wykresy kontrolne Shewharta są szeroko stosowane do wyświetlania przykładowych danych z procesu produkcyjnego . Zostały one również uznane za cenne w ocenie zdolności procesu, w szacowaniu parametrów procesu i monitorowania zachowania procesu produkcyjnego. Wykres kontrolny jest utrzymywany przez pobranie próbek z procesu i wykreślenie w kolejności czasu na wykresie niektóre statystyki obliczeniowej postaci próbek. Limity kontrolne na wykresie reprezentują granice, w których wykreślone punkty spadną z dużym prawdopodobieństwem, jeśli działa pod kontrolą. Punkt poza granicami kontroli jest traktowana jako wskazanie, że coś, czasami nazywany specjalną przyczyną zmienności, stało się zmienić proces. Gdy sygnały wykresu, że specjalna przyczyna jest obecny, prostowania działania podejmowane są w celu usunięcia specjalnej przyczyny i doprowadzić proces z powrotem do kontroli. Oprócz typowych przyczyn, które wytwarzają zmienność losową, specjalne przyczyny mogą indywidualnie produkować znaczną ilość zmienności. Gdy specjalna przyczyna zmienności jest obecny rozkład metryki jakości jest indeksowany przez jeden lub więcej parametrów i efektem obecności specjalnej przyczyny jest zmiana wartości tych parametrów. Celem wykresu kontroli jest wykrycie specjalnych przyczyn zmienności tak, że przyczyny te mogą być znalezione i wyeliminowane. Ponieważ zakłada się, że specjalna przyczyna powoduje zmianę parametrów, problem, dla którego używany jest wykres kontrolny, może być sformułowany jako problem monitorowania procesu w celu wykrycia jakichkolwiek zmian w parametrach rozkładu zmiennej jakości.
eksponat 1. Uogólniony Wykres kontroli Shewharta
Duncan (1956) wskazuje, że zwyczajową praktyką w utrzymaniu wykresu kontroli jest wykreślić próbkę formularza procesu w stosunku do stałych ograniczeń kontroli szerokości, powiedzieć limity trzech sigma. W niniejszym artykule zbadano modyfikację standardowej praktyki, w której limity kontroli próbkowania nie są ustalone, ale mogą się różnić po tym, jak proces działał przez pewien okres czasu. Podstawą wyboru szerokości limitu sterowania jest model kosztów obsługi wykresu. Model kosztów jest rozwijany w celu opisania całkowitego kosztu na jednostkę czasu monitorowania średniej procesu przy użyciu zarówno standardowego i uogólnionego wykresu kontroli Shewharta. Model kosztów jest rozwijany przy założeniu, że jakość charakterystyczna dla zainteresowania jest zwykle rozłożona ze znaną i stałą wariancją.
definicja modelu kosztowego dla standardowego wykresu kontroli Shewharta przebiega w dwóch krokach zgodnie z definicją Zou& Nachlas (1993). Po pierwsze, stosuje się równomierny rozkład czasu życia do opisania zmiennej losowej t, czasu do przesunięcia procesu. Przyjmuje się, że proces podlega przesunięciu od wartości kontrolnej średniej procesu, μ1, do wartości poza kontrolą, μ2, w losowym momencie w czasie. Następnie, koszt eksploatacji standardowego wykresu kontroli Shewharta jest zdefiniowany za pomocą czterech warunków kosztów. Są to (1) koszty inspekcji; (2) fałszywy koszt alarmu; (3) prawdziwy koszt sygnału; oraz (4) koszt produkcji dodatkowych elementów niezgodnych, gdy proces wymknął się spod kontroli. Ponadto określa się oczekiwaną długość cyklu. Następnie przewidywany całkowity koszt na jednostkę czasu jest konstruowany jako koszt kontroli powiększony o stosunek sumy trzech oczekiwanych kosztów do oczekiwanej długości cyklu. Definicja odpowiedniego modelu kosztów dla ogólnego wykresu kontroli Shewharta przebiega w podobny sposób. Załóżmy, że planujemy rozpocząć Wykres z jednym zestawem limitów kontrolnych i zmienić limity, aby były ciaśniejsze po zakończeniu procesu przez określony czas. W szczególności Zakładamy, że proces jest próbkami co godzinę, a po próbce mth granice kontrolne są zmieniane. Ilustruje to Dowód Rzeczowy Nr 1. Celem jest wybór wartości ekonomicznych parametru kosztu, aby zminimalizować oczekiwany koszt całkowity. Model kosztów jest skonstruowany tak, aby umożliwić optymalny wybór czasu zmiany i najlepsze wartości dla początkowych i skorygowanych limitów kontroli, a zatem może zwiększyć wrażliwość wykresu kontroli na małe, ale przewidywane zmiany w średniej procesu, tak że wykres jest w stanie szybko wykryć specjalną przyczynę i doprowadzić proces do kontroli. Model kosztów jest również stosowany w celu zapewnienia porównania z konwencjonalną implementacją wykresu kontroli Shewharta dla celów edukacji zarządzania jakością PMBOK®.
rozwój modelu
Załóżmy, że proces jest monitorowany za pomocą
wykresu i proces podlega przesunięciu od wartości kontrolnej średniej procesu, μ1, do wartości poza kontrolą, μ2, w losowym punkcie czasu. Załóżmy, że czas do przesunięcia procesu jest zmienną losową O F(t) = T/θ, (0 << ∞). Niech N będzie maksymalną wartością t, wtedy n = θ / h i załóżmy, że n jest liczbą całkowitą. W celu skonstruowania oczekiwanego całkowitego kosztu jednostkowego uwzględnia się następujące kategorie kosztów:
1. Ci = koszt pobierania próbek i kontroli, koszt jednostkowy na zdarzenie = c
2. Cf= koszt fałszywego alarmu, koszt jednostkowy na zdarzenie = c
3. Ct = true signal and process correction cost, unit cost per event = c
4. Cd = koszt wytworzenia produktu niespełniającego norm, podczas gdy poza kontrolą, koszt jednostkowy za sztukę = c
5. CT=całkowity koszt na jednostkę czasu
oczekiwany całkowity koszt na jednostkę czasu jest następnie zdefiniowany jako:
Gdzie E jest oczekiwaną długością cyklu (czas do sygnału). Stosuje się następujące oznaczenia:
μ1 = wartość kontrolna średniej procesu
μ2 = wartość poza kontrolą średniej procesu
σx = znane i stałe odchylenie standardowe populacji
UCL = górna granica kontrolna = μ1 + kσx / n1/22
LCL = dolna granica kontrolna = μ1-kσx / n1/2
UX = górna granica specyfikacji
LX = dolna granica specyfikacji
P1 = proporcja niezgodna, gdy μ = μ1
P2 = proporcja niezgodna, gdy μ = μ2
P = P1-P2
h = czas między próbkami
r = wskaźnik produkcji w jednostkach/godzinę
n = liczba sztuk skontrolowanych na próbkę
m = liczba próbek przed zmianą granic kontrolnych
δ = Liczba jednostek σx z μ1 na μ2
k1 = liczba σx /n1/2 z μ1 na UCL przed próbką MH
K2 = liczba σx /N1/2 od μ1 do UCL po próbie MH
α = prawdopodobieństwo błędu typu I
β = prawdopodobieństwo błędu typu II
zmienne decyzyjne to N, H, M, K1 i K2. Optymalne wartości zmiennych decyzyjnych są wybierane w celu zminimalizowania oczekiwanego całkowitego kosztu na jednostkę funkcji czasu.
(1) koszt kontroli = Ci = {stały koszt + (koszt jednostkowy)(liczba kontrolowana)} / {czas między próbkami}, dlatego:
Dowód 2. Przedziały czasowe obejmujące T i tp
należy pamiętać, że koszt inspekcji jest taka sama zarówno dla standardowych i uogólnionych wykresu kontroli Shewharta.
(2) Koszt fałszywego alarmu = Cf = (koszt jednostkowy)(prawdopodobieństwo fałszywego alarmu) = cf P.
Niech a = „fałszywy alarm”, A1 = „fałszywy alarm na próbce I”, A2 = „brak przesunięcia procesu przed próbką I”, wtedy prawdopodobieństwo fałszywego alarmu jest skonstruowane jako:
Tak więc koszt fałszywego alarmu wynosi:
prawdopodobieństwo fałszywego alarmu dla uogólnionego wykresu kontroli Shewharta jest zupełnie inna niż w przypadku standardowego wykresu kontroli. Musimy wziąć pod uwagę t ≤ MH lub T > MH oddzielnie. Tak więc:
dlatego:
(3) prawdziwy koszt sygnału = ct = (koszt jednostkowy)(prawdopodobieństwo prawdziwego sygnału) = ctP.
niech B = „true signal,” B1= „przesunięcie procesu w interwale j”, B2 = „brak fałszywego alarmu przy próbkach J-1”, wtedy wyrażenie dla P wynosi:
Tak więc, prawdziwy koszt sygnału ma następującą postać:
prawdopodobieństwo prawdziwego sygnału dla uogólnionego wykresu sterowania Shewharta jest zdefiniowany jako:
Tak więc:
(4) koszt produkcji elementów niezgodnych, gdy proces jest poza kontrolą = Cd = (koszt jednostkowy)(szybkość produkcji)(wzrost odsetka niezgodności)(oczekiwany czas poza kontrolą).
przedziały czasowe na tym etapie mogą być przeglądane w eksponacie 2.
E = E + E = E + E. zauważ, że część interwału przed przesunięciem procesu może być zapisana jako T = t – jh, dlatego:
następnie:
wreszcie:
E jest taki sam dla uogólnionego wykresu kontroli Shewharta, ale E jest nieco inny, jak określenie interwału, w którym występuje przesunięcie wpływa na prawdopodobieństwo sygnału. Tak więc:
dlatego:
(4) niech E1 = „fałszywy alarm na próbce j i brak przesunięcia procesu przed próbką j”, E2 = „przesunięcie procesu podczas interwału s, brak fałszywego alarmu przed interwałami i prawdziwy sygnał na próbce j (J-s+1.po zmianie).”Wtedy wyrażenie dla oczekiwanej długości cyklu jest:
oczekiwana długość cyklu dla uogólnionego wykresu kontroli Shewharta musi również odzwierciedlać różnice w zdarzeniach sygnału przed i PO mh. E(g) można zapisać jako:
dlatego:
Analiza modelu
Refereing to the cost model developed earlier, the cost terms are functions of the decision variables, cost parameters and the distribution parameter. Dwie z wartości decyzji m i n są ograniczone do liczb całkowitych, podczas gdy k1 i k2 mogą przyjmować wartości rzeczywiste. Jak Montgomery (1980) wskazuje, że częstotliwość próbkowania JEDNEJ godziny jest wspólna dla wielu wykresów kontrolnych, H = jedna jednostka czasu jest używany. Zachowanie modelu kosztowego jest analizowane numerycznie. GINO (Lasdon & Warren, 1985) jest używany do badania zachowania modelu kosztów nad rozsądnymi zestawami parametrów, a algorytm generalized reduced gradient (GRG) jest używany do próby zminimalizowania oczekiwanego całkowitego kosztu na jednostkę funkcji czasu dla tych zestawów parametrów. Zakresy ocenianych parametrów są wymienione poniżej.
(1) θ ∈ (8, 200)
(2) δ = 0.522, wielkość przesunięcia średniej, gdy nastąpi przesunięcie. Wartość ta jest wybrana, ponieważ odpowiada wzrostowi proporcji niezgodnej z 0,01 do 0,02.
(3) ci = 1,0; 5,0
(4) cd ∈ (1, 10)
(5) cf = 100
(6) R = 200, szybkość produkcji
(7) ct = 10
powyższe zakresy parametrów definiują scenariusze, w których wyniki ekonomiczne normy i uogólnionego wykresu kontroli Shewharta są badane. Analizuje się numerycznie zachowanie oczekiwanego całkowitego kosztu na jednostkę funkcji czasu w odniesieniu do zmiennych decyzyjnych dla rodziny zakresów parametrów.
oczekiwany całkowity koszt jednostkowy funkcji czasu jest wypukły w k dla wszystkich zakresów pozostałych parametrów. Małe wartości K powodują duży oczekiwany koszt całkowity, ponieważ podawana jest nadmierna liczba fałszywych alarmów. Może to zdominować wszelkie oszczędności dzięki szybkiemu wykrywaniu zmian. Wartości pośrednie K dają najmniejszy oczekiwany koszt całkowity, ponieważ równoważą koszty produkcji niezgodnej z kosztem fałszywego alarmu. Duże wartości k zapewniają zmniejszone prawdopodobieństwo wykrycia przesunięcia, a tym samym coraz większe koszty produkcji niezgodne. Całkowity efekt polega na tym, że oczekiwany koszt zmniejsza się do minimum, a następnie wzrasta ponownie wraz ze wzrostem K.
funkcja oczekiwanego kosztu całkowitego jest również wypukła w n dla wszystkich zakresów pozostałych parametrów. Małe wartości n oznaczają niskie koszty pobierania próbek, ale wysokie koszty niezgodności, ponieważ zmiany nie są szybko wykrywane. Wartości pośrednie n równoważą koszt próbkowania z kosztem produktu niezgodnego, aby osiągnąć najniższy oczekiwany koszt całkowity. Duże wartości n oznaczają duże koszty pobierania próbek,które mogą dominować nad oszczędnościami w kosztach produktów niezgodnych, osiągniętymi dzięki większemu prawdopodobieństwu wykrycia. Interpretacje te różnią się w zależności od względnego znaczenia każdej kategorii kosztów, ale ogólny efekt polega na tym, że oczekiwana funkcja całkowitego kosztu jest wypukła w N.
powyższe wyniki dla n I k są przewidywane dla standardowych wykresów kontrolnych Shewharta w ogóle i potwierdzone dla ogólnych Wykresów kontrolnych Shewharta. Uogólniony Wykres kontroli Shewharta ma cechy, że standardowy wykres kontroli Shewharta nie. Właściwości wynikające z tych dodatkowych funkcji są teraz badane.
zachowanie modelu pod względem zmiennej decyzyjnej m, k1 i k2 charakteryzuje się trzema przypadkami. Względne wielkości parametrów kosztów w każdym przypadku określają, które zachowanie jest obserwowane. W pierwszym przypadku, oczekiwany całkowity koszt na jednostkę funkcji czasu ct, wyświetla wypukłe zachowanie w każdej ze zmiennych decyzyjnych m, k1 i k2 i minimum występuje we wnętrzu wypukłego obszaru wykonalnego. Oznacza to, że minimalny Wykres kontroli kosztów jest jakąś formą uogólnionego wykresu kontroli Shewharta. W przypadku drugim CT jest nadal wypukły, ale ma minimum odpowiadające granicy m = 0 i k2 = k1 i zwiększa się ściśle w każdej z tych zmiennych. Oznacza to, że minimalny Wykres kontroli kosztów jest standardowym wykresie kontroli Shewharta bez zmian limitów kontroli. W przypadku trzecim CT ściśle zmniejsza się zarówno w m, jak i k2 i ma minimum na granicy k1 = k2 I m=∞. Oznacza to, że minimalny Wykres kontroli kosztów jest standardowym wykresie kontroli Shewharta bez zmian limitów kontroli.
wnioski
przedstawiona powyżej analiza daje kilka interesujących punktów. Pierwszym z nich jest to, że analiza kosztów eksploatacji każdego rodzaju wykresu kontroli powinny być traktowane bardzo ostrożnie, jako funkcja koszt nie zawsze może mieć powszechnie zakładaną regularność. Wybór współczynników kosztów, rozkładu czasu przesunięcia i parametrów rozkładu mają bezpośredni wpływ na wydajność oczekiwanego całkowitego kosztu na jednostkę funkcji czasu. Ważne wyniki przeprowadzonej analizy pokazują, że uogólniony Wykres Shewharta dla środków może być ekonomicznie atrakcyjne, gdy koszt inspekcji, prawdziwy koszt sygnału, a koszty niezgodne razem zrównoważyć oczekiwaną długość cyklu i fałszywy koszt alarmu. Gdy jest to przypadek, oczekiwany całkowity koszt na jednostkę funkcji czasu jest wypukły z minimum wewnętrznego i możliwość optymalizacji uogólnionego wykresu kontroli Shewharta. Gdy jeden lub więcej terminów modelu dominuje nad innymi, oczekiwany całkowity koszt na jednostkę czasu będzie wykazywał takie same zachowania zwiększające lub zmniejszające się, jak czynnik dominujący, a uogólniony model kosztów, jak zbadano w tym artykule, będzie nieatrakcyjny.
drugi wniosek jest taki, że wszystkie parametry i zmienne modelu są ważne dla oczekiwanego całkowitego kosztu jednostkowego funkcji czasu. Granice kontrolne k1 i k2 mają większy wpływ niż parametr rozkładu θ, a K2 ma większy wpływ niż k1. Prawdą jest również, że wielkość próby, n, i czas zmiany szerokości granic kontrolnych, m, zwiększyć efekt parametru dystrybucji, K1 i k2.
ostateczny wniosek jest taki, że istnieją aplikacje Wykresów kontrolnych, dla których model kosztów jest przydatny. Wartości parametrów procesu produkcyjnego, które wyświetlają częściej spotykane relacje prowadzi do uogólnionego wykresu kontroli Shewharta o niższych kosztach niż odpowiedni standardowy wykres kontroli Shewharta. Dla przykładowego przypadku analizowanego powyżej optymalna oszczędność wynosi 0,22 USD za wyprodukowaną sztukę. Ponieważ zakładana szybkość produkcji wynosi 200 / godzinę, oszczędność 44 USD na godzinę. Oszczędność ta jest dramatyczna i dlatego uogólniony Wykres kontroli Shewharta warto realizować.