Nichtholonomisches System

Rollendes Radbearbeiten

Ein Rad (manchmal als Einrad oder rollende Münze dargestellt) ist ein nichtholonomisches System.

Laien-Erklärungbearbeiten

Betrachten Sie das Rad eines Fahrrads, das an einem bestimmten Ort (auf dem Boden) geparkt ist. Anfangs befindet sich das Aufblasventil an einer bestimmten Position am Rad. Wenn das Fahrrad herumgefahren und dann genau an derselben Stelle geparkt wird, befindet sich das Ventil mit ziemlicher Sicherheit nicht in derselben Position wie zuvor. Seine neue Position hängt vom eingeschlagenen Weg ab. Wenn das Rad holonomisch wäre, würde der Ventilschaft immer in der gleichen Position enden, solange das Rad immer an die gleiche Stelle auf der Erde zurückgerollt würde. Dies ist jedoch eindeutig nicht der Fall, so dass das System nicht holonomisch ist.

Mathematische Erklärungbearbeiten

Eine Person, die ein motorisiertes Einrad fährt. Der Konfigurationsraum des Einrads und der Radius r {\displaystyle r}

des Rades sind markiert. Die roten und blauen Linien lagen auf dem Boden.

Es ist möglich, das Rad mathematisch mit einem System von Einschränkungsgleichungen zu modellieren und dann zu beweisen, dass dieses System nichtholonomisch ist.

Zuerst definieren wir den Konfigurationsraum. Das Rad kann seinen Zustand auf drei Arten ändern: eine andere Drehung um seine Achse haben, einen anderen Lenkwinkel haben und sich an einem anderen Ort befinden. Wir können sagen, dass ϕ {\displaystyle \phi }

die Drehung um die Achse ist, θ {\displaystyle \theta }

der Lenkwinkel relativ zum x {\displaystyle x}

-Achse und x {\displaystyle x}

und y {\displaystyle y}

definieren die räumliche Position. Somit ist der Konfigurationsraum: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\beginnen{bmatrix}x&y&\theta &\phi \Ende{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

Wir müssen nun diese Variablen miteinander in Beziehung setzen. Wir bemerken, dass das Rad, wenn es seine Drehung ändert, seine Position ändert. Die Änderung der Drehung und Position, die Geschwindigkeiten impliziert, muss vorhanden sein, Wir versuchen, Winkelgeschwindigkeit und Lenkwinkel mit linearen Geschwindigkeiten in Beziehung zu setzen, indem wir einfache Zeitableitungen der entsprechenden Terme verwenden:

( x y ) = (r ϕ cos ⁡ θ r ϕ sin ⁡ θ ) {\displaystyle \links({\begin{array}{c}{\Punkt {x}}\\{\punkt {y}}\Ende{array}}\rechts)=\links({\begin{array}{c}r{\punkt {\phi }}\cos \theta \\r{\punkt {\phi }}\sin \theta \Ende{array}}\rechts)}

Die Geschwindigkeit im x {\ displaystyle x}

Richtung ist gleich der Winkelgeschwindigkeit. der Radius mal der Kosinus des Lenkwinkels, und die y{\displaystyle y}

Geschwindigkeit ist ähnlich. Jetzt führen wir einige algebraische Manipulationen durch, um die Gleichung in die Pfaffsche Form umzuwandeln, damit getestet werden kann, ob sie holonomisch ist. ( x − r ϕ cos ⁡ θ y − r ϕ sin ⁡ θ ) = 0 → {\displaystyle \links({\begin{array}{c}{\Punkt {x}}-r{\punkt {\phi }}\cos \theta \\{\punkt {y}}-r{\punkt {\phi }}\sin \theta \Ende{array}}\rechts)={\overrightarrow {0}}}

Trennen wir die Variablen von ihren Koeffizienten (linke Seite der Gleichung, abgeleitet von oben). Wir erkennen auch, dass wir alle Terme mit d t multiplizieren können {\displaystyle {\text{d}}t}

So haben wir am Ende nur die Differentiale (rechte Seite der Gleichung): ( 1 0 0 – r cos ⁡ θ 0 1 0 – r sin ⁡ θ ) ( xy θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ ) ( d x d y d θ d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r \sin \theta \Ende {array}}\rechts)\links({\begin{array} {c} {\ punkt {x}}\\{\punkt {y}}\\{\punkt {\theta }}\\{\punkt {\phi }} \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{ array}}\rechts)\links({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\rechts)}

Die rechte Seite der Gleichung ist nun in Pfaffscher Form:

∑ s = 1 n A r s d u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}

Wir verwenden nun den universellen Test für holonomische Einschränkungen. Wenn dieses System holonomisch wäre, müssten wir vielleicht bis zu acht Tests durchführen. Wir können jedoch mathematische Intuition verwenden, um unser Bestes zu geben, um zu beweisen, dass das System beim ersten Test nicht holonomisch ist. In Anbetracht der Testgleichung ist:

Ein γ – ( ∂ β ∂ u α − ∂ α ∂ u β ) + β ( ∂ α ∂ u γ − ∂ A γ ∂ u α ) + α ( ∂ A γ ∂ u β − ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

Wir können sehen, dass, wenn einer der Begriffe A α {\displaystyle A_{\alpha }}

, Ein β {\displaystyle A_{\beta }}

, oder A γ {\displaystyle A_{\gamma }}

Null wäre, dass dieser Teil der Testgleichung trivial zu lösen wäre und gleich Null wäre. Daher ist es oft am besten, wenn die erste Testgleichung so viele Terme ungleich Null wie möglich aufweist, um die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, dass die Summe von ihnen nicht Null ist. Deshalb wählen wir: Die α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

Die β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

Die γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d ϕ {\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }

Wir setzen in unsere Testgleichung ein:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

und vereinfachen:

r sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

Wir können leicht sehen, dass dieses System, wie beschrieben, nichtholonom ist, weil sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta }

ist nicht immer gleich Null.

Additional conclusionsEdit

Wir haben unseren Beweis abgeschlossen, dass das System nicht holonomisch ist, aber unsere Testgleichung gab uns einige Einblicke darüber, ob das System, wenn es weiter eingeschränkt wird, holonomisch sein könnte. Oft ergeben Testgleichungen ein Ergebnis wie − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

was bedeutet, dass das System niemals holonomisch sein könnte, ohne das System radikal zu verändern, aber in unserem Ergebnis können wir sehen, dass r sin ⁡ θ {\displaystyle r\sin \theta }

kann auf zwei verschiedene Arten gleich Null sein:

• r {\displaystyle r}
  

  , der Radius des Rades, kann Null sein. Dies ist nicht hilfreich, da das System alle Freiheitsgrade verlieren würde.

• sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta }
  

  kann Null sein, indem θ {\displaystyle \theta }

  

  gleich Null gesetzt wird. Dies impliziert, dass, wenn das Rad sich nicht drehen durfte und sich jederzeit nur in einer geraden Linie bewegen musste, es ein holonomisches System wäre.

Es gibt eine Sache, die wir jedoch noch nicht berücksichtigt haben, dass man, um alle diese Modifikationen für ein System zu finden, alle acht Testgleichungen (vier aus jeder Einschränkungsgleichung) durchführen und alle Fehler sammeln muss, um alle Anforderungen zu sammeln, um das System holonomisch zu machen, wenn möglich. In diesem System stellt sich aus den sieben zusätzlichen Testgleichungen ein zusätzlicher Fall vor:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

Dies stellt jedoch keine große Schwierigkeit dar, da die Gleichungen addiert und durch r dividiert werden {\displaystyle r}

ergibt: sin ⁡ θ − cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}

mit der Lösung θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} }

Beziehen Sie sich auf die obige Erklärung des Laien, wo es heißt: “ Neue Position hängt vom eingeschlagenen Weg ab. Wenn das Rad holonomisch wäre, würde der Ventilschaft immer in der gleichen Position enden, solange das Rad immer an die gleiche Stelle auf der Erde zurückgerollt würde. Dies ist jedoch eindeutig nicht der Fall, so dass das System nicht holonomisch ist.“ Es ist jedoch leicht vorstellbar, dass der Ventilschaft in derselben Position landen würde, wenn das Rad nur in einer perfekt geraden Linie und zurück rollen würde! Tatsächlich ist eine Bewegung parallel zum gegebenen Winkel von π {\displaystyle \pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

in der realen Welt eigentlich nicht notwendig, da die Ausrichtung des Koordinatensystems selbst willkürlich ist. Das System kann holonomisch werden, wenn sich das Rad nur in einer geraden Linie in einem festen Winkel relativ zu einer bestimmten Referenz bewegt. So haben wir nicht nur bewiesen, dass das ursprüngliche System nicht holonomisch ist, sondern wir konnten auch eine Einschränkung finden, die dem System hinzugefügt werden kann, um es holonomisch zu machen.

Rolling sphereEdit

Dieses Beispiel ist eine Erweiterung des oben betrachteten Problems ‚Rolling wheel‘.

Betrachten Sie einen dreidimensionalen orthogonalen kartesischen Koordinatenrahmen, z. B. eine ebene Tischplatte, auf der ein Punkt für den Ursprung markiert ist, und die x- und y-Achse, die mit Bleistiftlinien angeordnet sind. Nehmen Sie eine Kugel mit einem Radius, z. B. einen Tischtennisball, und markieren Sie einen Punkt B blau. Diesem Punkt entspricht ein Durchmesser der Kugel, und die Ebene, die orthogonal zu diesem Durchmesser im Zentrum C der Kugel positioniert ist, definiert einen großen Kreis, den Äquator, der dem Punkt B zugeordnet ist. Positionieren Sie die Kugel auf der z = 0-Ebene so, dass der Punkt B mit dem Ursprung übereinstimmt, C bei x = 0, y = 0, z = 1 und R bei x = 1, y = 0 und z = 1 liegt, d. h. R erstreckt sich in Richtung der positiven x-Achse. Dies ist die Anfangs- oder Referenzausrichtung der Kugel.

Die Kugel kann nun entlang einer beliebigen durchgehenden geschlossenen Bahn in der z= 0-Ebene, nicht notwendigerweise einer einfach verbundenen Bahn, so gerollt werden, dass sie weder verrutscht noch sich verdreht, so dass C zu x = 0, y = 0, z = 1 zurückkehrt. Im Allgemeinen fällt Punkt B nicht mehr mit dem Ursprung zusammen und Punkt R erstreckt sich nicht mehr entlang der positiven x-Achse. Tatsächlich kann durch Auswahl eines geeigneten Pfades die Kugel von der anfänglichen Orientierung zu jeder möglichen Orientierung der Kugel umorientiert werden, wobei C bei x = 0, y = 0, z = 1 liegt. Das System ist also nichtholonomisch. Die Anholonomie kann durch die doppelt eindeutige Quaternion (q und −q) dargestellt werden, die, wenn sie auf die Punkte angewendet wird, die die Kugel darstellen, die Punkte B und R zu ihren neuen Positionen trägt.

Foucault-Pendelbearbeiten

Ein weiteres Beispiel für ein nichtholonomisches System ist das Foucault-Pendel. Im lokalen Koordinatenrahmen schwingt das Pendel zu Beginn des Pfades in einer vertikalen Ebene mit einer bestimmten Ausrichtung in Bezug auf den geografischen Norden. Die implizite Flugbahn des Systems ist die Breitengradlinie auf der Erde, auf der sich das Pendel befindet. Obwohl das Pendel im Erdrahmen stationär ist, bewegt es sich in einem Rahmen, der sich auf die Sonne bezieht und synchron mit der Umlaufgeschwindigkeit der Erde rotiert, so dass die einzige scheinbare Bewegung der Pendelebene die ist, die durch die Rotation der Erde verursacht wird. Dieser letztere Rahmen wird als Trägheitsreferenzrahmen betrachtet, obwohl er auch auf subtilere Weise nicht träge ist. Der Erdrahmen ist bekanntermaßen nicht träge, Eine Tatsache, die durch das scheinbare Vorhandensein von Zentrifugalkräften und Corioliskräften wahrnehmbar wird.Die Bewegung entlang der Breitengradlinie wird durch den Lauf der Zeit parametrisiert, und die Schwingungsebene des Foucault-Pendels scheint sich im Laufe der Zeit um die lokale vertikale Achse zu drehen. Der Drehwinkel dieser Ebene zu einem Zeitpunkt t in Bezug auf die Anfangsorientierung ist die Anholonomie des Systems. Die Anholonomie, die durch einen vollständigen Breitenkreis induziert wird, ist proportional zum Raumwinkel, der von diesem Breitenkreis subtended wird. Der Pfad muss nicht auf Breitengradkreise beschränkt sein. Zum Beispiel könnte das Pendel in einem Flugzeug montiert werden. Die Anholonomie ist immer noch proportional zum Raumwinkel des Pfades, der jetzt ziemlich unregelmäßig sein kann. Das Foucault-Pendel ist ein physikalisches Beispiel für parallelen Transport.

Linear polarisiertes Licht in einer optischen Faserbearbeiten

Nehmen Sie eine Länge von optischen Fasern, sagen wir drei Meter, und legen Sie sie in einer absolut geraden Linie aus. Wenn ein vertikal polarisierter Strahl an einem Ende eingeführt wird, tritt er aus dem anderen Ende aus, noch in vertikaler Richtung polarisiert. Markieren Sie die Oberseite der Faser mit einem Streifen, der der Ausrichtung der vertikalen Polarisation entspricht.

Wickeln Sie die Faser nun fest um einen Zylinder mit einem Durchmesser von zehn Zentimetern. Der Faserverlauf beschreibt nun eine Helix, die wie der Kreis eine konstante Krümmung aufweist. Die Helix hat auch die interessante Eigenschaft, eine konstante Torsion zu haben. Als solches ist das Ergebnis eine allmähliche Drehung der Faser um die Faserachse, wenn die Fasermittellinie entlang der Helix fortschreitet. Entsprechend verdreht sich auch der Streifen um die Achse der Helix.Wenn linear polarisiertes Licht wieder an einem Ende eingeführt wird, wobei die Orientierung der Polarisation auf den Streifen ausgerichtet ist, tritt es im Allgemeinen als linear polarisiertes Licht aus, das nicht auf den Streifen ausgerichtet ist, sondern in einem festen Winkel zum Streifen, abhängig von der Länge der Faser und der Steigung und dem Radius der Helix. Dieses System ist auch nichtholonomisch, da wir die Faser leicht in einer zweiten Helix aufwickeln und die Enden ausrichten können, um das Licht an seinen Ursprungspunkt zurückzubringen. Die Anholonomie wird daher durch die Abweichung des Polarisationswinkels mit jeder Schaltung der Faser dargestellt. Durch geeignete Einstellung der Parameter ist klar, dass jeder mögliche Winkelzustand erzeugt werden kann.

Robotikbearbeiten

In der Robotik wurde nonholonomic insbesondere im Rahmen der Bewegungsplanung und der Feedback-Linearisierung für mobile Roboter untersucht.