Adrien-Marie Legendre, (né le 18 septembre 1752, Paris, France — décédé le 10 janvier 1833, Paris), mathématicien français dont les travaux distingués sur les intégrales elliptiques ont fourni des outils analytiques de base pour la physique mathématique.
On sait peu de choses sur les débuts de Legendre si ce n’est que sa fortune familiale lui permet d’étudier la physique et les mathématiques, à partir de 1770, au Collège Mazarin (Collège des Quatre-Nations) à Paris et que, du moins jusqu’à la Révolution française, il n’a pas à travailler. Néanmoins, Legendre enseigne les mathématiques à l’École militaire de Paris de 1775 à 1780. En 1782, il remporta un prix offert par l’Académie des sciences de Berlin pour son effort de « déterminer la courbe décrite par les boulets de canon et les bombes, en tenant compte de la résistance de l’air donner des règles pour obtenir les plages correspondant à différentes vitesses initiales et à différents angles de projection. »L’année suivante, il a présenté des recherches sur la mécanique céleste à l’Académie des Sciences, et il a rapidement été récompensé par son adhésion. En 1787, il rejoint l’équipe française, dirigée par Jacques-Dominique Cassini et Pierre Mechain, dans les mesures géodésiques menées conjointement avec l’Observatoire Royal de Greenwich à Londres. À cette époque, il est également devenu membre de la Royal Society britannique. En 1791, il fut nommé avec Cassini et Mechain à un comité spécial pour développer le système métrique et, en particulier, pour effectuer les mesures nécessaires à la détermination du mètre étalon. Il a également travaillé sur des projets de production de tables logarithmiques et trigonométriques.
L’Académie des Sciences a été forcée de fermer ses portes en 1793 pendant la Révolution française, et Legendre a perdu sa fortune familiale pendant le bouleversement. Néanmoins, il s’est marié à cette époque. L’année suivante, il publie Éléments de géométrie, une réorganisation et une simplification des propositions à partir des Éléments d’Euclide qui a été largement adoptée en Europe, même si elle est pleine de tentatives fallacieuses pour défendre le postulat parallèle. Legendre a également donné une preuve simple que π est irrationnel, ainsi que la première preuve que π2 est irrationnel, et il a conjecturé que π n’est pas la racine d’une équation algébrique de degré fini à coefficients rationnels (c’est-à-dire que π est un nombre transcendant). Ses Éléments furent encore plus influents sur le plan pédagogique aux États-Unis, faisant l’objet de nombreuses traductions à partir de 1819 ; une de ces traductions connut quelque 33 éditions. L’Académie française des Sciences a été rouverte en 1795 sous le nom d’Institut National des Sciences et des Arts, et Legendre a été installé dans la section de mathématiques. Lorsque Napoléon réorganise l’institut en 1803, Legendre est retenu dans la nouvelle section de géométrie. En 1824, il refusa de soutenir le candidat du gouvernement à l’Institut et perdit sa pension de l’École militaire, où il avait servi de 1799 à 1815 comme examinateur de mathématiques pour les étudiants diplômés de l’artillerie.
Nouvelles méthodes de Legendre pour la détermination des orbites des comètes (1806; « Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ») contient le premier traitement complet de la méthode des moindres carrés, bien que la priorité pour sa découverte soit partagée avec son rival allemand Carl Friedrich Gauss.
En 1786, Legendre entreprend des recherches sur les intégrales elliptiques. Dans son ouvrage le plus important, Traité des fonctions elliptiques (1825-1837 ; » Traité des fonctions elliptiques « ), il réduit les intégrales elliptiques à trois formes standard maintenant connues sous son nom. Il a également compilé des tableaux des valeurs de ses intégrales elliptiques et a montré comment elles peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes importants en mécanique et en dynamique. Peu de temps après l’apparition de ses travaux, les découvertes indépendantes de Niels Henrik Abel et Carl Jacobi ont complètement révolutionné le sujet des intégrales elliptiques.
Legendre a publié ses propres recherches en théorie des nombres et celles de ses prédécesseurs sous une forme systématique sous le titre Théorie des nombres, 2 vol. (1830). Ce travail comprenait sa preuve erronée de la loi de réciprocité quadratique. La loi a été considérée par Gauss, le plus grand mathématicien de l’époque, comme le résultat général le plus important en théorie des nombres depuis les travaux de Pierre de Fermat au 17ème siècle. Gauss a également donné la première preuve rigoureuse de la loi.