System nieholonomiczny

Rolling wheelEdit

koło (czasami wizualizowane jako monocykl lub tocząca się moneta) jest systemem nieholonomicznym.

Wyjaśnienie Laikaedytuj

rozważmy koło roweru, które jest zaparkowane w określonym miejscu (na ziemi). Początkowo zawór inflacyjny znajduje się w określonej pozycji na kole. Jeśli rower jest przejeżdżany, a następnie zaparkowany w dokładnie tym samym miejscu, zawór prawie na pewno nie będzie w tej samej pozycji, co wcześniej. Jego nowa pozycja zależy od obranej ścieżki. Gdyby koło było holonomiczne, trzpień zaworu zawsze kończyłby się w tej samej pozycji, o ile koło było zawsze zwijane z powrotem do tego samego miejsca na Ziemi. Oczywiście jednak tak nie jest, więc system jest nieholonomiczny.

indywidualna jazda na zmotoryzowanym monocyklu. Przestrzeń konfiguracyjna monocykla i promień R {\displaystyle r}

koła są oznaczone. Czerwone i niebieskie linie leżą na ziemi.

możliwe jest matematyczne modelowanie koła za pomocą systemu równań ograniczeń, a następnie udowodnienie, że ten układ jest nieholonomiczny.

najpierw definiujemy przestrzeń konfiguracyjną. Koło może zmieniać swój stan na trzy sposoby: mieć inny obrót wokół osi, inny kąt skrętu i być w innym miejscu. Możemy powiedzieć, że ϕ {\displaystyle \phi }

to obrót wokół osi, θ {\displaystyle \theta }

to kąt skrętu względem x {\displaystyle x}

-oś i X {\displaystyle X}

I y {\displaystyle y}

definiują pozycję przestrzenną. Zatem przestrzeń konfiguracyjna jest: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

musimy teraz powiązać te zmienne ze sobą. Zauważamy, że gdy koło zmienia swój obrót, zmienia swoje położenie. Zmiana obrotu i położenia implikująca prędkości muszą być obecne, staramy się powiązać prędkość kątową i kąt skrętu z prędkościami liniowymi, przyjmując proste pochodne czasowe odpowiednich terminów:

( X y ) = ( R ϕ cos θ θ r ϕ sin θ θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}

prędkość w X {\displaystyle X}

kierunek jest równy prędkości kątowej razy promień razy cosinus kąta skrętu i y {\displaystyle y}

prędkość jest podobna. Teraz wykonujemy pewne algebraiczne manipulacje, aby przekształcić równanie do postaci Pfaffiana, więc możliwe jest sprawdzenie, czy jest holonomiczne. ( x-R ϕ cos θ θ y − r ϕ sin θ θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {\phi}}-r {\dot {\phi}} \sin \theta\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}

oddzielmy zmienne od ich współczynników (lewa strona równania, pochodząca z góry). Zdajemy sobie również sprawę, że możemy pomnożyć wszystkie wyrazy przez d t {\displaystyle {\text{d}} t}

, więc otrzymujemy tylko różniczki (prawa strona równania): ( 1 0 0 − R cos ⁡ θ 0 1 0-R sin ⁡ θ ) ( x y θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos θ θ 0 1 0 − R sin θ θ ) ( d x d y d θ D ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \Theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{C}{\Dot {x}}\\{\Dot {y}}\\{\Dot {\theta }}\\{\Dot {\Phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \Theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{D}}X\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\Theta \\{\text{D}}\phi \end{array}}\right)}

prawa strona równania ma teraz postać Pfaffiana:

∑ s = 1 n A r S d u S = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle \Sum _{s=1}^{n}a_{RS}du_{S}=0;\;r=1,2}

używamy teraz testu uniwersalnego dla ograniczeń holonomicznych. Gdyby ten system był holonomiczny, musielibyśmy zrobić do ośmiu testów. Jednak możemy użyć intuicji matematycznej, aby spróbować jak najlepiej udowodnić, że system jest nieholonomiczny w pierwszym teście. Biorąc pod uwagę równanie testowe jest:

a γ ( ∂ β ∂ U i α − ∂ a α ∂ U i β ) + β A ( ∂ a α ∂ U i γ − ∂ A γ ∂ α u ) + a α ( ∂ w γ ∂ U i β − ∂ a β ∂ U i γ ) = 0 {\właściwości wyświetlania stylu wartość Oh{\gamma }{\Бигг (}{\фрац {\partial Oh{\beta }}{\częściowym to{\alpha }}}-{\фрац {\partial Oh{\Alpha }}{\partial okazuje{\beta }}}{\Бигг )}+Oh{\beta }{\Бигг (}{\фрац {\partial Oh{\Alpha }}{\partial okazuje{\gamma }}}-{\фрац {\partial Oh{\gamma }}{\częściowym to{\alpha }}}{\Бигг )}+Oh{\Alpha }{\Бигг (}{\фрац {\partial Oh{\gamma }}{\partial okazuje{\beta }}}-{\фрац {\partial Oh{\beta }}{\partial okazuje{\gamma }}}{\Бигг )}=0}

z terminów a α {\displaystyle a_{\Alpha}}

, a β {\displaystyle a_{\beta }}

, lub γ {\displaystyle a_{\gamma }}

były zerowe, że ta część równania testowego byłaby trywialna do rozwiązania i być równe zero. Dlatego często najlepszą praktyką jest, aby pierwsze równanie testowe miało jak najwięcej niezerowych wyrażeń, jak to możliwe, aby zmaksymalizować szansę na ich sumę nie równą zeru. Dlatego wybieramy: Α = 1 {\styl wyświetlania A_{\alpha }=1}

β = 0 {\styl wyświetlania A_{\beta }=0}

W γ = − r cos ⁡ θ {\styl wyświetlania A_{\gamma } =r\cos \theta }

u α = d x {\styl wyświetlania u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\styl wyświetlania u_{\beta }=d\theta }

u γ = d ϕ {\displaystyle u_{\gamma }=D\phi }

podstawiamy do naszego równania testowego:

(p cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ X (w − p cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − R cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\właściwości styl wyświetlania wartości (-r\cos \theta ){\Бигг (}{\фрац {\partial }{\częściowym x}}(0)-{\фрац {\partial }{\partial \theta }}(1){\Бигг )}+(0){\Бигг (}{\фрац {\partial }{\partial \Pi }}(1)-{\фрац {\partial }{\częściowym x}}(-r\cos \theta ){\Бигг )}+(1){\Бигг (}{\фрац {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\фрац {\partial }{\partial \Pi }}(0){\Бигг )}=0}

i uprościć:

r sin θ θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

możemy łatwo zauważyć, że ten system, jak opisano, jest nieholonomiczny, ponieważ sin θ θ {\displaystyle \sin \theta }

nie zawsze jest równe zero.

dodatkowe wnioskiedit

zakończyliśmy nasz dowód, że system jest nieholonomiczny, ale nasze równanie testowe dało nam pewne spostrzeżenia na temat tego, czy system, jeśli będzie dalej Ograniczony, może być holonomiczny. Wiele razy równania testowe zwrócą wynik taki jak − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

sugerując, że system nigdy nie mógłby być ograniczony do holonomiczności bez radykalnej zmiany systemu, ale w naszym wyniku widzimy , że r sin θ θ {\displaystyle r\sin \theta }

może być równe zero, na dwa różne sposoby:

• r {\displaystyle r}
  

  , promień koła, może być zerowy. Nie jest to pomocne, ponieważ system straciłby wszystkie stopnie swobody.

• sin θ θ {\displaystyle \sin \theta}
  

  może być zerowe, ustawiając θ {\displaystyle \theta}

  

  równe zero. Oznacza to, że gdyby koła nie mogły się obracać i musiały poruszać się tylko w linii prostej przez cały czas, byłby to system holonomiczny.

jest jedna rzecz, której jeszcze nie rozważyliśmy, że aby znaleźć wszystkie takie modyfikacje dla systemu, należy wykonać wszystkie osiem równań testowych (po cztery z każdego równania ograniczenia) i zebrać wszystkie niepowodzenia, aby zebrać wszystkie wymagania, aby system był holonomiczny, jeśli to możliwe. W tym układzie, spośród siedmiu dodatkowych równań testowych, pojawia się dodatkowy przypadek:

− R cos θ θ = 0 {\displaystyle-r\cos \theta =0}

nie jest to jednak trudne, ponieważ dodanie równań i podzielenie przez r {\displaystyle r}

wyniki w: sin θ θ − cos θ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}

który ma rozwiązanie θ = π 4 + n π ; n ∈ z {\displaystyle \Theta ={\frac {\pi }{4}}+N\pi ;\;n\in \ mathbb {Z} }

wróć do wyjaśnienia laika powyżej, gdzie jest powiedziane, ” nowa pozycja zależy od wybranej ścieżki. Gdyby koło było holonomiczne, trzpień zaworu zawsze kończyłby się w tej samej pozycji, o ile koło było zawsze zwijane z powrotem do tego samego miejsca na Ziemi. Oczywiście jednak tak nie jest, więc system jest nieholonomiczny.”Jednak łatwo jest sobie wyobrazić, że gdyby koło mogło toczyć się tylko w idealnie prostej linii i z powrotem, trzpień zaworu skończyłby w tej samej pozycji! W rzeczywistości poruszanie się równolegle do podanego kąta π {\displaystyle\pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

nie jest w rzeczywistości konieczne w świecie rzeczywistym, ponieważ orientacja samego układu współrzędnych jest dowolna. Układ może stać się holonomiczny, jeśli koło porusza się tylko w linii prostej pod dowolnym stałym kątem w stosunku do danego odniesienia. W ten sposób nie tylko udowodniliśmy, że oryginalny system jest nieholonomiczny, ale również byliśmy w stanie znaleźć ograniczenie, które można dodać do systemu, aby uczynić go holonomicznym.

Rolling sphereEdit

Ten przykład jest rozwinięciem problemu 'rolling wheel’ rozważanego powyżej.

rozważmy trójwymiarową ortogonalną ramę współrzędnych kartezjańskich, na przykład blat stołu poziomego z zaznaczonym na nim punktem początkowym, a osie x i y ułożone liniami ołówkowymi. Weźmy sferę o promieniu jednostki, na przykład piłkę pingpongową, i zaznacz jeden punkt B na niebiesko. Odpowiadająca temu punktowi jest średnicą kuli, a płaszczyzna prostopadła do tej średnicy umieszczona w środku C kuli definiuje Wielki okrąg zwany równikiem związanym z punktem B. na tym równiku wybierz inny punkt R i zaznacz go na Czerwono. Ustaw sferę na płaszczyźnie z = 0 tak, aby punkt B był zbieżny z początkiem, C znajduje się w x = 0, y = 0, z = 1, A R znajduje się w x = 1, y = 0 i z = 1, tzn. R rozciąga się w kierunku dodatniej osi x. Jest to orientacja początkowa lub referencyjna sfery.

Kula może być teraz toczona po dowolnej ciągłej zamkniętej ścieżce w płaszczyźnie z = 0, niekoniecznie po prostu połączonej ścieżce, w taki sposób, że nie ślizga się ani nie skręca, tak że C powraca do x = 0, y = 0, z = 1. Ogólnie rzecz biorąc, punkt B nie jest już zbieżny z początkiem, a punkt R nie rozciąga się już wzdłuż dodatniej osi X. W rzeczywistości, poprzez wybór odpowiedniej ścieżki, sfera może być ponownie zorientowana od orientacji początkowej do dowolnej możliwej orientacji sfery z C położoną w x = 0, y = 0, z = 1. System jest więc nieholonomiczny. Anholonomia może być reprezentowana przez podwójnie unikalny czwartorzęd (q i −q), który po zastosowaniu do punktów reprezentujących sferę przenosi punkty B i R na swoje nowe pozycje.

wahadło Foucaulta

dodatkowym przykładem systemu nieholonomicznego jest wahadło Foucaulta. W układzie współrzędnych lokalnych wahadło porusza się w płaszczyźnie pionowej o określonej orientacji względem geograficznej północy na początku ścieżki. Ukryta trajektoria układu jest linią szerokości geograficznej na Ziemi, na której znajduje się Wahadło. Mimo że wahadło jest nieruchome w ramie Ziemi, porusza się w ramie odnoszącej się do Słońca i obraca się synchronicznie z tempem obrotu Ziemi, tak że jedynym pozornym ruchem płaszczyzny wahadła jest to, że spowodowane przez obrót Ziemi. Ta ostatnia rama jest uważana za inercyjną ramę odniesienia, chociaż również jest nieinercjalna w bardziej subtelny sposób. Rama Ziemi jest dobrze znana jako nieinercjalna, co jest zauważalne dzięki widocznej obecności sił odśrodkowych i sił Coriolisa.

ruch wzdłuż linii szerokości geograficznej jest parametryzowany przez upływ czasu, a płaszczyzna oscylacji wahadła Foucaulta wydaje się obracać wokół lokalnej osi pionowej w miarę upływu czasu. Kąt obrotu tej płaszczyzny w czasie t względem orientacji początkowej jest anholonomią układu. Anholonomia wywołana przez kompletny obwód szerokości geograficznej jest proporcjonalna do kąta bryłowego podpiętego przez ten okrąg szerokości geograficznej. Ścieżka nie musi być ograniczona do okręgów szerokości geograficznej. Na przykład wahadło może być zamontowane w samolocie. Anholonomia jest nadal proporcjonalna do kąta bryłowego, który może być teraz dość nieregularny. Wahadło Foucaulta jest fizycznym przykładem transportu równoległego.

liniowe światło spolaryzowane w światłowodzie optycznym

weź długość światłowodu, powiedzmy trzy metry i ułóż go w absolutnie prostej linii. Kiedy pionowo spolaryzowana wiązka jest wprowadzana na jednym końcu, wyłania się z drugiego końca, nadal spolaryzowana w kierunku pionowym. Zaznacz górną część włókna paskiem, odpowiadającym orientacji polaryzacji pionowej.

teraz zwiń włókno ciasno wokół cylindra o średnicy dziesięciu centymetrów. Ścieżka włókna opisuje teraz helisę, która, podobnie jak okrąg, ma stałą krzywiznę. Spirala ma również interesującą właściwość stałego skręcania. W związku z tym rezultatem jest stopniowy obrót włókna wokół osi włókna, gdy linia środkowa włókna postępuje wzdłuż helisy. Odpowiednio, Pasek również skręca wokół osi spirali.

gdy liniowo spolaryzowane światło zostanie ponownie wprowadzone na jednym końcu, z orientacją polaryzacji wyrównaną z paskiem, na ogół pojawi się jako liniowe spolaryzowane światło wyrównane nie z paskiem, ale pod pewnym stałym kątem do paska, w zależności od długości włókna oraz skoku i promienia spirali. System ten jest również nieholonomiczny, ponieważ możemy łatwo zwinąć włókno w drugą spiralę i wyrównać końce, przywracając światło do punktu początkowego. Anholonomia jest zatem reprezentowana przez odchylenie kąta polaryzacji dla każdego obwodu włókna. Dzięki odpowiedniej regulacji parametrów jasne jest, że można uzyskać dowolny możliwy stan kątowy.

RoboticsEdit

w robotyce nonholonomic był szczególnie badany w zakresie planowania ruchu i linearyzacji sprzężeń zwrotnych dla robotów mobilnych.