Dual Vector Space

Posted on
MathWorld Contributors > Moslehian >
MathWorld Contributors > Rowland, Todd >

The dual vector space to a real vector space V is the vector space of linear functions f:V-R, denoted V^*. In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

w obu przypadkach Podwójna przestrzeń wektorowa ma ten sam wymiar co V. Mając bazę wektorową v_1v_n dla V istnieje Podwójna podstawa dla V^*, zapisana v_1^*v_n^*, gdzie v_i^*(v_j)=delta_(ij) I delta_(IJ) jest deltą Kroneckera.

innym sposobem realizacji izomorfizmu z V jest iloczyn wewnętrzny. Prawdziwa przestrzeń wektorowa może mieć symetryczny wewnętrzny iloczyn , w takim przypadku wektor v odpowiada podwójnemu elementowi o f_v(w) = w,V. Wtedy baza odpowiada swojej podwójnej podstawie tylko wtedy, gdy jest bazą ortonormalną, w którym to przypadku v_i^*=f_(v_i). Kompleksowa przestrzeń wektorowa może mieć iloczyn wewnętrzny Hermiana, w którym to przypadku f_v(w)=w,vjest sprzężonym izomorfizmem liniowym Vz V^*, tj., f_(alphav)=alpha^_f_v.

Podwójne przestrzenie wektorowe mogą opisywać wiele obiektów w algebrze liniowej. GdyV iW są skończonymi wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi, elementem iloczynu tensorav^* tensor w, powiedzmysuma_(ij)v_j^* tensor w_i, odpowiada przekształceniu liniowemut(v)=suma_(IJ)v_j^*(v)w_i. Oznacza to, że V^ * tensor W = Hom (V,W). Na przykład transformacja tożsamości to V_1 tensor v_1^*+...+v_n tensor v_n^ *. Dwuliniowy formularz naV, taki jak produkt wewnętrzny, jest elementemv^* tensor V^*.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.