Eine wirtschaftliche Strategie zur Anpassung der Shewhart-Regelkarte für das einundzwanzigste Jahrhundert

Shewhart-Regelkarten werden häufig verwendet, um Beispieldaten aus einem Produktionsprozess anzuzeigen. Sie haben sich auch bei der Bewertung der Prozessfähigkeit, bei der Schätzung von Prozessparametern und bei der Überwachung des Verhaltens eines Produktionsprozesses als wertvoll erwiesen. Ein Kontrolldiagramm wird beibehalten, indem Stichproben aus einem Prozess entnommen und einige aus den Stichproben berechnete Statistiken in zeitlicher Reihenfolge auf dem Diagramm dargestellt werden. Kontrollgrenzen auf dem Diagramm stellen die Grenzen dar, innerhalb derer die dargestellten Punkte mit hoher Wahrscheinlichkeit fallen würden, wenn der Betrieb unter Kontrolle wäre. Ein Punkt außerhalb der Kontrollgrenzen wird als Hinweis darauf angesehen, dass etwas, das manchmal als besondere Variationsursache bezeichnet wird, den Prozess verändert hat. Wenn das Diagramm signalisiert, dass eine spezielle Ursache vorliegt, werden Korrekturmaßnahmen ergriffen, um die spezielle Ursache zu entfernen und den Prozess wieder unter Kontrolle zu bringen. Zusätzlich zu den allgemeinen Ursachen, die zufällige Variation erzeugen, können spezielle Ursachen individuell eine erhebliche Menge an Variation erzeugen. Wenn eine spezielle Variationsursache vorliegt, wird die Verteilung der Qualitätsmetrik durch einen oder mehrere Parameter indiziert, und das Vorhandensein einer speziellen Ursache bewirkt, dass die Werte dieser Parameter geändert werden. Der Zweck einer Regelkarte besteht darin, spezielle Variationsursachen zu erkennen, damit diese Ursachen gefunden und beseitigt werden können. Da eine spezielle Ursache angenommen wird, um eine Parameteränderung zu erzeugen, kann das Problem, für das ein Regeldiagramm verwendet wird, als das Problem der Überwachung eines Prozesses formuliert werden, um Änderungen in den Parametern der Verteilung der Qualitätsvariablen zu erkennen.

Duncan (1956) zeigt an, dass die übliche Praxis bei der Aufrechterhaltung einer Regelkarte darin besteht, die Probe relativ zu konstanten Breitenkontrollgrenzen, z. B. Drei-Sigma-Grenzen, zu zeichnen. In diesem Papier, Eine Modifikation der Standardpraxis, bei der die Grenzwerte für die Stichprobenkontrolle nicht festgelegt sind, sondern variieren können, nachdem der Prozess für einen bestimmten Zeitraum betrieben wurde, wird untersucht. Die Grundlage für die Wahl der Steuergrenze Breite ist ein Modell für die Kosten für den Betrieb des Diagramms. Das Kostenmodell wird entwickelt, um die Gesamtkosten pro Zeiteinheit für die Überwachung des Mittelwerts eines Prozesses sowohl unter Verwendung des Standards als auch der verallgemeinerten Shewhart-Regelkarte zu beschreiben. Das Kostenmodell wird unter der Annahme entwickelt, dass das interessierende Qualitätsmerkmal normalverteilt mit bekannter und konstanter Varianz ist.

Die Definition des Kostenmodells für die Standard-Shewhart-Regelkarte erfolgt in zwei Schritten gemäß Zou & Nachlas (1993). Zunächst wird die gleichmäßige Lebensdauerverteilung verwendet, um die Zufallsvariable t, die Zeit bis zu einer Prozessverschiebung, zu beschreiben. Es wird angenommen, dass der Prozess zu einem beliebigen Zeitpunkt einer Verschiebung von dem In-Control-Wert des Prozessmittelwerts μ1 zu einem Out-of-Control-Wert μ2 unterliegt. Anschließend werden die Kosten für den Betrieb einer Standard-Shewhart-Regelkarte mithilfe von vier Kostenbegriffen definiert. Sie sind (1) Inspektionskosten; (2) Fehlalarmkosten; (3) Wahre Signalkosten; und (4) Kosten für die Herstellung zusätzlicher nicht konformer Artikel, wenn der Prozess außer Kontrolle gerät. Zusätzlich wird die erwartete Zykluslänge ermittelt. Dann werden die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit als Inspektionskosten zuzüglich des Verhältnisses der Summe der drei erwarteten Kosten zur erwarteten Zykluslänge konstruiert. Die Definition des entsprechenden Kostenmodells für die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte verläuft in ähnlicher Weise. Angenommen, wir planen, das Diagramm mit einem Satz von Kontrollgrenzwerten zu starten und die Grenzwerte so zu ändern, dass sie enger werden, nachdem der Prozess für einen bestimmten Zeitraum ausgeführt wurde. Speziell, Wir gehen davon aus, dass der Prozess alle h Stunden wiederholt wird und nach der m-ten Probe die Kontrollgrenzen geändert werden. Dies ist in Abbildung 1 dargestellt. Ziel ist es, die wirtschaftlichen Werte des Kostenparameters zu wählen, um die erwarteten Gesamtkosten zu minimieren. Das Kostenmodell ist so konstruiert, dass es die optimale Wahl der Umstellungszeit und der besten Werte für die anfänglichen und angepassten Kontrollgrenzen ermöglicht und daher die Empfindlichkeit der Regelkarte gegenüber kleinen, aber erwarteten Verschiebungen des Prozessdurchschnitts erhöhen kann, so dass die Karte in der Lage ist, eine spezielle Ursache schnell zu erkennen und den Prozess unter Kontrolle zu bringen. Das Kostenmodell wird auch verwendet, um einen Vergleich mit der herkömmlichen Implementierung der Shewhart-Regelkarte für die PMBOK®-Qualitätsmanagement-Ausbildung zu ermöglichen.

Modellentwicklung

Angenommen, ein Prozess wird mit einem Diagramm überwacht und der Prozess unterliegt einer Verschiebung von dem In-Control-Wert des Prozessmittelwerts μ1 zu einem Out-of-Control-Wert μ2 zu einem zufälligen Zeitpunkt. Angenommen, die Zeit bis zu einer Prozessverschiebung ist eine Zufallsvariable mit F(t) = t/θ, (0 << ∞). Sei N der Maximalwert von t , dann ist N = θ / h und angenommen, N ist eine ganze Zahl. Um die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit zu berechnen, werden die folgenden Kostenkategorien berücksichtigt:

1. Ci = Probenahme- und Inspektionskosten, Stückkosten pro Ereignis = c

2. Cf= Fehlalarmkosten, Stückkosten pro Ereignis = c

3. Ct = wahre Signal- und Prozesskorrekturkosten, Stückkosten pro Ereignis = c

4. Cd = Kosten für die Herstellung von minderwertigen Produkten, die außer Kontrolle geraten sind, Stückkosten pro Artikel = c

5. CT = Gesamtkosten pro Zeiteinheit

Die erwartete Gesamtkosten pro Zeiteinheit-Funktion wird dann definiert als:

Wobei E die erwartete Zykluslänge (Zeit bis zum Signal) ist. Die folgenden Notationen werden verwendet:

μ1 = In-Control-Wert des Prozessmittelwerts

μ2 = Out-of-Control-Wert des Prozessmittelwerts

σx = die bekannte und konstante Populationsstandardabweichung

UCL = obere Regelgrenze = μ1 + kσx/n1/22

LCL = untere Regelgrenze = μ1 – kσx/n1/2

Ux = obere Regelgrenze

Lx = untere Spezifikationsgrenze

p1 = Anteil nicht konform, wenn μ = μ1

p2 = Anteil nicht konform, wenn μ = μ2

p = p1 – p2

h = Zeit zwischen den Proben

r = produktionsrate in Einheiten/Stunde

n = Anzahl der pro Probe geprüften Artikel

m = Anzahl der Proben vor Änderung der Kontrollgrenzen

δ = Anzahl der Einheiten von σx von μ1 auf μ2

k1 = Anzahl σx /n1/2 von μ1 auf UCL vor dem Ändern der Probe

k2 = Anzahl σx/n1/2 von μ1 bis UCL nach Stichprobe mh

α = die Fehlerwahrscheinlichkeit vom Typ I

β = die Fehlerwahrscheinlichkeit vom Typ II

Die Entscheidungsvariablen sind n, h, m, k1 und k2. Die optimalen Werte für die Entscheidungsvariablen werden gewählt, um die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheitsfunktion zu minimieren.

(1) Inspektionskosten = Ci = {Fixkosten + (Stückkosten)(Anzahl inspiziert)} / {Zeit zwischen den Proben}, daher:

Beachten Sie, dass die Inspektionskosten sowohl für die Standard- als auch für die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte gleich sind.

(2) Fehlalarmkosten = Cf = (Stückkosten)(Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms) = cf P.

Sei A = „Fehlalarm“, A1 = „Fehlalarm bei Probe I“, A2 = „keine Prozessverschiebung vor Probe I“, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms konstruiert als:

Somit sind die Fehlalarmkosten:

Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms für die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte unterscheidet sich erheblich von der für die Standard-Regelkarte. Wir müssen t ≤ mh oder t > mh separat betrachten. So:

Daher:

(3) Wahre Signalkosten = Ct = (Stückkosten)(Wahrscheinlichkeit eines wahren Signals) = ctP.

Sei B = „wahres Signal“, B1= „Prozessverschiebung im Intervall j“, B2 = „kein Fehlalarm bei j-1-Abtastungen“, dann lautet der Ausdruck für P:

Somit haben die wahren Signalkosten die folgende Form:

Die Wahrscheinlichkeit eines wahren Signals für die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte ist definiert als:

Also:

(4) Kosten für die Herstellung fehlerhafter Artikel, wenn der Prozess außer Kontrolle gerät = Cd = (Stückkosten)(Produktionsrate)(Zunahme des Anteils nicht konform)(erwartete Zeit außer Kontrolle).

Die Zeitintervalle bei diesem Schritt können in Abbildung 2 überprüft werden.

Das E = E + E = E + E. Beachten Sie, dass der Teil des Intervalls vor der Prozessverschiebung als T = t – jh geschrieben werden kann:

Dann:

Schließlich:

Das E ist das gleiche für die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte, aber das E ist ein bisschen anders, da die Länge des Intervalls, in dem die Verschiebung auftritt, die Signalwahrscheinlichkeit beeinflusst. Also:

Daher:

(4) Lassen Sie E1 = „Fehlalarm bei Probe j und keine Prozessverschiebung vor Probe j“, E2 = „Prozessverschiebung während des Intervalls s, kein Fehlalarm vor Intervallen und wahres Signal bei Probe j (j-s + 1. nach Schicht).“ Dann ist der Ausdruck für die erwartete Zykluslänge:

Die erwartete Zykluslänge für die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte muss auch Unterschiede in den Signalereignissen vor und nach mh widerspiegeln. E(g) kann wie folgt geschrieben werden:

Daher:

Modellanalyse

In Bezug auf das zuvor entwickelte Kostenmodell sind die Kostenterme Funktionen der Entscheidungsvariablen, der Kostenparameter und des Verteilungsparameters. Zwei der Entscheidungswerte von m und n sind auf ganze Zahlen beschränkt, während k1 und k2 reelle Werte annehmen können. Da Montgomery (1980) angibt, dass eine Abtastfrequenz von einer Stunde für viele Regelkarten üblich ist, wird h = eine Zeiteinheit verwendet. Das Verhalten des Kostenmodells wird numerisch analysiert. GINO (Lasdon & Warren, 1985) wird verwendet, um das Verhalten des Kostenmodells über vernünftige Parametersätze zu untersuchen, und der Generalized Reduced Gradient (GRG) -Algorithmus wird verwendet, um zu versuchen, die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit zu minimieren Funktion für diese Parametersätze. Die ausgewerteten Parameterbereiche sind nachfolgend aufgeführt.

(1) θ ∈ (8, 200)

(2) δ = 0.522, die Größe der Verschiebung im Mittelwert, wenn eine Verschiebung auftritt. Dieser Wert wird gewählt, weil er einer Erhöhung des Anteils entspricht fehlerhaft von 0,01 auf 0,02.

(3) ci = 1,0; 5,0

(4) cd ∈ (1, 10)

(5) cf = 100

(6) r = 200, die Produktionsrate

(7) ct = 10

Die obigen Parameterbereiche definieren die Szenarien, unter denen die wirtschaftliche Leistung des Standards und der verallgemeinerten Shewhart-Regelkarte untersucht werden. Untersucht wird die numerische Analyse des Verhaltens der erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit-Funktion in Bezug auf die Entscheidungsvariablen für eine Familie der Parameterbereiche.

Die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit werden für alle Bereiche der anderen Parameter in k angegeben. Kleine Werte von k verursachen große erwartete Gesamtkosten, da eine übermäßige Anzahl von Fehlalarmen gegeben ist. Dies kann jede Kostenersparnis aufgrund der schnellen Schichterkennung dominieren. Zwischenwerte von k erzeugen die kleinsten erwarteten Gesamtkosten, da sie die Kosten einer fehlerhaften Produktion gegen die Fehlalarmkosten abwägen. Große Werte von k führen zu verringerten Verschiebungserkennungswahrscheinlichkeiten und damit zu immer größeren fehlerhaften Produktionskosten. Der Gesamteffekt besteht darin, dass die erwarteten Kosten auf ein Minimum sinken und dann mit steigendem k wieder steigen.

Die erwartete Gesamtkostenfunktion wird auch für alle Bereiche der anderen Parameter in n angegeben. Kleine Werte von n implizieren niedrige Probenahmekosten, aber hohe fehlerhafte Kosten, da Verschiebungen nicht schnell erkannt werden. Zwischenwerte von n gleichen die Stichprobenkosten mit den Kosten für fehlerhafte Produkte aus, um die niedrigsten erwarteten Gesamtkosten zu erzielen. Große Werte von n implizieren große Probenahmekosten, die die Einsparungen bei fehlerhaften Produktkosten dominieren können, die durch größere Erkennungswahrscheinlichkeiten erzielt werden. Diese Interpretationen variieren in Abhängigkeit von der relativen Bedeutung der einzelnen Kostenkategorien, aber der Gesamteffekt besteht darin, dass die erwartete Gesamtkostenfunktion in n konvex ist.

Die obigen Ergebnisse für n und k werden für die Standard-Shewhart-Regelkarten im Allgemeinen erwartet und für die generalisierten Shewhart-Regelkarten bestätigt. Die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte verfügt über Funktionen, die die Standard-Shewhart-Regelkarte nicht bietet. Die Eigenschaften, die sich aus diesen zusätzlichen Merkmalen ergeben, werden nun untersucht.

Das Modellverhalten in Bezug auf die Entscheidungsvariablen m, k1 und k2 ist durch drei Fälle gekennzeichnet. Die relativen Größen der Kostenparameter bestimmen jeweils, welches Verhalten beobachtet wird. Im ersten Fall zeigt die erwartete Gesamtkosten-pro-Zeiteinheit-Funktion CT konvexes Verhalten in jeder der Entscheidungsvariablen m, k1 und k2 und ein Minimum tritt im Inneren des konvexen Zeitbereichs auf. Dies bedeutet, dass die Mindestkostenregelkarte eine Form der verallgemeinerten Shewhart-Regelkarte ist. Im zweiten Fall ist CT immer noch konvex, hat aber ein Minimum, das einer Grenze von m = 0 und k2 = k1 entspricht, und nimmt in jeder dieser Variablen streng zu. Dies bedeutet, dass die Mindestkostenregelkarte eine Standard-Shewhart-Regelkarte ohne Änderungen der Kontrollgrenzen ist. Im dritten Fall nimmt CT sowohl in m als auch in k ab2 und hat ein Minimum an der Grenze k1 = k2 und m = ∞. Dies bedeutet, dass das Mindestkostenregeldiagramm ein Standard-Shewhart-Regeldiagramm ohne Änderungen der Kontrollgrenzen ist.

Fazit

Die oben dargestellte Analyse liefert einige interessante Punkte. Die erste davon ist, dass die Analyse der Betriebskosten für jede Art von Regelkarte sehr sorgfältig behandelt werden sollte, da die Kostenfunktion möglicherweise nicht immer die allgemein angenommene Regelmäßigkeit aufweist. Die Wahl der Kostenkoeffizienten, der Zeit der Schichtverteilung und der Verteilungsparameter haben einen direkten Einfluss auf die Leistung der erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheitsfunktion. Die wichtigen Ergebnisse der durchgeführten Analyse zeigen, dass das verallgemeinerte Shewhart-Diagramm für Mittelwerte wirtschaftlich attraktiv sein kann, wenn die Inspektionskosten, die wahren Signalkosten und die fehlerhaften Kosten zusammen die erwartete Zykluslänge und die Fehlalarmkosten ausgleichen. Wenn dies der Fall ist, wird die erwartete Gesamtkosten-pro-Zeiteinheit-Funktion mit einem inneren Minimum und einer Möglichkeit zur Optimierung der verallgemeinerten Shewhart-Regelkarte kombiniert. Wenn einer oder mehrere der Modellbegriffe die anderen dominieren, zeigen die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit dasselbe zunehmende oder abnehmende Verhalten wie der dominierende Faktor, und das in diesem Artikel untersuchte verallgemeinerte Kostenmodell ist unattraktiv.

Die zweite Schlussfolgerung ist, dass alle Modellparameter und Variablen für die erwarteten Gesamtkosten pro Zeiteinheit wichtig sind. Die Steuergrenzen k1 und k2 haben eine größere Wirkung als der Verteilungsparameter θ und k2 hat eine größere Wirkung als k1. Es ist auch wahr, dass die Stichprobengröße n und der Zeitpunkt der Änderung der Breite der Kontrollgrenzen m die Wirkung des Verteilungsparameters K1 und k2 verstärken.

Die endgültige Schlussfolgerung ist, dass es Regelkartenanwendungen gibt, für die das Kostenmodell nützlich ist. Werte der Produktionsprozessparameter, die häufiger anzutreffende Beziehungen anzeigen, führen dazu, dass die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte geringere Kosten aufweist als die entsprechende Standard-Shewhart-Regelkarte. Für den oben analysierten Beispielfall beträgt die optimale Ersparnis 0,22 USD pro produziertem Artikel. Da die angenommene Produktionsrate 200 / Stunde beträgt, beträgt die Ersparnis 44 USD pro Stunde. Diese Einsparung ist dramatisch und daher lohnt es sich, die verallgemeinerte Shewhart-Regelkarte zu verfolgen.