Ikke-holonomisk system

rullende hjulredit

et hjul (undertiden visualiseret som en unicykel eller en rullende mønt) er et ikke-holonomisk system.

lægmandens forklaringredit

overvej hjulet på en cykel, der er parkeret på et bestemt sted (på jorden). I starten er inflationsventilen i en bestemt position på hjulet. Hvis cyklen køres rundt og derefter parkeres nøjagtigt på samme sted, vil ventilen næsten helt sikkert ikke være i samme position som før. Dens nye position afhænger af den vej, der er taget. Hvis hjulet var holonomisk, ville ventilstammen altid ende i samme position, så længe hjulet altid blev rullet tilbage til det samme sted på jorden. Det er dog klart, at dette ikke er tilfældet, så systemet er ikke-holonomisk.

matematisk forklaringredit

en person, der kører på en motoriseret unicykel. Enhedens konfigurationsrum og radius r {\displaystyle r}

på hjulet er markeret. De røde og blå linjer lå på jorden.

det er muligt at modellere hjulet matematisk med et system af begrænsningsligninger og derefter bevise, at dette system er ikke-holonomisk.

først definerer vi konfigurationsrummet. Hjulet kan ændre sin tilstand på tre måder: at have en anden rotation omkring sin aksel, have en anden styrevinkel og være på et andet sted. Vi kan sige, at Kris {\displaystyle \phi }

er rotationen omkring akslen, Kris {\displaystyle \theta }

er styrevinklen i forhold til den {\displaystyle}

-akse og {\displaystyle}

og Y {\displaystyle y}

Definer den rumlige position. Således er konfigurationsrummet: u = t {\displaystyle {\overrightar {u}}={\begin{bmatriks}&y&\theta &\phi \end{bmatriks}}^{\mathrm {T} }}

Vi skal nu relatere disse variabler til hinanden. Vi bemærker, at når hjulet ændrer sin rotation, ændrer det sin position. Ændringen i rotation og position, der indebærer hastigheder, skal være til stede, vi forsøger at relatere vinkelhastighed og styrevinkel til lineære hastigheder ved at tage enkle tidsderivater af de relevante udtryk:{\begin {array}} \højre) = \venstre ({\begin{array}}\sin\theta\end {array}}\højre)}

retning er lig med vinkelhastighedstiderne radius gange cosinus af styrevinklen, og Y {\displaystyle y}

hastighed er ens. Nu gør vi noget algebraisk manipulation for at omdanne ligningen til Pfaffian form, så det er muligt at teste om det er holonomisk. = 0 {\start {array} {c} {\dot {\Phi}} − r {\dot{\Phi}} \cos\theta \\\{\dot {y}} − r {\dot {\Phi }}\sin \theta \end {array}}\højre)={\overrightar {0}}}

lad os adskille variablerne fra deres koefficienter (venstre side af ligningen, afledt ovenfra). Vi er også klar over, at vi kan multiplicere alle udtryk med d t {\displaystyle {\tekst{d}}t}

så vi ender med kun forskellene (højre side af ligningen): (1 0 0-r for 0 1 0-r for 0)) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos − 0 1 0-r sin-0) {\displaystyle \Left ({\begin{array}{c}1&&& – r\cos \theta \\0&&& – r\sin \theta \end{array}}\højre)\venstre ({\begin{array}{c}{\Dot {y}}\\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta}} \\{\Dot {\Phi}}\end{array}}\højre)={\Overskriv {0}}=\venstre ({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\Tekst{D}}y\\{\Tekst{D}}\Theta\\{\Tekst{D}} \Phi \end {array}} \right)}

højre side af ligningen er nu i Pfaffian form:

List s = 1 N A r S D u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle\sum _{s=1}^{n} a_{rs} du_{s}=0;\; r=1,2}

Vi bruger nu den universelle test for holonomiske begrænsninger. Hvis dette system var holonomisk, skal vi muligvis lave op til otte tests. Vi kan dog bruge matematisk intuition til at gøre vores bedste for at bevise, at systemet er nonholonomic på den første test. I betragtning af testligningen er:

A γ ( ∂ A β ∂ u α − ∂ A α ∂ u β ) + A β ( ∂ A α ∂ u γ − ∂ A γ ∂ u α ) + A α ( ∂ A γ ∂ u β − ∂ A β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

Vi kan se , at hvis nogen af udtrykkene a Lars {\displaystyle a_ {\alpha}}

, a Lars {\displaystyle A_ {\beta }}

, eller en purpur {\displaystyle A_{\gamma }}

var nul, at den del af testligningen ville være triviel at løse og ville være lig med nul. Derfor er det ofte bedste praksis at have den første testligning har så mange ikke-nul vilkår som muligt for at maksimere chancen for, at summen af dem ikke svarer til nul. Derfor vælger vi: Α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

De γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d {\displaystyle u_ {\gamma }=d \ phi }

Vi erstatter vores testligning:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

og forenkle:

r sin prit = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

Vi kan let se, at dette system, som beskrevet, er ikke-holonomisk, fordi synd prit {\displaystyle \sin \theta }

er ikke altid lig med nul.

yderligere konklusionerredit

Vi har afsluttet vores bevis for, at systemet er ikke-holonomisk, men vores testligning gav os nogle indsigter om, hvorvidt systemet, hvis det er yderligere begrænset, kunne være holonomisk. Mange gange vil testligninger returnere et resultat som − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

hvilket indebærer, at systemet aldrig kunne begrænses til at være holonomisk uden radikalt at ændre systemet, men i Vores resultat kan vi se , at R Synden er{\displaystyle r\sin \theta}

kan være lig med nul på to forskellige måder:

• r{\displaystyle r}
  

  , hjulets radius kan være nul. Dette er ikke nyttigt, da systemet ville miste alle sine frihedsgrader.

• synden {\displaystyle \sin \theta}
  

  kan være nul ved at indstille prisen {\displaystyle \theta }

  

  lig med nul. Dette indebærer, at hvis hjulet ikke fik lov til at dreje og kun måtte bevæge sig i en lige linje på alle tidspunkter, ville det være et holonomisk system.

der er en ting, som vi endnu ikke har overvejet, at for at finde alle sådanne ændringer for et system skal man udføre alle otte testligninger (fire fra hver begrænsningsligning) og indsamle alle fejl for at samle alle krav for at gøre systemet holonomisk, hvis det er muligt. I dette system ud af de syv yderligere testligninger præsenterer en yderligere sag sig selv:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

Dette giver ikke anledning til meget besvær, men som tilføjer ligninger, og dividere med r {\displaystyle r}

resultater i: synd ⁡ θ − cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \synd \theta -\cos \theta =0}

der har løsningen θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \ mathbb {å} }

henvis tilbage til lægmandens forklaring ovenfor, hvor det siges, ” ny position afhænger af den valgte sti. Hvis hjulet var holonomisk, ville ventilstammen altid ende i samme position, så længe hjulet altid blev rullet tilbage til det samme sted på jorden. Det er dog klart, at dette ikke er tilfældet, så systemet er ikke-holonomisk.”Det er dog let at visualisere, at hvis hjulet kun fik lov til at rulle i en perfekt lige linje og tilbage, ville ventilstammen ende i samme position! Faktisk bevæger man sig parallelt med den givne vinkel på prish {\displaystyle \pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

er faktisk ikke nødvendig i den virkelige verden, da orienteringen af koordinatsystemet selv er vilkårlig. Systemet kan blive holonomisk, hvis hjulet kun bevæger sig i en lige linje i en hvilken som helst fast vinkel i forhold til en given reference. Således har vi ikke kun bevist, at det oprindelige system er ikke-holonomisk, men vi var også i stand til at finde en begrænsning, der kan føjes til systemet for at gøre det holonomisk.

Rolling sphereEdit

dette eksempel er en forlængelse af det ovenfor beskrevne ‘rullehjul’ – problem.

overvej en tredimensionel ortogonal kartesisk koordinatramme, for eksempel en plan bordplade med et punkt markeret på det for oprindelsen, og HS-og y-akserne lagt ud med blyantlinjer. Tag en kugle med enhedsradius, for eksempel en bordtennisbold, og marker et punkt B i blåt. Svarende til dette punkt er en diameter på kuglen, og planet vinkelret på denne diameter placeret i midten C af kuglen definerer en stor cirkel kaldet ækvator forbundet med punkt B. på denne ækvator skal du vælge et andet punkt R og markere det med rødt. 0, således at punktet B er sammenfaldende med oprindelsen, C er placeret ved H = 0, y = 0, å = 1, og R er placeret ved H = 1, y = 0 og å = 1, dvs.r strækker sig i retning af den positive h-akse. Dette er kuglens indledende eller referenceorientering.

kuglen kan nu rulles langs enhver kontinuerlig lukket sti i H = 0-Planet, ikke nødvendigvis en simpelthen forbundet sti, på en sådan måde, at den hverken glider eller vrider sig, så C vender tilbage til H = 0, y = 0, å = 1. Generelt er punkt B ikke længere sammenfaldende med oprindelsen, og punkt R strækker sig ikke længere langs den positive h-akse. Faktisk kan kuglen ved valg af en passende sti omorienteres fra den oprindelige orientering til enhver mulig orientering af kuglen med C placeret ved H = 0, y = 0, å = 1. Systemet er derfor ikke-holonomisk. Anholonomien kan repræsenteres af den dobbelt unikke kvaternion, som, når den anvendes på de punkter, der repræsenterer kuglen, bærer punkterne B og R til deres nye positioner.

Foucault pendulumEdit

et yderligere eksempel på et ikke-holonomisk system er Foucault-pendulet. I den lokale koordinatramme svinger pendulet i et lodret plan med en bestemt orientering i forhold til geografisk nord i starten af stien. Systemets implicitte bane er breddegraden på jorden, hvor pendulet er placeret. Selvom pendulet er stationært i Jordrammen, bevæger det sig i en ramme, der henvises til Solen og roterer synkront med jordens omdrejningshastighed, så den eneste tilsyneladende bevægelse af pendulplanet er den, der er forårsaget af Jordens rotation. Denne sidstnævnte ramme anses for at være en inertiel referenceramme, selvom den også er ikke-inertiel på mere subtile måder. Jordrammen er velkendt for at være ikke-inertiel, en kendsgerning, der kan opfattes af den tilsyneladende tilstedeværelse af centrifugalkræfter og Coriolis-kræfter.

bevægelse langs breddegraden parameteriseres ved tidens gang, og Foucault-pendulets svingningsplan ser ud til at rotere omkring den lokale lodrette akse, når tiden går. Rotationsvinklen for dette plan ad gangen t i forhold til den oprindelige orientering er systemets anholonomi. Anholonomien induceret af et komplet kredsløb af breddegrad er proportional med den faste vinkel, der er subtenderet af den breddegrad. Stien behøver ikke være begrænset til Breddegrad cirkler. For eksempel kan pendulet monteres i et fly. Anholonomien er stadig proportional med den faste vinkel, der er subtenderet af stien, som nu kan være ret uregelmæssig. Foucault-pendulet er et fysisk eksempel på parallel transport.

lineært polariseret lys i en optisk fiberrediger

tag en længde af optisk fiber, siger tre meter, og læg den ud i en helt lige linje. Når en lodret polariseret stråle indføres i den ene ende, kommer den ud fra den anden ende, stadig polariseret i lodret retning. Marker toppen af fiberen med en stribe, der svarer til orienteringen af den lodrette polarisering.

nu spole fiberen tæt omkring en cylinder ti centimeter i diameter. Fiberens sti beskriver nu en spiral, der ligesom cirklen har konstant krumning. Spiralen har også den interessante egenskab at have konstant vridning. Som sådan er resultatet en gradvis rotation af fiberen omkring fiberens akse, når fiberens midterlinie skrider frem langs spiralen. Tilsvarende snor striben også om spiralens akse.

Når lineært polariseret lys igen introduceres i den ene ende, med polarisationens orientering justeret med striben, vil det generelt fremstå som lineært polariseret lys, der ikke er justeret med striben, men i en fast vinkel i forhold til striben, afhængig af fiberens længde og spiralens tonehøjde og radius. Dette system er også ikke-holonomisk, for vi kan let spole fiberen ned i en anden spiral og justere enderne og returnere lyset til dets oprindelsessted. Anholonomien er derfor repræsenteret ved afvigelsen af polarisationsvinklen med hvert kredsløb af fiberen. Ved passende justering af parametrene er det klart, at enhver mulig vinkeltilstand kan produceres.

RoboticsEdit

i robotik er ikke-holonomisk blevet undersøgt især inden for bevægelsesplanlægning og feedback-linearisering til mobile robotter.