Shewhart-controleschema ‘ s worden op grote schaal gebruikt om steekproefgegevens uit een productieproces weer te geven. Ze zijn ook waardevol gevonden in het evalueren van procescapaciteiten, in het schatten van procesparameters en in het monitoren van het gedrag van een productieproces. Een controlegrafiek wordt gehandhaafd door het nemen van steekproeven van een proces en het plotten in tijdvolgorde op de grafiek sommige statistisch berekende vorm de steekproeven. Controle grenzen op de grafiek vertegenwoordigen de grenzen waarbinnen de geplotteerde punten zou vallen met grote waarschijnlijkheid als de opererende in controle. Een punt buiten de controlegrenzen wordt beschouwd als een indicatie dat iets, soms een speciale oorzaak van variatie genoemd, is gebeurd om het proces te veranderen. Wanneer de grafiek aangeeft dat er een speciale oorzaak aanwezig is, wordt corrigerende actie ondernomen om de speciale oorzaak te verwijderen en het proces weer onder controle te brengen. Naast de gemeenschappelijke oorzaken, die willekeurige variatie veroorzaken, kunnen speciale oorzaken individueel een aanzienlijke hoeveelheid variatie produceren. Wanneer een speciale oorzaak van variatie aanwezig is, wordt de verdeling van de kwaliteitsmetriek geïndexeerd door een of meer parameters en het effect van de aanwezigheid van een speciale oorzaak is om de waarden van deze parameters te veranderen. Het doel van een controlekaart is om speciale oorzaken van variatie op te sporen, zodat deze oorzaken kunnen worden gevonden en geëlimineerd. Omdat een speciale oorzaak wordt verondersteld om een parameterverandering te veroorzaken, kan het probleem waarvoor een controlekaart wordt gebruikt worden geformuleerd als het probleem van het bewaken van een proces om eventuele veranderingen in de parameters van de verdeling van de kwaliteitsvariabele op te sporen.
bewijsstuk 1. De veralgemeende Shewhart controle Chart
Duncan (1956) geeft aan dat de gebruikelijke praktijk bij het handhaven van een controle chart is om het monster uit het proces te plotten ten opzichte van constante breedte controle limieten, laten we zeggen three-sigma limieten. In dit document wordt een wijziging van de standaardpraktijk onderzocht waarbij de grenswaarden voor de controle van de bemonstering niet worden vastgesteld, maar kunnen variëren nadat het proces gedurende een bepaalde periode heeft gewerkt. De basis van de keuze van de controle limiet breedte is een model voor de kosten van de exploitatie van de grafiek. Kostenmodel is ontwikkeld om de totale kosten per tijdseenheid te beschrijven van het monitoren van het gemiddelde van een proces met behulp van zowel de standaard als de gegeneraliseerde Shewhart-controlekaart. Bij de ontwikkeling van het kostenmodel wordt ervan uitgegaan dat het kwaliteitskenmerk van belang gewoonlijk met bekende en constante variantie wordt verdeeld.
de definitie van het kostenmodel voor het standaard Shewhart-controleschema verloopt in twee stappen zoals gedefinieerd door Zou & Nachlas (1993). Ten eerste wordt de uniforme levensduurverdeling gebruikt om de willekeurige variabele t te beschrijven, de tijd tot een procesverschuiving. Aangenomen wordt dat het proces onderhevig is aan een verschuiving van de controlewaarde van het procesgemiddelde, μ1, naar een controlewaarde, μ2, op een willekeurig tijdstip. Vervolgens, de kosten van het gebruik van een standaard Shewhart controle chart wordt gedefinieerd met behulp van vier kosten termen. Ze zijn (1) inspectiekosten; (2) vals alarm kosten; (3) echte signaal kosten; en (4) kosten van het produceren van extra niet-conforme items wanneer het proces uit de hand is. Daarnaast wordt de verwachte cycluslengte bepaald. Vervolgens wordt de verwachte totale kosten per tijdseenheid geconstrueerd als de inspectiekosten plus de verhouding tussen de som van de drie verwachte kosten en de verwachte cycluslengte. De definitie van het overeenkomstige kostenmodel voor het algemene Shewhart-controleschema verloopt op dezelfde wijze. Stel dat we van plan zijn om de grafiek te starten met een set van controle limieten en om de limieten strakker te veranderen nadat het proces heeft gewerkt voor een periode die wordt bepaald. In het bijzonder gaan we ervan uit dat het proces om de uur monsters zijn en na de maandsteekproef worden de controlelimieten gewijzigd. Dit wordt geïllustreerd in bewijsstuk 1. Het doel is om de economische waarden van de kostenparameter te kiezen om de verwachte totale kosten te minimaliseren. Het kostenmodel is geconstrueerd om de optimale keuze van de verandering-in de tijd en de beste waarden voor de initiële en aangepaste controle limieten mogelijk te maken en kan daarom de controle chart gevoeligheid voor kleine maar verwachte verschuivingen in het proces gemiddelde verhogen, zodat de grafiek in staat is om snel een speciale oorzaak te detecteren en het proces onder controle te brengen. Het kostenmodel wordt ook gebruikt om een vergelijking te maken met de conventionele implementatie van de Shewhart control chart voor het PMBOK® kwaliteitsmanagement onderwijs doel.
modelontwikkeling
stel dat een proces wordt gemonitord met behulp van een 
grafiek en het proces wordt onderworpen aan een verschuiving van de controlewaarde van het procesgemiddelde, μ1, naar een controlewaarde, μ2, op een willekeurig moment. Stel dat de tijd tot een procesverschuiving een willekeurige variabele is met F ( t)=T/θ, (0 <<∞). Zij N de maximumwaarde van t zijn, dan n = θ/h, en stel dat N als geheel getal is. Om de verwachte totale kosten per tijdseenheid te berekenen, worden de volgende kostencategorieën in aanmerking genomen:
1. Ci = bemonsterings-en inspectiekosten, eenheidskosten per gebeurtenis = c
2. Cf = kosten van vals alarm, eenheidskosten per gebeurtenis = c
3. Ct = true signal and process correction cost, unit cost per event = c
4. Cd = kosten van het produceren van ondermaats product terwijl het niet onder controle is, eenheidskosten per post = c
5. CT = totale kosten per tijdseenheid
de verwachte totale kosten per tijdseenheid functie wordt dan gedefinieerd als:
waarbij E de verwachte cycluslengte (tijd tot signaal) is. De volgende notaties worden gebruikt:
μ1 = in-control-waarde van het proces betekenen
μ2 = out-of-control waarde van het proces betekenen
σx = de bekende en constante standaarddeviatie van een populatie
de UCL = upper control limit = μ1 + kσx / n1/22
LCL = lower control limit = μ1 – kσx / n1/2
Ux = upper specification limit
Lx = lower specification limit
p1 = percentage niet-conforme als μ = μ1
p2 = percentage niet-conforme als μ = μ2
p = p1 – p2
h = de tijd tussen twee samples
r = productie in eenheden/uur
n = aantal geïnspecteerde items per monster
m = aantal monsters voordat u de controle limieten
δ = aantal eenheden van σx van μ1 te μ2
k1 = aantal σx /n1/2 van μ1 aan de UCL voor monster mh
k2 = aantal σx /n1/2 van μ1 aan de UCL na monster mh
α = de type I fout waarschijnlijkheid
β = de type II fout waarschijnlijkheid
De beslissing variabelen n, h, m, k1 en k2. De optimale waarden voor de beslissingsvariabelen worden gekozen om de verwachte totale kosten per tijdseenheid te minimaliseren.
(1) Inspection cost = Ci = {fixed cost + (unit cost)(number inspected)}/{time between samples}, daarom:
bewijsstuk 2. Tijdsintervallen met T en tp
merk op dat de inspectiekosten voor zowel het standaard-als het algemene Shewhart-controleschema gelijk zijn.
(2) Valse alarm kost = Cf = (toestel kosten)(kans op vals alarm) = cf P.
Laat A = “vals alarm”, A1 = “false alarm op monster ik,” A2 = “er is geen proces shift voor monster ik,” dan is de kans op vals alarm is gebouwd:
Dus het valse alarm kost:
De kans op vals alarm voor de gegeneraliseerde Shewhart-diagram is heel verschillend van die voor de standaard controle-diagram. We moeten t ≤ mh of t > MH afzonderlijk beschouwen. Dus:
daarom:
(3) true signal cost = Ct = (unit cost)(probability of a true signal) = ctP.
Let B = “true signal,” B1= “process shift in interval j”, B2 = “no false alarm on proceeding j-1 samples,” then the expression for P is:
dus, de True signal cost heeft de volgende vorm:
de waarschijnlijkheid van het ware signaal voor de gegeneraliseerde Shewhart controle chart wordt gedefinieerd als:
aldus:
(4) kosten van het produceren van niet-conforme items wanneer het proces uit de hand loopt = Cd = (eenheidskosten)(productiesnelheid)(toename in verhouding niet-conforme)(verwachte tijd uit de hand).
De tijdsintervallen bij deze stap kunnen in Bijlage 2 worden besproken.
De E = E + E = E + E. merk op dat het deel van het interval voor de procesverschuiving kan worden geschreven als T = t-jh, daarom:
dan:
tot slot:
De E is hetzelfde voor de gegeneraliseerde Shewhart controle chart maar de E is een beetje anders omdat de identificatie van het interval waarin de verschuiving optreedt de signaalkans beïnvloedt. Dus:
daarom:
(4) Let E1 = “vals alarm op monster j en geen procesverschuiving voor monster j,” E2 = “procesverschuiving tijdens interval s, geen vals alarm voor intervallen, en waar signaal op monster j (j-S+1st na de dienst).”Dan is de uitdrukking voor de verwachte cycluslengte:
de verwachte cycluslengte voor het gegeneraliseerde Shewhart-controleschema moet ook verschillen in signaalgebeurtenissen voor en na mh weergeven. E(g) kan worden geschreven als:
daarom:
modelanalyse
refererend aan het eerder ontwikkelde kostenmodel zijn de kostentermen functies van de beslissingsvariabelen, kostenparameters en de distributieparameter. Twee van de beslissingswaarden van m en n zijn beperkt tot gehele getallen, terwijl k1 en k2 reële waarden kunnen aannemen. Aangezien Montgomery (1980) aangeeft dat een bemonsteringsfrequentie van één uur gebruikelijk is voor veel controlekaarten, wordt h = één tijdseenheid gebruikt. Het gedrag van het kostenmodel wordt numeriek geanalyseerd. GINO (Lasdon & Warren, 1985) wordt gebruikt om het gedrag van het kostenmodel over redelijke parametersets te onderzoeken en het generalized reduced gradient (GRG) algoritme wordt gebruikt om de verwachte totale kosten per tijdseenheid functie voor deze parametersets te minimaliseren. De geëvalueerde parameterbereiken worden hieronder vermeld.
(1) θ θ(8, 200)
(2) δ = 0.522, de grootte van de verschuiving in het gemiddelde wanneer een verschuiving optreedt. Deze waarde wordt geselecteerd omdat is overeenkomt met een toename van de verhouding niet-conforme van 0,01 tot 0,02.
(3) ci = 1,0; 5,0
(4) cd ∈ (1, 10)
(5) cf = 100
(6) r = 200, de productiesnelheid
(7) ct = 10
de bovenstaande parameterbereiken bepalen de scenario ‘ s waaronder de economische prestaties van de standaard en de Algemene Shewhart-controlekaart worden onderzocht. De numerieke analyse van het gedrag van de verwachte totale kosten per tijdseenheid met betrekking tot de beslissingsvariabelen voor een familie van de parameterbereiken wordt onderzocht.
de verwachte totale kosten per tijdseenheid functie is convex in k voor alle bereiken van de andere parameters. Kleine waarden van k creëren grote verwachte totale kosten omdat er een buitensporig aantal valse alarmen wordt gegeven. Dit kan elke kostenbesparing als gevolg van snelle shift detectie domineren. Intermediaire waarden van k produceren de kleinste verwachte totale kosten omdat ze de kosten van niet-conforme productie in evenwicht brengen met de kosten van vals alarm. Grote waarden van k zorgen voor een verminderde kans op shiftdetectie en dus voor steeds grotere niet-conforme productiekosten. Het totale effect is dat de verwachte kosten tot een minimum dalen en dan weer stijgen als k stijgt.
de verwachte total cost-functie is ook convex in n voor alle bereiken van de andere parameters. Kleine waarden van n impliceren lage bemonsteringskosten, maar hoge niet-conforme kosten aangezien verschuivingen niet snel worden gedetecteerd. Intermediaire waarden van n balanceren de bemonsteringskosten met de niet-conforme productkosten om de laagste verwachte totale kosten te bereiken. Grote waarden van n impliceren grote bemonsteringskosten, die de besparingen in niet-conforme productkosten kunnen domineren die worden bereikt door Grotere detectiekansen. Deze interpretaties variëren afhankelijk van het relatieve belang van elke kostencategorie, maar het algemene effect is dat de verwachte total cost functie convex is in n.
bovenstaande resultaten voor n en k worden verwacht voor de standaard Shewhart controlekaarten in het algemeen en bevestigd voor de Algemene Shewhart controlekaarten. De gegeneraliseerde Shewhart controle chart heeft functies die de standaard Shewhart controle chart niet. De eigenschappen die voortvloeien uit deze extra functies worden nu onderzocht.
Modelgedrag in termen van de beslissingsvariabele m, k1 en k2 wordt gekenmerkt door drie gevallen. De relatieve groottes van de kostenparameters bepalen in elk geval welk gedrag wordt waargenomen. In geval één, de verwachte totale kosten per tijdseenheid functie CT, toont convex gedrag in elk van de beslissingsvariabelen m, k1, en k2 en een minimum komt voor in het interieur van de convex haalbare regio. Dit betekent dat de minimale kosten controle grafiek is een vorm van de gegeneraliseerde Shewhart controle grafiek. In geval twee is CT nog steeds convex, maar het heeft een minimum dat overeenkomt met een grens van m = 0 en k2 = k1 en het neemt strikt toe in elk van deze variabelen. Dit betekent dat de minimale kosten controle grafiek is een standaard Shewhart controle grafiek met geen controle limieten wijzigingen. In geval drie neemt CT strikt af in zowel m als k2 en heeft het een minimum aan de grens k1 = k2 en m = ∞. Dit houdt in dat de minimale kosten controle grafiek is een standaard Shewhart controle grafiek met geen controle limieten veranderingen.
conclusie
bovenstaande analyse levert een aantal interessante punten op. De eerste is dat de analyse van de kosten van de exploitatie van elk type controleschema zeer zorgvuldig moet worden behandeld, omdat de kostenfunctie niet altijd de algemeen aangenomen regelmaat heeft. De keuze van kostencoëfficiënten, de tijd van verschuiving distributie en distributieparameters hebben een directe invloed op de prestaties van de verwachte totale kosten per tijdseenheid functie. De belangrijke resultaten van de uitgevoerde analyse tonen aan dat de Algemene Shewhart-grafiek voor middelen economisch aantrekkelijk kan zijn wanneer de inspectiekosten, de werkelijke signaalkosten en de niet-conforme kosten samen de verwachte cycluslengte en de kosten van vals alarm in evenwicht brengen. Wanneer dit het geval is, is de verwachte totale kosten per tijdseenheid functie convex met een interieur minimum en een mogelijkheid voor optimalisatie van de gegeneraliseerde Shewhart control chart. Wanneer één of meer van de modeltermen de andere domineert, zullen de verwachte totale kosten per tijdseenheid hetzelfde stijgend of dalend gedrag vertonen als de dominerende factor en zal het algemene kostenmodel zoals bestudeerd in dit document onaantrekkelijk zijn.
de tweede conclusie is dat alle modelparameters en variabelen belangrijk zijn voor de verwachte totale kosten per tijdseenheid. De controlegrenzen k1 en k2 hebben een groot effect dan de distributieparameter θ en k2 heeft een groter effect dan k1. Het is ook waar dat de steekproefgrootte, n, en het tijdstip van de verandering in de breedte van de controlegrenzen, m, het effect van de distributieparameter, K1 en k2 versterken.
de eindconclusie is dat er controlegrafiektoepassingen zijn waarvoor het kostenmodel nuttig is. Waarden van het productieproces parameters die meer vaak voorkomende relaties weer te geven leidt tot de gegeneraliseerde Shewhart control chart met lagere kosten dan de overeenkomstige standaard Shewhart control chart. Voor het voorbeeld geval hierboven geanalyseerd, de optimale besparing is $ 0,22 per item geproduceerd. Aangezien de productie snelheid aangenomen is 200 / uur, de besparing $ 44 per uur. Deze besparing is dramatisch en daarom is de veralgemeende Shewhart control chart de moeite waard na te streven.