Skin friction on a flapping plate in uniform flow

Inleiding

in de afgelopen decennia is een aanzienlijk aantal studies verricht naar de energetica van zwemmen en in het bijzonder naar de mechanismen voor het verminderen van de weerstand (voor een vrij recent overzicht, zie ). Terwijl veel onderzoeken zich richtten op de mechanismen die waterdieren gebruiken om de weerstand te verminderen, stelden Lighthill en anderen voor dat de weerstand daadwerkelijk kan worden versterkt door de zwemmende beweging. De door Lighthill voorgestelde verklaring , waarin discussies met bot worden aangehaald, is wat soms de ‘bone–Lighthill boundary-layer thinning hypothesis’ wordt genoemd, die stelt dat een plaat van Sectie s in een externe stroomsnelheid u∥ die loodrecht op zichzelf beweegt bij snelheid u⊥ een wrijvingsgrens-laagdikte (aan de kant waar de sectie naar toe beweegt) heeft, zodat de trekkracht per het oppervlak van de eenheid is τ≈Μu∥/δl.

omdat de formule voor het vergroten van de weerstand gepaard gaat met eenvoudige uniforme bewegingen van het lichaam in de vloeistof, kan deze van toepassing zijn op flapperende bewegingen in plaats van op vissen lijkend zwemmen . Zo zijn bijvoorbeeld de vrije slagvleugels of de inklapbare luchtvleugels in overweging genomen , om maar een paar studies te noemen. In, een rechthoekige vleugelslag sinusvormig is geanalyseerd en het waargenomen verlies van symmetrie van het kielzog veroorzaakt door de zijkanten is gerelateerd aan unidirectionele vlucht. Coherente bewegingen als aantrekkende toestanden veroorzaakt door flappen zijn ook numeriek gereproduceerd . Het kielzog van een knijpfolie in stilstaande omgeving is geanalyseerd in , en het experimentele zowel als computationele onderzoek van dompelende aerofolies onderworpen aan uniforme stroming wordt bijvoorbeeld gerapporteerd in .

de wrijving van de huid langs langgerekte lichamen in zwemmende bewegingen heeft echter minder aandacht gekregen, vanwege de moeilijkheid om deze hoeveelheid te meten. De hypothese van drag enhancement, zoals ontwikkeld door Lighthill , conflicteert met voorgestelde mechanismen van drag reduction . Deze discrepantie wordt soms toegeschreven aan het feit dat de weerstand slecht gedefinieerd is, gezien de moeilijkheid om stuwkracht en weerstand te scheiden die gemiddeld in evenwicht zijn wanneer een dier met constante gemiddelde snelheid zwemt . Hoewel drukweerstand moeilijk te definiëren is omdat stuwkracht ook voortkomt uit drukkrachten, bestaat er geen twijfel over de definitie van wrijvingsweerstand van de huid. Zorgvuldige metingen van de snelheidsprofielen van de grenslaag bij zwemvissen die zijn gerapporteerd in, hebben bevestigd dat de weerstand van de huid tegen wrijving kan worden versterkt door factoren van maximaal drie tot vijf voor hondshaai. De verhoging van de huidwrijving is ook gemeld in numerieke simulaties, met nochtans kleinere factoren.

een belangrijk punt van de bone–Lighthill hypothese is dat de verbeterde drag proportioneel is aan . Het is opmerkelijk dat dezelfde schaling werd verkregen door Taylor toen hij semi-empirisch de longitudinale weerstand op een geeuwde cilinder in uniforme stroom analyseerde. In, het geeuwde cilinder probleem is opnieuw gedicht, het toepassen van grens-laag theorie en een weerstand coëfficiënt wordt afgeleid. De plaat met eindige overspanning is een limietgeval van dit modelprobleem en de schaling van de grens-laagverdunningshypothese wordt opgehaald. Deze verhoging van de huidwrijving kan worden begrepen als het gevolg van de versnelling van de vloeistof deeltjes, en in een tweedimensionaal model probleem dat rekening houdt met dit effect is voorgesteld, door het beperken van de stroom tussen de onderste bewegende plaat en een vrije bovengrens op hoogte s/2. De factor 0.6 in de wrijvingsgrens-laagdikte δL voorgesteld door Lighthill wordt teruggevonden in dit model en bevestigd door tweedimensionale numerieke simulaties van het Navier-Stokes systeem.

een volledige driedimensionale simulatie, bij gebrek aan betrouwbare metingen van de wrijving van de huid langs een bewegende plaat, blijft noodzakelijk om de theoretische voorspelling van de weerstand te bevestigen. Hier wordt een bewegende rechthoekige plaat met verdwijnende dikte, dat wil zeggen zonder vormweerstand, ondergedompeld in een uniforme stroom. In de meeste theoretische onderzoeken naar zwemmen of vliegen worden de resistieve krachten ontleed in drukweerstand en viskeuze weerstand, zoals bijvoorbeeld in een recent werk over het optimale ontwerp voor golfzwemmen . Deze ontleding rechtvaardigt een afzonderlijke analyse van de wrijving van de huid als een component van de totale weerstand. De numerieke oplossingsprocedure moet in staat zijn om de randen van de plaat, die eigen zijn aan het stroomveld, te hanteren en de numerieke methode moet voldoende nauwkeurig zijn om betrouwbare wrijvingswaarden voor de huid te leveren. Dit wordt bereikt door gebruik te maken van een multi-domein aanpak samen met een high-order compacte eindige verschillen discretisatie, en volledige driedimensionale simulaties zijn uitgevoerd in dit werk voor verschillende uniforme plaatsnelheden.

in §2 van dit document wordt het driedimensionale grenslaagmodel voor de bewegende plaat, dat eerder in genoemd werd, samengevat. De driedimensionale numerieke oplossingsprocedure wordt uitgelegd in §3 en gevalideerd voor de vaste vlakke plaatgrenslaag. De simulatieresultaten voor de stroming rond de bewegende plaat worden vermeld in §4. De voorspellingen voor de verschillende plaatsnelheden worden geanalyseerd in §5, waarbij de kwestie van een huidwrijvingsformule wordt behandeld en ook een periodieke plaatsnelheid wordt overwogen. Enkele conclusies worden getrokken in §6.

driedimensionaal grenslaagmodel

een plaat met overspanning s in een uniforme inkomende stroom u∥ en bewegend met normale snelheid U⊥ wordt beschouwd, de configuratie wordt geschetst in figuur 1. De theoretische voorspelling van de langsweerstand wordt verkregen voor een geeuwde elliptische cilinder in een in Figuur 2 getoonde uniforme stroom, waarbij het plaatprobleem een limietgeval is voor een oneindige beeldverhouding van de elliptische dwarsdoorsnede in het (y,z)-vlak. In het volgende, we kort samen te vatten de resultaten in . De uniforme stroom wordt ontleed op zijn tangentiële en normale componenten, respectievelijk u∥ en u⊥, zoals weergegeven in Figuur 2. Het probleem wordt beschouwd als onafhankelijk van de tangentiële richting en de x-component van de potentiële stroom is gewoon U∥. In de normale richting wordt de potentiële stroom Qe rond de cilinder met elliptische dwarsdoorsnede opgelost met behulp van conformal mapping technieken. Om het binnenprobleem van de grenslaag rond de elliptische grens in het (y,z)-vlak op te lossen, worden coördinaten ξ-η gebruikt die aan het oppervlak zijn bevestigd (figuur 2). De grenslaagvergelijkingen worden geschreven in de (ξ,η,x) coördinaten die

In, een typische lengte l is zodanig gedefinieerd dat nl gelijk is aan de omtrek van de ellips (en dus nl=2s wanneer de ellips degenereert in de doorsnede van de plaat). Het probleem wordt dimensieloos gemaakt, rekening houdend met l in de richting ξ tangentiaal aan de grens van de ellips en een handige grenslaaglengteschaal wordt beschouwd in de normale richting η (zie voor algemene grenslaagmodellering), waar het Reynolds-getal Re⊥=U l l/ν is. Dienovereenkomstig zijn de referentiesnelheden U⊥ en in de richtingen ξ En η. De geschaalde vergelijkingen equivalent aan (2.1) en (2.2) worden opgelost met behulp van de benaderende oplossing van de momentumvergelijkingen, details worden gegeven in . Merk op dat het ontwikkelende boundary-layer profiel uξ alleen kan worden bepaald voor zover de stroom is aangesloten: voor elke aspectverhouding b / a, zijnde het limietgeval van het gedeelte van de plaat evenwijdig aan de z-as, is er een limiethoek θs, aangegeven in figuur 2b, waarbij de stroom zich scheidt. Deze grenslaaganalyse, waarbij uξ en ux worden opgelost, levert een longitudinale weerstand C op en de longitudinale weerstand per lengte-eenheid wordt gegeven door

C≈1,8 over het gehele bereik van de hoogte-breedteverhoudingen van de elliptische cilinder. Voor de komende numerieke analyse is het handig om u∥ als referentiesnelheid te gebruiken en de spanwijdte s van de plaat als lengteschaal. Defining the Reynolds number

en gezien het feit dat l=2s/π, is de theoretische voorspelling voor de wrijvingsweerstand per lengte-eenheid van de plaat

U*⊥=U⊥ / u∥, zijnde de dimensieloze normale plaatsnelheid. Merk op dat deze formule faalt wanneer, In welk geval de klassieke wrijvingsweerstandformule voor een roerloze plaat in uniform flow u∥ moet worden gebruikt . Formule 2.6 is daarom alleen relevant voor wandsnelheden boven een ondergrens, die waarschijnlijk afhangt van de verhouding tussen de overspanning van de plaat s en de lengte L.

driedimensionale numerieke simulatieprocedure

om de betrouwbaarheid van de in §2 beschreven theoretische voorspellingen te beoordelen, wordt het volledige driedimensionale probleem numeriek opgelost voor een computationeel domein dat de plaat met verdwijnende dikte bevat. Dit numerieke probleem is bijzonder uitdagend, gezien de singulariteiten geassocieerd met de voor-en achterranden en de zijkanten van de plaat. Ook moet de procedure voldoende nauwkeurig zijn om betrouwbare wrijvingsresultaten langs de plaat te leveren. Een multi-domein benadering is gebruikt voor de oplossing van de Navier–Stokes-systeem (in de volgende de dimensieloze variabelen worden geschreven zonder sterretjes)

en

De partitie is zo ontworpen dat de randen van de plaat samenvallen met contourlijnen van interfaces tussen subdomeinen (schets in figuur 3). Het Reynolds-getal Re = u d d / ν wordt gevormd met de binnenkomende uniforme stroomsnelheid u∥ en een typische lengteschaal d van de rechthoekige plaat die later zal worden gespecificeerd. De belangrijkste aspecten van de oplossingsprocedure worden hierna samengevat. Een semi-impliciete tweede orde achterwaartse-Euler tijd integratie wordt gebruikt, de niet-lineaire termen worden geëvalueerd door middel van een Adams–Bashforth schema. Een projectiemethode wordt overwogen, dat is een fractionele-stapmethode door bij elke stap TN=nΔt een tussendruk–en snelheidsveld op te lossen, gevolgd door een drukcorrectie om de incompressibiliteit te verzekeren, bekend als het Kim-Moin-schema (zie en voor een overzicht van projectiemethoden ). Vandaar dat bij elke stap een reeks problemen van het Helmholtz-type

voor de snelheidscomponenten, met σ=3 Re/(2Δt), en de druk (met σ=0) moeten worden opgelost. Het domein Ω=ω Ωk is verdeeld in subdomeinen Ωk met interfaces Γij = Ωi ω Ωj (zie de schets in figuur 3) en de Helmholtz problemen in elk subdomein zijn

waarbij g ofwel een opgelegde grensvoorwaarde is aan de buitenkant van het gehele computationele domein, ofwel een kinematische voorwaarde op de plaat in het interieur, afhankelijk van het specifieke subdomein in kwestie. Hoge-Orde compacte eindige verschillen schema ‘ s worden overwogen voor de discretisatie in de drie ruimtevariabelen (x,y,z). De regelingen zijn afgeleid voor niet-uniforme mazen : in het bijzonder , zoals aangetoond in, een clustering van de punten in de buurt van de grens is geschikt voor de achtste-orde schema hier overwogen, om oscillaties te voorkomen en die een grens sluiting schema van dezelfde orde als het interieur mogelijk maakt. In een pre-processing stap, de tweede afgeleide operators in elke richting worden diagonaal, wat leidt tot een snelle directe oplossing van de Helmholtz problemen in elk subdomein tijdens de time-stepping procedure. Continuity of the solution as well as of its normal derivative is required at the domain interfaces Γij and fieldsare introduced such that

in dit systeem is de rechterkant van vergelijking (3.7), die de expliciete termen voor de tijd discretisatie bevat, tijdafhankelijk; en bij elke tijdstap moet de grenswaarde λ op de interfaces worden berekend om de continuïteit van de normale derivaten te vervullen (3.9). De algebraïsche formulering van dit probleem leidt tot een lineair systeem, waarvan de oplossing de grensvoorwaarde tussen aangrenzende domeinen verschaft. Dit systeem omvat de Schur-complementmatrix, ook wel invloedsmatrix genoemd, en zijn interne blokstructuur wordt consistent bepaald met de subdomeinpartitie in een pre-processing fase. Een parallel MPI algoritme is ontworpen met behulp van de Cluster IBM x3750 van het Franse computercentrum IDRIS, een proces wordt toegewezen aan elk subdomein. Het Schur complement systeem wordt iteratief opgelost met behulp van de Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computing (PETSc) computational environment en meer specifiek het Krylov subspace package (KSP), met behulp van hiërarchische GMRES opties en Block Jocobi preconditioning . In elk subdomein Ωk is een 30×30×30 mesh gebruikt en het algoritme bleek bijna lineair te schalen met het aantal (tot 120) domeinen in aanmerking genomen.

(A) validatie van de vlakke plaatgrens-laag

voordat de stroom langs de bewegende plaat wordt aangepakt, moet de constante grenslaag langs de plaat met eindige randen worden berekend, die vervolgens zal worden gebruikt als de beginvoorwaarde wanneer de plaat in beweging wordt gebracht. De randen van de plaat, met verdwijnende dikte geplaatst op y=0 (zie schets in figuur 1), zijn singulariteiten wanneer de plaat in contact komt met een inkomende uniforme stroom. Deze moeilijkheid wordt overwonnen door constructie met behulp van de multi-domein benadering, de randen zijn grenslijnen tussen aangrenzende domeinen en dus de enkelvoudige waarden niet expliciet verschijnen in de berekeningen. Een computationeel Cartesisch domein

is overwogen, waarbij de rechthoekige plaat met lengte L=36 en spanwijdte s=6 zich in het Y=0 vlak bevindt met de voorrand op xl=6 en gecentreerd op z=0. Uniforme stroom (1,0,0) (de uniforme stroom u∥ bij instroom is de referentiesnelheid) bij x=0 wordt in aanmerking genomen en bij x=60 wordt gebruik gemaakt van een geavanceerde uitstroomconditie. De wand-normale en overspanning componenten van de stroomsnelheid, respectievelijk v en w, worden verondersteld ver van de plaat te verdwijnen bij y=±8, terwijl een far-field Neumann randvoorwaarde wordt opgelegd voor de stroomgewijze component u. No-slip voorwaarden voor de drie componenten van het snelheidsveld worden opgelegd op de plaat. Er is rekening gehouden met een Reynolds-getal Re=200, dat is Res=1200 wanneer gebaseerd op de overspanning van de plaat s. De gebruikte multi-domeinpartitie bevat 120 subdomeinen,met (ndx,ndy, ndz)=(10,4,3) het aantal domeinen in de drie richtingen, dat wil zeggen de plaatbereiken over zes domeinen in x en één domein in z. beginnend met de uniforme stroom bij instroom, zijn de berekeningen in de tijd gevorderd met een tijdstap Δt=0,005 en bij T=90 werd een quasi-gestage stroomveld bereikt. Alle variabelen zijn nu dimensieloos en de verplaatsingsdikteis een handige lengteschaal voor de grenslaag langs een vlakke plaat. Figuur 4a toont de verdringingsdikte op verschillende overspanningsplaatsen. De waarde varieert niet significant langs de overspanning, naast het gebied dicht bij de rand. De verdringingsdikte wordt gezien om eentonig te groeien zoals verwacht door de theorie , behalve in het gebied dicht bij de achterrand van de plaat (met verdwijnende dikte) bij xt=42, waar het stroomveld een enkelvoudig gedrag heeft. Merk op dat de maximale waarde δ(x)≈0 is.6 die een maximum Reynolds-getal oplevert gebaseerd op de verplaatsingsdikte van Reδ≈120, dat wil zeggen dat de grenslaag stabiel is ten opzichte van infinitesimale verstoringen (het kritische Reynolds-getal gebaseerd op δ is ≈520 ). Merk ook op dat de far-field-grens(met) voldoende ver verwijderd is van de rand van de grenslaag, waarbij de afstand waarvoor het profiel van de grenslaag 99% van de uniforme stroom terugkrijgt ≈3δ.

de dimensieloze wrijvingsweerstand per oppervlakte-eenheid, de wrijving van de huid, wordt berekend als

τ, zijnde de afschuifspanning op de wand, en cf=0,57/Reδ(x) voor de Blasius-grenslaag langs een overspannen oneindige vlakke plaat, wanneer dimensieloos gemaakt met de verplaatsingsdikte . Deze klassieke grenslaagformule is van toepassing op de nuldrukgradiëntstroom zolang de stroom vast blijft zitten. Meer betrokken asymptotische, zoals de triple-deck structuur van het stroomveld , moeten worden gebruikt om het gedrag in de buurt van enkelvoudige punten zoals voor-en achterranden te beschrijven. In dit onderzoek richten we ons op de stroming langs de plaat en wordt alleen de klassieke theorie overwogen voor vergelijking met de numerieke Navier–Stokes oplossing. Figuur 4b toont de berekende CF-waarde voor de stroomtoestand in het midden van de plaat, die zoals verwacht een enkelvoudig gedrag vertoont aan de voorrand xl=6 en de achterrand xt=42. Langs de plaat is de wrijving van de huid dicht bij de theoretische Blasius-waarde afgebeeld als de gestippelde lijn. De singulariteiten van de plaat veroorzaken geen significante oscillaties van de wand-normale snelheidsgradiënt en voor dit testcase van een rechthoekige platte plaat wordt de simulatieprocedure gezien als betrouwbare wrijvingswaarden voor de huid.

stroom over de bewegende plaat

zodra de constante stroom is ingesteld, wordt de plaat in beweging gebracht, waarbij de dimensieloze en constante plaatsnelheid u⊥ voortaan zonder sterretje wordt geschreven. De plaat bevindt zich aanvankelijk in het vlak y=0 en zijn ruimtelijk uniforme verplaatsing is ϕ(t)=U⊥T. een afbeelding

metde computationele vaste normale coördinaat wordt overwogen. In het Navier-Stokes-systeem (3.1) moet het tijdderivaat dienovereenkomstig worden omgezet en op de plaat is de kinematische voorwaarde van toepassing, dat wil zeggen

in deze procedure en volgens de mapping, blijft de verveld-grens, waar de stroom uniform wordt, gedurende de tijdintegratie op een constante afstand van de plaat. Voor de discretisatie, 120 subdomeinen zijn overwogen in de multi-domein procedure met dezelfde 30×30×30 mesh per subdomein als voor de boundary-layer berekening beschreven in §3. De plaat met nuldikte, lengte L = 36 en spanwijdte s = 6 vormt een rechthoek 6≤x≤42, -3≤z≤3 in hetvlak binnen het totale computationele domein Ω=××.

het getal van Reynolds is Re = 200, of gelijkwaardig Res = 1200 wanneer gebaseerd op de overspanning van de plaat. Het systeem is in de tijd geïntegreerd (met een tijdstap Δt = 0,005) voor verschillende plaatsnelheden u⊥, te beginnen met de stroomsnelheid voor de vaste plaat als begintoestand. De momentane stroomstructuur rond de plaat bij T=40 wordt weergegeven in Figuur 5 voor u⊥ = 0,1, 0,2, 0.3, de Z = 0 snede van het streamwise velocity field u in de buurt van de plaat (met nul dikte, maar zichtbaar gemaakt als een dunne zwarte lijn) wordt weergegeven. Voor de kleinere snelheden u⊥ = 0,1, 0,2 is het effect van de beweging alleen zichtbaar in de buurt van de voorrand en stroomafwaarts van de achterrand, waarbij de grens-laagstructuur kwalitatief vergelijkbaar is als voor een bewegingloze plaat, waarbij de stroomgewijze snelheidscomponent zijn uniforme waarde u=1 herwint op een kleine afstand van de rand van de plaat. Voor de hogere snelheid u⊥ = 0.3, vertoont de stroom echter een scheiding aan de voorrand die leidt tot de vorming van een omgekeerd stroomgebied aan de onderzijde, waarbij de plaat in een opwaartse beweging is. Het streamwise vorticity field wx=∂w/∂y−∂v/∂z is afgebeeld in Figuur 6 waar een snede op x = L / 3 van de voorrand wordt weergegeven in het (z,y)-vlak. Aan de zijranden van de plaat vormen zich als gevolg van de opwaartse beweging twee tegenover elkaar staande vortexstructuren. De intensiteit van de vorticiteit neemt toe met U⊥. Voor U⊥ = 0.3 sommige onvolmaakte matching, de vorticiteit met betrekking tot de gradiënten van het snelheidsveld, is zichtbaar op lijnen, overeenkomend met subdomein grenzen, normaal aan de randen van de plaat. Dit is te wijten aan de fouttolerantie van de iteratieve procedure die wordt gebruikt om het Schur-complementmatrixsysteem in dit numerieke probleem op te lossen.

beginnend met de grens-laag stroom langs de vaste plaat en het in beweging brengen van de plaat, ondergaat de stroomstructuur een voorbijgaande regime en een cruciale vraag is of deze convergeert naar een quasi-steady state tijdens de tijd integratie. De dimensieloze wrijvingskracht per oppervlakte− eenheid

op het onder-en bovenvlak van de plaat, dat wil zeggen bij y=0-en y=0+, respectievelijk voor u⊥=0,1 bij x=L/3 en op verschillende tijdstippen t=20,30,40, wordt weergegeven in Figuur 7. Men ziet dat de stroom bij T = 40 voor deze kleine plaatsnelheid als quasi-stabiel kan worden beschouwd. Merk op dat de zijdelingse randen bij z=±3 singulariteiten zijn voor het stroomveld en dat de wrijving van de huid wordt uitgezet, behalve in de nabijheid van de randen van de plaat. De huidwrijving voor de bewegingsloos plaat wordt ook weergegeven als de stippellijn, die natuurlijk constant langs de plaat behalve in het gebied grenzend aan de randen. De visceuze wrijvingsverhoging is duidelijk aangetoond, al bij deze lage plaatsnelheid. De wrijving van de huid voor een hogere snelheid u⊥ = 0.3 is weergegeven in figuur 8. Nu, terwijl aan de bovenzijde waar de plaat naar toe beweegt de wrijvingswaarde een convergentiegedrag vertoont, blijft aan de onderzijde de stroming onvast. Zoals blijkt uit figuur 5 vertoont de stroom bij u 0.3=0,3 een relatief sterke scheiding aan de voorrand, die in het algemeen synoniem is met een onvast gedrag. Ook aan de onderzijde vertoont de huidwrijving twee pieken, symmetrisch ten opzichte van z=0, die meer uitgesproken zijn voor de hogere wandsnelheid. Het is waarschijnlijk dat deze lokale toename van de wrijvingsweerstand wordt geassocieerd met de aanwezigheid van de rand vorticiteitsstructuren aan de onderzijde veroorzaakt door de opwaartse beweging en weergegeven in Figuur 6.

weergegeven, beginnend bij x=15, dat wil zeggen dat een vierde van de plaatlengte bij de voorrand wordt weggegooid. Terwijl deze hoeveelheid varieert met x, wordt een clustering van de krommen waargenomen, naast die voor de laagste wandsnelheid u⊥=0,1, bij een waarde rond C3D≈1,8. Deze waarde is hoger dan de theoretische coëfficiënt C3D=1.4 (zie §2), wat niet verwonderlijk is, omdat de bijdrage van de wrijvingsweerstand buiten de scheidingslijn (de zijranden van de plaat) in het theoretische model niet in aanmerking wordt genomen. Bij het afleiden van de formule voor wrijvingsweerstand wordt ook rekening gehouden met de structuur van de grenslaag in de spanrichting, uitgaande van streamwise invariantie van de stroom en die precies leidt tot deschaling (zie §2 en de gedetailleerde analyse in ). Deze schaling wordt natuurlijk gewijzigd door de streamwise boundary-layer evolution die leidt tot de waargenomen streamwise afhankelijkheid van C3D. ook, voor lage wandsnelheden, is het meer twijfelachtig om vooral te focussen op de spanwise boundary-layer structuur die verklaart dat het resultaat bij u⊥=0.1 ligt een beetje uit elkaar in Figuur 11.

(A) periodieke plaatsnelheid

De wandbeweging in elk zwemgedrag is periodiek en daarin wordt aangetoond dat de normale lichaamssnelheid voor een groot aantal vissen en walvisachtigen meestal varieert van 0,1 u∥ tot 0,3 u∥ van kop tot staart. In dit model wordt geen expliciete ruimtelijke golving van de plaat in aanmerking genomen, maar om een periodieke beweging aan te pakken is de wandsnelheid

Met A=0,3 en ω=0,06 in aanmerking genomen. De maximale wandsnelheid is 0.3 en de verplaatsing ϕ (T) van de plaat varieert tussen ±A/ω=±5, wat een vrij grote amplitude is (vergeleken met de lengte van de plaat L=36), ten minste met betrekking tot typische golvende amplitudes. Het zou natuurlijk gevaarlijk zijn om uit een ruimtelijk uniforme tijd-periodieke beweging van de plaat de resultaten af te leiden die men zou krijgen voor een realistische golfbeweging. Dit modelprobleem zal echter waarschijnlijk worden beschouwd als een soort extreem geval, met betrekking tot de normale plaatsnelheid en de amplitude van de beweging. Het stromingsgedrag is berekend over twee perioden 2 T, met t≈105, en de overspanning geïntegreerde wrijvingswaarde Cf is afgebeeld in Figuur 12 op twee posities (x=L/3,L/2) van de plaat. Deze hoeveelheid wordt gezien om de periodiciteit van de beweging van de plaat te erven en zoals verwacht, na een voorbijgaande eerste tijdsinterval, de afstand tussen twee pieken of gelijkwaardig tussen twee valleien van de krommen is T/2≈52.

De tijdsgemiddelde wrijving van de huid is weergegeven in figuur 13 en wordt vergeleken met de spanwijdte van de wrijvingsweerstand voor de bewegingsloze plaat. Het integreren van deze krommen in het bereik 12≤x ≤ 36, dat wil zeggen het weggooien van de delen van de plaat in de buurt van de voor-en achterranden, levert sleepwaarden van 0,34 en 0,58 voor de bewegingsloos plaat en bewegende plaat, respectievelijk, dat is een sleepverhoging van 70% voor de plaat met de periodieke normale snelheid. De stippellijn in figuur 13 toont de huidwrijving die men zou krijgen met formule (5.1) (voor C3D = 1.8), dat wil zeggen , door de gemiddelde absolute waarde van de snelheid 〈|U⊥|〉=2A/π=0,191. Deze CF waarde wordt gezien als verrassend dicht bij het berekende gemiddelde wrijvingsresultaat, meer dan twee derde van de lengte van de plaat.

conclusie

In de theoretische voorspelling van de zogenaamde ‘bone-Lighthill boundary–layer thinning hypothesis’ was versterkt door het verkennen van een boundary-layer model langs een plaat die beweegt met een normale snelheid en beschouwd als het limietgeval van een geeuwde cilinder configuratie. De driedimensionale numerieke simulaties van dit artikel versterken de theoretische voorspelling. Deze simulaties blijven een uitdagend probleem en zijn bijzonder tijdrovend en slechts één plaatconfiguratie met een lengte-overspanning verhouding L/S=6 is overwogen, met behulp van een multi–domain Navier-Stokes solver, bij een relatief klein Reynolds getal Res=1200, gebaseerd op de inkomende uniforme snelheid u∥ en de overspanning s. De longitudinale weerstand (Per lengte-eenheid) formule

wordt duidelijk versterkt, ten minste voor wand-normale snelheden u⊥ boven enige ondergrens, door de numerieke simulatieresultaten, met echter een luchtweerstandscoëfficiënt C3D die enigszins varieert langs de stroomrichting van de plaat. De berekende coëfficiënt is hoger dan de theoretische waarde van 1,4 en kan ruwweg worden geschat op 1,7<C3D<2 voor de verschillende beschouwde normale snelheden van de plaat. Interessant is dat dit resultaat niet ver verwijderd is van de semi-empirische waarde ≈2,1 die Taylor gebruikte . Hoewel een ruimtelijk uniforme beweging van de plaat oversimplified is, illustreert het echter de mogelijkheid van huidwrijving verhoging in zwemmende beweging. In het bijzonder wordt een tijd-periodieke, ruimtelijk uniforme beweging met een maximale normale snelheid u⊥=0,3 u∥ van de plaat , die een bovengrens is voor het zwemmen van vissen, gezien als een gemiddelde toename van de wrijving van de huid, vergeleken met een bewegingloze plaat, met ongeveer een factor 1,7. Nogmaals, het moet worden benadrukt dat de volledige driedimensionale numerieke simulaties zijn computationeel betrokken en kon alleen worden uitgevoerd voor een beperkte set van parameterwaarden. Ruimtelijke golving van de plaat zal ook in de toekomst in overweging moeten worden genomen.

hoewel onze resultaten gebaseerd zijn op vereenvoudigde veronderstellingen, geven we waardering aan de conclusie dat de wrijving van de huid wordt versterkt door zwemmende bewegingen. Stijgingen met factoren tussen 4 en 10, zoals onder andere in wordt voorgesteld , zijn echter onwaarschijnlijk.

financieringsverklaring

Dit werk werd toegang verleend tot de HPC-middelen van IDRIS uit hoofde van de toewijzing i20132a1741 van GENCI (Grand Equipement National de Calcul Intensif).

voetnoten

Eén bijdrage van 15 aan een themanummer ‘stabiliteit, scheiding en nauwe lichaamsinteracties’.