Niet-ergonomisch systeem

Rolwieldedit

een wiel (soms gevisualiseerd als een eenwieler of een rolmunt) is een niet-ergonomisch systeem.

verklaring voor leken edit

beschouw het wiel van een fiets die op een bepaalde plaats (op de grond) geparkeerd staat. In eerste instantie bevindt de opblaasklep zich op een bepaalde positie op het wiel. Als de fiets rondgereden wordt en vervolgens op precies dezelfde plaats geparkeerd wordt, zal de klep vrijwel zeker niet in dezelfde positie staan als voorheen. Zijn nieuwe positie hangt af van het gekozen pad. Als het wiel holonomisch was, dan zou de klepsteel altijd in dezelfde positie eindigen zolang het wiel altijd terug werd gerold naar dezelfde plaats op de aarde. Het is echter duidelijk dat dit niet het geval is, dus het systeem is niet-ergonomisch.

Mathematical explanationEdit

een persoon die op een gemotoriseerde eenwieler rijdt. De configuratieruimte van de eenwieler en de straal r {\displaystyle r}

van het wiel zijn gemarkeerd. De rode en blauwe lijnen lagen op de grond.

het is mogelijk om het wiel wiskundig te modelleren met een systeem van constraintvergelijkingen, en dan te bewijzen dat dat systeem niet-holonomisch is.

eerst definiëren we de configuratieruimte. Het wiel kan zijn toestand op drie manieren veranderen: een andere rotatie om zijn as, een andere stuurhoek en een andere locatie. We kunnen zeggen dat ϕ {\displaystyle \phi }

is de rotatie om de as, θ {\displaystyle \theta }

de stuuruitslag in vergelijking met de x {\displaystyle x}

-as en x {\displaystyle x}

en y {\displaystyle y}

definiëren van de ruimtelijke positie. Dus, de configuratie ruimte is: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

We moeten nu betrekking hebben op deze variabelen aan elkaar. We merken dat als het wiel zijn rotatie verandert, het zijn positie verandert. De verandering in rotatie en positie die snelheden impliceren moet aanwezig zijn, we proberen hoeksnelheid en stuurhoek te relateren aan lineaire snelheden door het nemen van eenvoudige tijd-afgeleiden van de juiste termen:

( x, y ) = ( r ϕ cos ⁡ θ r sin ϕ ⁡ θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}

de snelheid in De x {\displaystyle x}

richting gelijk is aan de hoeksnelheid keer de straal maal de cosinus van de stuurhoek, en de Y {\displaystyle y}

snelheid is vergelijkbaar. Nu doen we wat algebraïsche manipulatie om de vergelijking te transformeren naar Pfaffiaanse vorm zodat het mogelijk is om te testen of het holonomisch is. ( x − r ϕ cos ⁡ θ y − r sin ϕ ⁡ θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}

Laten we de afzonderlijke variabelen van hun coëfficiënten (linkerkant van de vergelijking, afgeleid van boven). We realiseren ons ook dat we alle termen kunnen vermenigvuldigen met d t {\displaystyle {\text{d}}t}

dus we eindigen met alleen de Differentialen (rechterkant van vergelijking): ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ ) ( x y θ, ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ ) ( d x d y d θ d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&-r – \cos \theta \\0&&&-r – \sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&-r – \cos \theta \\0&&&-r – \sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\right)}

De rechterkant van de vergelijking is nu in Pfaffian formulier:

∑ s = 1 n A r s d u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle \som _{n=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}

We gebruiken nu de universele test voor holonomic beperkingen. Als dit systeem holonomisch was, zouden we tot acht tests moeten doen. We kunnen echter wiskundige intuïtie gebruiken om ons best te doen om te bewijzen dat het systeem bij de eerste test niet-ergonomisch is. Gezien de testvergelijking is:

Een γ ( ∂ A β ∂ u α − ∂ α ∂ u β ) + Een β ( ∂ α ∂ u γ − ∂ A γ ∂ u α ) + α ( ∂ A γ ∂ u β − ∂ A β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

we kunnen zien dat als een van de voorwaarden van Een α {\displaystyle A_{\alpha }}

, Een β {\displaystyle A_{\beta }}

, of a γ {\displaystyle A_ {\gamma }}

waren nul, dat dat deel van de testvergelijking triviaal zou zijn om op te lossen en gelijk zou zijn aan nul. Daarom is het vaak de beste praktijk om de eerste testvergelijking zoveel mogelijk niet-nultermen te hebben om de kans te maximaliseren dat de som van hen niet gelijk is aan nul. Daarom kiezen we: De α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

De γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r – \cos \theta }

v α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d ϕ {\displaystyle u_ {\gamma } = d \ phi }

we vervangen onze testvergelijking:

− r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

en vereenvoudigen:

r sin θ θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

We kunnen gemakkelijk zien dat dit systeem, zoals beschreven, niet-ergonomisch is, omdat sin θ θ {\displaystyle \sin \theta }

is niet altijd gelijk aan nul.

aanvullende conclusiesedit

we hebben ons bewijs dat het systeem niet-holonomisch is voltooid, maar onze testvergelijking gaf ons enkele inzichten over de vraag of het systeem, indien verder beperkt, holonomisch zou kunnen zijn. Vele malen test vergelijkingen terug te keren tot een resultaat − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

impliceert dat het systeem kan nooit beperkt worden holonomic zonder radicaal veranderen van het systeem, maar in ons resultaat kunnen we zien dat r sin ⁡ θ {\displaystyle r\sin \theta }

gelijk kan zijn aan nul, op twee verschillende manieren:

• r {\displaystyle r}
  

  de straal van het wiel, kan ook nul zijn. Dit is niet nuttig omdat het systeem al zijn vrijheidsgraden zou verliezen.

• sin θ θ {\displaystyle \ sin \ theta }
  

  kan nul zijn door θ {\displaystyle \theta }

  

  gelijk te stellen aan nul. Dit houdt in dat als het wiel niet mag draaien en te allen tijde alleen in een rechte lijn moet bewegen, het een holonomisch systeem zou zijn.

er is echter één ding dat we nog niet hebben overwogen, namelijk dat om al dergelijke wijzigingen voor een systeem te vinden, men alle acht testvergelijkingen moet uitvoeren (vier van elke constraintvergelijking) en alle fouten moet verzamelen om alle vereisten te verzamelen om het systeem holonomisch te maken, indien mogelijk. In dit systeem, van de zeven extra testvergelijkingen, een extra geval presenteert zich:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r – \cos \theta =0}

Dit niet voor veel moeilijkheden, maar als optellen en delen door r {\displaystyle r}

resulteert in: zonde ⁡ θ − cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}

wie heeft de oplossing θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n \in \ mathbb {Z}}

refereer naar de uitleg van de leek hierboven waar gezegd wordt: “nieuwe positie hangt af van het gekozen pad. Als het wiel holonomisch was, dan zou de klepsteel altijd in dezelfde positie eindigen zolang het wiel altijd terug werd gerold naar dezelfde plaats op de aarde. Het is echter duidelijk dat dit niet het geval is, dus het systeem is niet-ergonomisch.”Het is echter gemakkelijk te visualiseren dat als het wiel alleen in een perfect rechte lijn en rug mocht rollen, de klepstang in dezelfde positie zou eindigen! Evenwijdig bewegen aan de gegeven hoek van π {\displaystyle \ pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

is in werkelijkheid niet nodig omdat de oriëntatie van het coördinatenstelsel zelf willekeurig is. Het systeem kan holonomisch worden als het wiel slechts in een rechte lijn beweegt onder een vaste hoek ten opzichte van een bepaalde referentie. Zo hebben we niet alleen bewezen dat het oorspronkelijke systeem niet-holonomisch is, maar we waren ook in staat om een beperking te vinden die aan het systeem kan worden toegevoegd om het holonomisch te maken.

Rolling sphereEdit

dit voorbeeld is een uitbreiding van het hierboven besproken probleem met het rolwiel.

beschouw een driedimensionaal orthogonaal Cartesisch coördinatenframe, bijvoorbeeld een vlak tabelblad met een punt gemarkeerd op het voor de oorsprong, en de x-en y-assen aangelegd met potloodlijnen. Neem een bol met eenheidsradius, bijvoorbeeld een pingpongbal, en markeer één punt B in het blauw. Bij dit punt hoort een diameter van de bol, en het vlak loodrecht op deze diameter geplaatst in het centrum C van de bol definieert een grootcirkel genaamd de evenaar geassocieerd met punt B. Selecteer op deze evenaar een ander punt R en markeer het in rood. Plaats de bol op het vlak z = 0 zodanig dat het punt B samenvalt met de oorsprong, dat C zich op x = 0, y = 0, z = 1, en R zich op x = 1, y = 0, en z = 1 bevindt, dat wil zeggen dat R zich uitstrekt in de richting van de positieve x-as. Dit is de initiële of referentie-oriëntatie van de bol.

de bol mag nu op een continue gesloten pad in het vlak z = 0 worden gerold, niet noodzakelijk een eenvoudig verbonden pad, op een zodanige manier dat hij niet glijdt of verdraait, zodat C terugkeert naar x = 0, y = 0, z = 1. In het algemeen valt punt B niet meer samen met de oorsprong en strekt punt R zich niet meer uit langs de positieve x-as. In feite, door het kiezen van een geschikt pad, kan de sfeer worden geheroriënteerd van de initiële oriëntatie naar elke mogelijke oriëntatie van de sfeer met C gelegen op x = 0, y = 0, z = 1. Het systeem is daarom niet-ergonomisch. De anholonomie kan worden vertegenwoordigd door het dubbel unieke quaternion (q en −q) dat, wanneer toegepast op de punten die de sfeer vertegenwoordigen, de punten B en R naar hun nieuwe posities draagt.

Foucault pendulumEdit

een bijkomend voorbeeld van een niet-ergonomisch systeem is de Foucault pendulum. In het lokale coördinatenframe zwaait de slinger in een verticaal vlak met een bepaalde oriëntatie ten opzichte van het geografische noorden aan het begin van het pad. De impliciete baan van het systeem is de breedtegraad op de aarde waar de slinger zich bevindt. Hoewel de slinger stilstaat in het aardoppervlak, beweegt hij in een naar de zon verwezen kader en draait hij synchroon met de omwentelingssnelheid van de aarde, zodat de enige schijnbare beweging van het slingervlak die veroorzaakt wordt door de rotatie van de aarde is. Dit laatste frame wordt beschouwd als een traagheidsreferentieframe, hoewel het ook niet-traagheidsreferentieframe op subtielere manieren is. Het aardoppervlak staat bekend als niet-inertiaal, een feit dat waarneembaar is door de schijnbare aanwezigheid van centrifugale krachten en Corioliskrachten.

beweging langs de breedtegraad wordt geparametreerd door het verstrijken van de tijd, en het trillingsvlak van de slinger van Foucault lijkt te draaien rond de lokale verticale as naarmate de tijd verstrijkt. De draaihoek van dit vlak op een tijdstip t ten opzichte van de initiële oriëntatie is de anholonomie van het systeem. De anholonomie die wordt opgewekt door een volledige breedtegraadcircuit is evenredig met de ruimtehoek onder die breedtegraad. Het pad hoeft niet beperkt te worden tot breedtegraadcirkels. Bijvoorbeeld, de slinger kan worden gemonteerd in een vliegtuig. De anholonomie is nog steeds evenredig met de ruimtehoek Onder het pad, die nu vrij onregelmatig kan zijn. De Foucault slinger is een fysiek voorbeeld van parallel transport.

lineair gepolariseerd licht in een optische fiberdit

neem een lengte van de optische vezel, laten we zeggen drie meter, en leg het uit in een absoluut rechte lijn. Wanneer een verticaal Gepolariseerde bundel aan het ene uiteinde wordt geïntroduceerd, komt deze uit het andere uiteinde, nog steeds gepolariseerd in de verticale richting. Markeer de bovenkant van de vezel met een streep, die overeenkomt met de oriëntatie van de verticale polarisatie.

spoel nu de vezel stevig rond een cilinder met een diameter van tien centimeter. Het pad van de vezel beschrijft nu een helix die, net als de cirkel, een constante kromming heeft. De helix heeft ook de interessante eigenschap van het hebben van constante torsie. Als zodanig is het resultaat een geleidelijke rotatie van de vezel rond de as van de vezel als de middellijn van de vezel vordert langs de helix. Dienovereenkomstig draait de streep ook om de as van de helix.

wanneer lineair gepolariseerd licht opnieuw aan één uiteinde wordt geïntroduceerd, met de oriëntatie van de polarisatie uitgelijnd met de streep, zal het in het algemeen verschijnen als lineair gepolariseerd licht uitgelijnd niet met de streep, maar onder een vaste hoek ten opzichte van de streep, afhankelijk van de lengte van de vezel, en de toonhoogte en straal van de helix. Dit systeem is ook niet-ergonomisch, want we kunnen de vezel gemakkelijk in een tweede helix spoelen en de uiteinden uitlijnen, waardoor het licht naar het punt van oorsprong terugkeert. De anholonomie wordt daarom vertegenwoordigd door de afwijking van de polarisatiehoek met elk circuit van de vezel. Door een geschikte aanpassing van de parameters is het duidelijk dat elke mogelijke hoektoestand kan worden geproduceerd.

RoboticsEdit

in robotica is niet-ergonomisch bijzonder bestudeerd in het kader van bewegingsplanning en feedbacklinearisatie voor mobiele robots.