Dual Vector Space

Posted on
MathWorld Contributors > Moslehian >
MathWorld Contributors > Rowland, Todd >

The dual vector space to a real vector space V is the vector space of linear functions f:V-R, denoted V^*. In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

I begge tilfælde har det dobbelte vektorrum den samme dimension som V. Givet en vektor basis v_1v_n for V der findes et dobbelt grundlag for V^*, skrevet v_1^*v_n^*, hvor v_i^*(v_j)=delta_(ij) og delta_(IJ) er Kronecker delta.

en anden måde at realisere en isomorfisme med V er gennem et indre produkt. Et ægte vektorrum kan have et symmetrisk indre produkt , i hvilket tilfælde en vektor v svarer til et dobbelt element med f_v(H)=H,v. Derefter svarer et grundlag kun til dets dobbelte grundlag, hvis det er et ortonormalt grundlag, i hvilket tilfælde v_i^*=f_(v_i). Et komplekst vektorrum kan have et Hermitisk indre produkt, i hvilket tilfælde f_v (H)=H, V er en konjugat-lineær isomorfisme af V med V^*, dvs., f_(alphav)=alpha^_f_v.Dobbeltvektorrum kan beskrive mange objekter i lineær algebra. Når V og V er endelige dimensionelle vektorrum, et element af tensorproduktet V^* tensor V, sig suma_(IJ)v_j^* tensor v_i, svarer til den lineære transformation t(v)=suma_(IJ)v_j^*(v)v_i. Det vil sige V^* tensor V=Hom(V,V). For eksempel er identitetstransformationen v_1 tensor v_1^*+...+v_n tensor v_n^ *. En bilinær form på V, såsom et indre produkt, er et element af V^* tensor V^*.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.