Dual Vector Space

The dual vector space to a real vector space is the vector space of linear functions , denoted . In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

in beide gevallen heeft de dubbele vectorruimte dezelfde dimensie als . Gegeven een vectorbasis voor er bestaat een dubbele basis voor , geschreven , waarbij en de Kronecker-delta is.

een andere manier om een isomorfisme te realiseren met is door een binnenproduct. Een reële vectorruimte kan een symmetrisch binnenproduct hebben in welk geval een vector overeenkomt met een duaal element door . Dan komt een basis alleen overeen met zijn dubbele basis als het een orthonormale basis is, in welk geval . Een complexe vectorruimte kan een Hermitiaans binnenproduct hebben, in welk geval een conjugaat-lineair isomorfisme is van met , d.w.z., .

Dubbele vectorruimten kunnen veel objecten in de lineaire algebra beschrijven. Wanneer en eindig dimensionale vectorruimten, een element van de tensor product zeg , komt overeen met de lineaire transformatie . Dat wil zeggen, . De identiteitstransformatie is bijvoorbeeld . Een bilineaire vorm op , zoals een binnenproduct, is een element van .