対処するために、壁速度

A=0.3、ω=0.06が考慮されています。 壁の最大速度は0です。図３に示すように、プレートの変位θ（ｔ）は、少なくとも典型的なうねりの遊泳振幅に関して、（プレートの長さＬ＝３ ６と比較して）かなり大きな振幅である±Ａ／ω＝±５の間で変化する。 もちろん、プレートの空間的に均一な時間周期的な動きから、現実的なうねりの動きに対して得られる結果を推測することは危険である。 しかし，このモデル問題は，通常のプレート速度と運動の振幅に関して，一種の極端なケースと考えられる可能性が高い。 流れの挙動は、T≤105の二つの期間2Tにわたって計算されており、スパン方向の積分摩擦値Cfは、プレートの二つの位置（x=L/3、L/2）で図12に描かれています。 この量はプレートの運動の周期性を継承することが見られ、予想されるように、過渡初期時間間隔の後、二つのピーク間または曲線の二つの谷の間の距離はT/2≤52である。

時間平均スキン摩擦を図13に示し、動かないプレートのスパン方向摩擦抗力と比較します。 これらの曲線を12≤x≤36の範囲で積分すると、前縁と後縁の近くのプレートの部分を破棄し、動きのないプレートと移動プレートに対してそれぞれ0.34と0.58の抗力値が得られ、周期的な法線速度を持つプレートに対して70%の抗力増加である。 図13の点線は、式(5.1)(C3D=1.8の場合)で得られる皮膚摩擦を示しています。、速度〈|U⊥|Λ=2A/λ=0.191の平均絶対値を考慮することによ このCf値は、プレートの長さの三分の二以上、計算された平均摩擦結果に驚くほど近いことが見られます。

結論

では、いわゆる”骨-ライトヒル境界層間伐仮説”の理論的予測は、法線速度で移動するプレートに沿って境界層モデルを探索 この論文の三次元数値シミュレーションは理論的予測を強化した。 これらのシミュレーションは困難な問題であり、特に時間がかかり、多領域Navier-Stokesソルバーを使用して、比較的小さなレイノルズ数Res=1200で、入ってくる均一な速度U θとスパンsに基づいて、長さ対スパン比L/s=6を持つ唯一のプレート構成が考慮されている。 縦方向の抗力（単位長さあたり）式

は、少なくともいくつかの下限を超える壁法線速度U≤に対して、数値シミュレーション結果によ 計算された係数は1.4の理論値よりも高く、おおよそ1.7<C3D<2と推定することができます。 興味深いことに、この結果はTaylorが使用した半経験値≈2.1からそれほど遠くありません。 プレートの空間的に均一な運動は過度に単純化されているが，水泳運動における皮膚摩擦増強の可能性を例示している。 特に、魚の水泳に関する上限であるプレートの最大法線速度U Θ=0.3U θを持つ時間周期的な空間的に均一な運動は、動かないプレートと比較して、約1.7倍の平均皮膚摩擦増加を提供することが見られている。 ここでも、完全な三次元数値シミュレーションは計算上関与しており、限られたパラメータ値のセットに対してのみ実行できることを強調する必要があ プレートの空間的なうねりも将来考慮する必要があります。

単純化された仮定に基づいているが、我々の結果は、水泳の動きによって皮膚摩擦が増強されるという結論に信用を貸す。 しかし、4と10の間の要因による増加は、他の人の間で提案されているように、そうではありません。

資金調達声明

この作業は、GENCI（Grand Equipement National de Calcul Intensif）によって行われた割り当てi20132a1741の下でIDRISのHPCリソースへのアクセスを許可されました。

脚注

テーマの問題”安定性、分離と密接な身体の相互作用”への15の貢献。