Skin friction on a flapping plate in uniform flow

Einleitung

In den letzten Jahrzehnten gab es eine beträchtliche Anzahl von Studien zur Energetik des Schwimmens und insbesondere zu Mechanismen zur Reduzierung des Luftwiderstands (für eine relativ aktuelle Übersicht siehe ). Während sich viele Untersuchungen auf die Widerstandsreduktionsmechanismen von Wassertieren konzentrierten, schlugen Lighthill und andere vor, dass der Widerstand tatsächlich durch die Schwimmbewegung verstärkt werden könnte. Die von Lighthill vorgeschlagene Erklärung, die Diskussionen mit Bone zitiert, ist das, was manchmal als „Bone–Lighthill-Grenzschichtverdünnungshypothese“ bezeichnet wird, die besagt, dass eine Platte des Abschnitts s in einer externen Stromgeschwindigkeit U moving, die sich mit der Geschwindigkeit U perpend senkrecht zu sich selbst bewegt, eine Reibungsgrenzschichtdicke aufweist (auf der Seite, auf die sich der Abschnitt bewegt), so dass die Widerstandskraft der Platte pro Flächeneinheit beträgt τ≈µU∥/δL.Da die Formel zur Verbesserung des Widerstands mit einfachen gleichmäßigen Bewegungen des Körpers in der Flüssigkeit verbunden ist, kann sie eher für flatternde Bewegungen als für fischartiges Schwimmen gelten . Frei flatternde Flügel oder eintauchende Tragflächen wurden beispielsweise in Betracht gezogen , um nur einige Studien zu nennen. Im , Ein rechteckiger Flügel, der sinusförmig flattert, wurde analysiert und der beobachtete Symmetrieverlust des durch die Seitenkanten induzierten Nachlaufs wurde mit dem unidirektionalen Flug in Verbindung gebracht. Kohärente Bewegungen als durch Flattern induzierte Anziehungszustände sind auch numerisch wiedergegeben worden . Der Nachlauf einer Quetschfolie in einer ruhigen Umgebung wurde in analysiert , und die experimentelle sowie rechnerische Untersuchung von eintauchenden Tragflächen, die einer gleichmäßigen Strömung ausgesetzt sind, wird beispielsweise in berichtet .

Die Hautreibung entlang länglicher Körper in schwimmähnlicher Bewegung hat jedoch aufgrund der Schwierigkeit, diese Größe zu messen, weniger Beachtung gefunden. Die von Lighthill vorgebrachte Hypothese der Widerstandsverbesserung steht im Widerspruch zu den vorgeschlagenen Mechanismen der Widerstandsreduzierung . Diese Diskrepanz wird manchmal der Tatsache zugeschrieben, dass der Luftwiderstand schlecht definiert ist, da es schwierig ist, Schub und Luftwiderstand zu trennen, die sich im Durchschnitt ausgleichen, wenn ein Tier mit konstanter mittlerer Geschwindigkeit schwimmt . Während der Druckwiderstand schwierig zu definieren ist, da der Schub auch aus Druckkräften entsteht, besteht jedoch kein Zweifel an der Definition des Hautreibungswiderstands. Sorgfältige Messungen der Grenzschichtgeschwindigkeitsprofile an schwimmenden Fischen bestätigten, dass der Hautreibungswiderstand für Dornhai um Faktoren von bis zu drei bis fünf erhöht werden konnte. Die Verbesserung der Hautreibung wurde auch in numerischen Simulationen berichtet , mit jedoch kleineren Faktoren.

Ein wichtiger Punkt der Bone-Lighthill-Hypothese ist, dass der verbesserte Widerstand proportional zu ist. Es ist bemerkenswert, dass die gleiche Skalierung von Taylor erhalten wurde, als er den Längswiderstand eines Gierzylinders bei gleichmäßiger Strömung semi-empirisch analysierte. Im , Das Gierzylinderproblem wurde neu behoben, Anwendung der Grenzschichttheorie und Ableitung eines Luftwiderstandsbeiwerts. Die Platte mit endlicher Spannweite ist ein Grenzfall dieses Modellproblems und die Skalierung der Grenzschichtverdünnungshypothese wird abgerufen. Diese Erhöhung der Hautreibung kann als Ergebnis der Beschleunigung der Fluidpartikel verstanden werden, und in einem zweidimensionalen Modell wurde ein Problem vorgeschlagen, das diesen Effekt berücksichtigt, indem die Strömung zwischen der unteren beweglichen Platte und einer freien oberen Grenze in der Höhe s / 2 begrenzt wird. Der Faktor 0.6 in der von Lighthill vorgeschlagenen Reibungsgrenzschichtdicke δL wird in diesem Modell abgerufen und durch zweidimensionale numerische Simulationen des Navier-Stokes–Systems bestätigt.

Eine vollständige dreidimensionale Simulation, in Ermangelung zuverlässiger Hautreibungsmessungen entlang einer sich bewegenden Platte, bleibt notwendig, um die theoretische Vorhersage der Widerstandserhöhung zu bestätigen. Hier wird eine bewegliche rechteckige Platte mit verschwindender Dicke, also ohne Formwiderstand, in eine gleichmäßige Strömung eingetaucht. In den meisten theoretischen Untersuchungen zum Schwimmen oder Fliegen werden die Widerstandskräfte in Druckwiderstand und viskosen Widerstand zerlegt, wie zum Beispiel in einer kürzlich erschienenen Arbeit über das optimale Design für wellenförmiges Schwimmen . Diese Zersetzung rechtfertigt es, die Hautreibung als eine Komponente des Gesamtwiderstands separat zu analysieren. Das numerische Lösungsverfahren muss in der Lage sein, die Kanten der Platte, die Singularitäten für das Strömungsfeld sind, zu handhaben, und das numerische Verfahren muss ausreichend genau sein, um zuverlässige Hautreibungswerte zu liefern. Dies wird durch die Verwendung eines Multi-Domain-Ansatzes zusammen mit einer kompakten Finite-Differenzen-Diskretisierung hoher Ordnung erreicht, und in dieser Arbeit wurden vollständige dreidimensionale Simulationen für verschiedene gleichmäßige Plattengeschwindigkeiten durchgeführt.

In §2 dieses Papiers wird das dreidimensionale Grenzschichtmodell für die bewegte Platte, das zuvor in angesprochen wurde , zusammengefasst. Das dreidimensionale numerische Lösungsverfahren ist in §3 erläutert und für die feste Plattengrenzschicht validiert. Die Simulationsergebnisse für die Strömung um die bewegliche Platte sind in §4 angegeben. Die Vorhersagen für verschiedene Plattengeschwindigkeiten werden in § 5 analysiert, wobei die Frage einer Hautreibungsformel und eine periodische Plattengeschwindigkeit berücksichtigt werden. Einige Schlussfolgerungen werden in §6 gezogen.

Dreidimensionales Grenzschichtmodell

Es wird eine Platte mit einer Spanne s in einer gleichmäßigen Anströmung U∥ betrachtet, die sich mit normaler Geschwindigkeit U⊥ bewegt, wobei die Konfiguration in Abbildung 1 skizziert ist. Die theoretische Vorhersage des Längswiderstands, die in bereitgestellt wird, wird für einen gierten elliptischen Zylinder in einer gleichmäßigen Strömung erhalten, die in Abbildung 2 dargestellt ist, wobei das Plattenproblem ein Grenzfall für ein unendliches Aspektverhältnis des elliptischen Querschnitts in der (y, z) -Ebene ist. Im Folgenden fassen wir die Ergebnisse kurz zusammen . Der gleichmäßige Fluss wird in seine tangentialen und normalen Komponenten U decom bzw. U⊥ zerlegt, wie in Abbildung 2 dargestellt. Das Problem wird als unabhängig von der Tangentialrichtung angesehen und die x-Komponente des Potentialflusses ist einfach U∥. In Normalenrichtung wird die Potentialströmung Qe um den Zylinder mit elliptischem Querschnitt durch konforme Abbildungstechniken gelöst. Um das innere Problem der Grenzschicht um die elliptische Grenze in der (y, z) -Ebene zu lösen, werden Koordinaten ξ-η verwendet, die an die Oberfläche angehängt sind (Abbildung 2). Die Grenzschichtgleichungen werden in den Koordinaten (ξ, η,x) geschrieben, was ergibt

In ist eine typische Länge l so definiert, dass nl gleich dem Umfang der Ellipse ist (und daher nl=2s, wenn die Ellipse in den Querschnitt der Platte degeneriert). Das Problem wird dimensionslos gemacht, wenn man l in der Richtung ξ betrachtet, die tangential zur Grenze der Ellipse ist, und eine bequeme Grenzschichtlängenskala wird in der normalen Richtung η betrachtet (siehe allgemeine Grenzschichtmodellierung), wobei die Reynolds-Zahl Re⊥=U⊥l/ν ist. Dementsprechend sind die Referenzgeschwindigkeiten U⊥ und in ξ- bzw. η-Richtung. Die skalierten Gleichungen, die (2.1) und (2.2) entsprechen, werden unter Verwendung der Näherungslösung der Impulsgleichungen gelöst. Beachten Sie, dass das sich entwickelnde Grenzschichtprofil u2 nur so weit bestimmt werden kann, wie die Strömung angebracht ist: daher gibt es für jedes Seitenverhältnis b/a, als Grenzfall des Plattenabschnitts parallel zur z-Achse einen in Abbildung 2b markierten Grenzwinkel θs, bei dem sich die Strömung trennt. Diese Grenzschichtanalyse, die ux und ux löst, liefert einen Längswiderstandsbeiwert C und die Längswiderstandskraft pro Längeneinheit ist gegeben durch

Es wird gezeigt, dass C≈1.8 für den gesamten Bereich der Seitenverhältnisse des elliptischen Zylinders ist. Für die bevorstehende numerische Analyse ist es zweckmäßig, U∥ als Referenzgeschwindigkeit und die Spannweite der Platte s als Längenskala zu verwenden. Definieren der Reynolds-Zahl

und bei l=2s/π ist die theoretische Vorhersage für den Reibungswiderstand pro Längeneinheit der Platte

U*⊥=U⊥/U∥ ist die dimensionslose normale Plattengeschwindigkeit. Beachten Sie, dass diese Formel fehlschlägt, wenn, wobei stattdessen die klassische Reibungswiderstandsformel für eine bewegungslose Platte in gleichmäßiger Strömung U∥ verwendet werden muss . Formel (2.6) ist daher nur für Wandgeschwindigkeiten oberhalb einer unteren Grenze relevant, die wahrscheinlich vom Verhältnis zwischen der Spannweite s der Platte und der Länge L abhängt.

Dreidimensionales numerisches Simulationsverfahren

Um die Zuverlässigkeit der in §2 skizzierten theoretischen Vorhersagen zu beurteilen, wird das vollständige dreidimensionale Problem numerisch für einen Berechnungsbereich gelöst, der die Platte mit verschwindender Dicke enthält. Dieses numerische Problem ist angesichts der Singularitäten, die mit den Vorder- und Hinterkanten sowie den lateralen Grenzen der Platte verbunden sind, besonders herausfordernd. Außerdem muss das Verfahren ausreichend genau sein, um zuverlässige Hautreibungsergebnisse entlang der Platte zu liefern. Für die Lösung des Navier-Stokes–Systems wurde ein Multi-Domain-Ansatz verwendet (im Folgenden werden die dimensionslosen Variablen ohne Sternchen geschrieben)

und

Die Partition ist so ausgelegt, dass die Kanten der Platte zusammenfallen mit Konturlinien von Schnittstellen zwischen Subdomains (Skizze in Abbildung 3). Die Reynoldszahl Re=U∥d/ν wird mit der einströmenden gleichförmigen Strömungsgeschwindigkeit U∥ und einer später zu spezifizierenden typischen Längenskala d der rechteckigen Platte gebildet. Die Hauptaspekte des Lösungsverfahrens werden im Folgenden zusammengefasst. Es wird eine semi-implizite Rückwärts-Euler-Zeitintegration zweiter Ordnung verwendet, wobei die nichtlinearen Terme durch ein Adams–Bashforth-Schema ausgewertet werden. Es wird ein Projektionsverfahren in Betracht gezogen, dh ein Verfahren mit gebrochenen Schritten, bei dem in jedem Zeitschritt tn = nΔt ein Zwischendruck- und Geschwindigkeitsfeld gelöst wird, gefolgt von einer Druckkorrektur, um die Inkompressibilität sicherzustellen, bekannt als das Kim–Moin-Schema (siehe und für eine Überprüfung der Projektionsmethoden ). Daher muss in jedem Zeitschritt eine Reihe von Helmholtz-Problemen

für die Geschwindigkeitskomponenten mit σ=3 Re/(2Δt) und den Druck (mit σ=0) gelöst werden. Die Domain Ω=∪Ωk ist in Subdomains Ωk mit Schnittstellen Γij=Ωi∩Ωj partitioniert (siehe Skizze in Abbildung 3) und die Helmholtz-Probleme in jeder Subdomain sind

wobei g entweder eine auferlegte Randbedingung auf der Außenseite der gesamten Berechnungsdomäne oder eine kinematische Bedingung auf der Platte im Inneren ist, abhängig von der betrachteten spezifischen Unterdomäne. Für die Diskretisierung in den drei Raumvariablen (x, y, z) werden kompakte Finite-Differenzen-Schemata höherer Ordnung berücksichtigt. Die Schemata werden für ungleichmäßige Maschen abgeleitet : insbesondere ist, wie in gezeigt, für das hier betrachtete Schema achter Ordnung eine Clusterung der grenznahen Punkte geeignet, um Schwingungen zu vermeiden und die ein Grenzschließschema gleicher Ordnung wie das Innere ermöglicht. In einem Vorverarbeitungsschritt werden die zweiten Ableitungsoperatoren in jeder Richtung diagonalisiert, was zu einem schnellen direkten Löser der Helmholtz-Probleme in jeder Subdomäne während des Zeitschrittverfahrens führt. Continuity of the solution as well as of its normal derivative is required at the domain interfaces Γij and fieldsare introduced such that

In diesem System ist die rechte Seite der Gleichung (3.7), die die expliziten Terme für die Zeitdiskretisierung enthält, zeitabhängig; und in jedem Zeitschritt muss der Grenzwert λ an den Grenzflächen berechnet werden, um die Kontinuität der normalen Ableitungen (3.9) zu erfüllen. Die algebraische Formulierung dieses Problems führt zu einem linearen System, dessen Lösung die Randbedingung zwischen benachbarten Domänen bereitstellt. Dieses System beinhaltet die Schur-Komplementmatrix, auch Einflussmatrix genannt, und ihre interne Blockstruktur wird konsistent mit der Subdomain-Partition in einer Vorverarbeitungsstufe bestimmt. Mit dem Cluster IBM x3750 des französischen Rechenzentrums IDRIS wurde ein paralleler MPI-Algorithmus entwickelt, der jeder Subdomain einen Prozess zuordnet. Das Schur-Komplementsystem wird iterativ unter Verwendung der Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computing (PETSc) Computational Environment und insbesondere des Krylov Subspace Package (KSP) unter Verwendung hierarchischer GMRES-Optionen und Block-Jocobi-Vorkonditionierung gelöst . In jeder Subdomain Ωk wurde ein 30 × 30 × 30-Mesh verwendet, und der Algorithmus skaliert nachweislich nahezu linear mit der Anzahl (bis zu 120) der betrachteten Domains.

(a) Grenzschichtvalidierung der flachen Platte

Bevor die Strömung entlang der beweglichen Platte adressiert wird, muss die stetige Grenzschicht entlang der Platte mit endlichen Kanten berechnet werden, die anschließend als Anfangsbedingung verwendet wird, wenn die Platte in Bewegung gesetzt wird. Die Kanten der Platte mit einer verschwindenden Dicke bei y = 0 (siehe Skizze in Abbildung 1) sind Singularitäten, wenn die Platte mit einer einströmenden gleichmäßigen Strömung in Kontakt steht. Diese Schwierigkeit wird durch die Konstruktion mit dem Multi-Domain-Ansatz überwunden, wobei die Kanten Grenzlinien zwischen benachbarten Domänen sind und daher die singulären Werte nicht explizit in den Berechnungen erscheinen. Es wurde eine rechnerische kartesische Domäne

betrachtet, wobei die rechteckige Platte mit der Länge L=36 und der Spannweite s=6 in der y = 0-Ebene mit der Vorderkante bei xl= 6 und zentriert bei z= 0 liegt. Eine gleichmäßige Strömung (1,0,0) (die gleichmäßige Strömung U∥ bei Zufluss ist die Referenzgeschwindigkeit) bei x = 0 wird berücksichtigt und eine Advektionsabflussbedingung wird bei x = 60 verwendet. Die wandnormale bzw. Spannweite Komponente der Strömungsgeschwindigkeit v bzw. w soll bei y=±8 weit von der Platte verschwinden, während für die strömungstechnische Komponente u eine fernfeldseitige Randbedingung vorgegeben ist. Eine Reynoldszahl Re = 200 wurde in Betracht gezogen, d. h. Res = 1200, wenn sie auf der Spannweite s der Platte basiert. Die verwendete Multidomänen-Partition enthält 120 Subdomänen, wobei (ndx, ndy, ndz)=(10,4,3) die Anzahl der Domänen in den drei Richtungen beträgt, d.h. die Platte erstreckt sich über sechs Domänen in x und eine Domäne in z. Ausgehend von der gleichmäßigen Strömung beim Zufluss wurden die Berechnungen zeitlich mit einem Zeitschritt Δt= 0,005 vorangetrieben und bei t=90 wurde ein quasi-stetiges Strömungsfeld erreicht. Alle Variablen sind jetzt dimensionslos und die Verschiebungsdickeist eine bequeme Längenskala für die Grenzschicht entlang einer flachen Platte. Abbildung 4a zeigt die Verschiebungsdicke an verschiedenen Spannweiten. Der Wert variiert nicht signifikant entlang der Spannweite, abgesehen von dem randnahen Bereich. Die Verschiebungsdicke wächst monoton, wie von der Theorie erwartet, außer im Bereich nahe der Hinterkante der Platte (mit verschwindender Dicke) bei xt = 42, wo das Strömungsfeld ein singuläres Verhalten aufweist. Beachten Sie, dass der Maximalwert δ(x)≈0 ist.6, die eine maximale Reynoldszahl bezogen auf die Verschiebungsdicke von Reδ≈120 ergibt, d.h. die Grenzschicht ist gegenüber infinitesimalen Störungen stabil (die kritische Reynoldszahl bezogen auf δ beträgt ≈520). Beachten Sie auch, dass die Fernfeldgrenze(mit) ausreichend weit von der Grenzschichtkante entfernt ist, wobei der Abstand, für den das Grenzschichtprofil 99% des gleichmäßigen Flusses zurückgewinnt, ≈ 3 jahre.

Die dimensionslose Reibungswiderstandskraft pro Oberflächeneinheit, die Hautreibung, wird berechnet als

τ ist die Scherspannung an der Wand und cf =0.57 / Reδ(x) für die Blasius-Grenzschicht entlang einer spannenweise unendlichen flachen Platte, wenn sie mit der Verschiebungsdicke dimensionslos gemacht wird. Diese klassische Grenzschichtformel gilt für die drucklose Gradientenströmung, solange die Strömung anhaftet. Komplexere Asymptotika, wie die dreistöckige Struktur des Strömungsfeldes , müssen verwendet werden, um das Verhalten in der Nähe einzelner Punkte wie Vorder- und Hinterkanten zu beschreiben. In dieser Untersuchung konzentrieren wir uns auf die Strömung entlang der Platte und nur die klassische Theorie wird für den Vergleich mit der numerischen Navier–Stokes-Lösung betrachtet. Abbildung 4b zeigt den berechneten cf-Wert für den Strömungszustand in der Mitte der Platte, der erwartungsgemäß ein singuläres Verhalten an der Vorderkante xl=6 und der Hinterkante xt=42 aufweist. Entlang der Platte liegt die Hautreibung nahe dem theoretischen Blasius-Wert, der als gestrichelte Linie dargestellt ist. Die Singularitäten der Platte induzieren keine signifikanten Schwingungen des Wand-Normal-Geschwindigkeitsgradienten, und für diesen Testfall einer rechteckigen flachen Platte liefert das Simulationsverfahren zuverlässige Hautreibungswerte.

Strömung über die bewegliche Platte

Sobald die stetige Strömung hergestellt ist, wird die Platte in Bewegung gesetzt, wobei die dimensionslose und konstante Plattengeschwindigkeit U⊥ von nun an ohne Sternchen geschrieben wird. Die Platte befindet sich anfänglich in der Ebene y=0 und ihre räumlich gleichmäßige Verschiebung beträgt ϕ(t)=U⊥t. Eine Abbildung

mitder rechnerisch festen Normalkoordinate wird betrachtet. Im Navier-Stokes-System (3.1) muss die Zeitableitung entsprechend transformiert werden und auf der Platte gilt die kinematische Bedingung, also

Bei diesem Verfahren und gemäß der Abbildung bleibt die Fernfeldgrenze, an der die Strömung gleichmäßig wird, während der gesamten Zeitintegration in einem konstanten Abstand von der Platte. Für die Diskretisierung wurden im Multi-Domain-Verfahren 120 Subdomains mit dem gleichen 30×30×30 Mesh pro Subdomain berücksichtigt wie für die in §3 beschriebene Grenzschichtberechnung. Die Platte mit der Dicke Null, der Länge L=36 und der Spannweite s=6 bildet ein Rechteck 6≤x≤42, -3≤z≤3 in der

Ebene innerhalb der gesamten Berechnungsdomäne Ω=××.

Die Reynolds-Zahl ist Re = 200 oder äquivalent Res = 1200, wenn sie auf der Spannweite der Platte basiert. Das System wurde zeitlich (mit einem Zeitschritt Δt=0,005) für verschiedene Plattengeschwindigkeiten U⊥ integriert, beginnend mit der Strömungsgeschwindigkeit für die feststehende Platte als Anfangsbedingung. Die momentane Strömungsstruktur um die Platte bei t = 40 ist in Abbildung 5 für U illustrated = 0,1, 0,2, 0 dargestellt.3 ist der z=0-Schnitt des Strömungsgeschwindigkeitsfeldes u in der Nähe der Platte (mit einer Dicke von null, aber als dünne schwarze Linie sichtbar gemacht) gezeigt. Für die kleineren Geschwindigkeiten U⊥=0,1,0,2 ist die Wirkung der Bewegung nur in der Nähe der Vorderkante und stromabwärts der Hinterkante sichtbar, wobei der Grenzschichtaufbau qualitativ ähnlich ist wie bei einer bewegungslosen Platte, wobei die strömungstechnische Geschwindigkeitskomponente in geringem Abstand von der Plattengrenze ihren einheitlichen Wert u=1 zurückgewinnt. Für die höhere Geschwindigkeit U⊥=0.3 zeigt die Strömung jedoch an der Anströmkante eine Trennung, die zur Ausbildung eines umgekehrten Strömungsbereiches an der Unterseite führt, wobei sich die Platte in einer Aufwärtsbewegung befindet. Das stromweise Wirbelfeld wx=∂w /∂y-∂v /∂z ist in Abbildung 6 dargestellt, wobei ein Schnitt bei x = L / 3 von der Vorderkante in der (z, y) -Ebene dargestellt ist. An den seitlichen Rändern der Platte bilden sich infolge ihrer Aufwärtsbewegung zwei gegenüberliegende gegenläufige Wirbelstrukturen aus. Die Intensität der Wirbel nimmt mit U⊥ zu. Für U⊥=0.3 einige unvollkommene Anpassung, die Wirbel mit den Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes, ist an Linien sichtbar, entsprechend Subdomaingrenzen, normal zu den Kanten der Platte. Dies ist auf die Fehlertoleranz des iterativen Verfahrens zurückzuführen, das zur Lösung des Schur-Komplementmatrixsystems in diesem numerischen Problem verwendet wird.

Beginnend mit der Grenzschichtströmung entlang der festen Platte und der Einstellung der Platte in Bewegung durchläuft die Strömungsstruktur ein transientes Regime und eine entscheidende Frage ist, ob sie während der Zeitintegration in einen quasi stationären Zustand konvergiert. Die dimensionslose Reibungskraft pro Flächeneinheit

an der Unter− und Oberseite der Platte, also bei y=0- bzw. y=0+ für U⊥=0.1 bei x=L/3 und zu unterschiedlichen Zeiten t=20,30,40 ist in Abbildung 7 dargestellt. Es ist ersichtlich, dass die Strömung bei t = 40 für diese kleine Plattengeschwindigkeit als quasi stationär angesehen werden kann. Beachten Sie, dass die Seitenkanten bei z = ± 3 Singularitäten für das Strömungsfeld sind und die Hautreibung außer in der Nähe der Plattenkanten aufgetragen ist. Die Hautreibung für die bewegungslose Platte ist ebenfalls als gepunktete Linie dargestellt, die natürlich entlang der Platte bis auf den Randbereich konstant ist. Bereits bei dieser geringen Plattengeschwindigkeit zeigt sich die viskose Reibungsverstärkung deutlich. Die Hautreibung für eine höhere Geschwindigkeit U⊥=0.3 ist in Abbildung 8 dargestellt. Während nun an der Oberseite, auf die sich die Platte zubewegt, der Reibwert ein Konvergenzverhalten zeigt, bleibt an der Unterseite die Strömung instationär. Wie in Abbildung 5 gezeigt, zeigt die Strömung bei U⊥ = 0,3 eine relativ starke Trennung an der Vorderkante, was im Allgemeinen gleichbedeutend mit einem instationären Verhalten ist. Auch an der Unterseite weist die Hautreibung zwei bezüglich z=0 symmetrische Peaks auf, die für die höhere Wandgeschwindigkeit ausgeprägter sind. Es ist wahrscheinlich, dass dieser lokale Anstieg des Reibungswiderstands mit dem Vorhandensein der Randwirbelstrukturen an der Unterseite verbunden ist, die durch die Aufwärtsbewegung induziert werden und in Abbildung 6 gezeigt sind.

Hautreibungsformel für die bewegliche Platte

Den Längsreibungswiderstand (2.6) mit der Spanne s dimensionslos zu machen ergibt

Die dimensionslose Plattengeschwindigkeit wird geschrieben, ohne Sternchen und die Integration ist entlang der oberen und unteren Seite der Spanne zu nehmen, wobei die Kanten der Platte weggelassen werden, die singuläre Punkte in der numerischen Integrationsformel sind (eine einfache Trapezregel wurde verwendet). Ob ein viskoser Luftwiderstandsbeiwert definiert werden kann, hängt eng mit der Existenz eines quasi-stationären Zustands zusammen. Aufgrund der starken Trennung der Strömung an der Vorderkante und an den Seitenkanten ist es jedoch wahrscheinlich, dass lokale Merkmale der Strömung bei höheren Plattengeschwindigkeiten instabil sind, wie im vorherigen Abschnitt gezeigt. Die hier betrachtete höchste Plattengeschwindigkeit ist U⊥=0,4 und die spanweise integrierte Hautreibung Cf wurde bis t=80 berechnet. Das Ergebnis ist in Abbildung 9 für t = 40,60,80 dargestellt. Während in der Nähe der Vorderkante das Verhalten sehr instabil ist, wird eine quasi-stetige Entwicklung für diese Größe stromabwärts gesehen. Dies gibt eine gewisse Sicherheit, dass die viskose Reibung für verschiedene Plattengeschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt verglichen werden kann, nachdem das anfängliche Einschwingverhalten verschwunden ist. Die Ergebnisse für U⊥ = 0,1, 0,2,0,3,0,4 bei t=40 sind in Abbildung 10 dargestellt. Erwartungsgemäß wird im Bereich nahe der Vorderkante kein konsistentes Verhalten der Cf-Werte beobachtet, stromabwärts sind die Kurven jedoch nicht weit voneinander entfernt. In Abbildung 11 wird die Menge

ab x=15 angezeigt, dh ein Viertel der Plattenlänge wird in der Nähe der Vorderkante verworfen. Während diese Größe mit x variiert, wird eine Clusterung der Kurven beobachtet, abgesehen davon für die niedrigste Wandgeschwindigkeit U⊥ = 0,1, bei einem Wert um C3D≈1,8. Dieser Wert ist höher als der theoretische Koeffizient C3D = 1,4 (siehe §2), was nicht verwunderlich ist, da der Reibungswiderstandsbeitrag über die Trennlinie (die Seitenkanten der Platte) hinaus im theoretischen Modell nicht berücksichtigt wird. Bei der Ableitung der Reibungswiderstandsformel wird auch die Grenzschichtstruktur in spannweiser Richtung berücksichtigt, wobei eine stromweise Invarianz der Strömung angenommen wird und genau zurSkalierung führt (siehe §2 und die detaillierte Analyse in ). Diese Skalierung wird natürlich durch die stromweise Grenzschichtentwicklung modifiziert, was zu der beobachteten stromweisen Abhängigkeit von C3D führt. Auch bei niedrigen Wandgeschwindigkeiten ist es fragwürdiger, sich hauptsächlich auf die spanweise Grenzschichtstruktur zu konzentrieren, die erklärt, dass das Ergebnis bei U⊥ = 0 .1 liegt in Abbildung 11 etwas auseinander.

(a) Periodische Plattengeschwindigkeit

Die Wandbewegung bei jedem Schwimmverhalten ist periodisch und es wird gezeigt, dass die normale Körpergeschwindigkeit für eine große Anzahl von Fischen und Walen typischerweise von 0,1U∥ bis 0,3U∥ von Kopf bis Schwanz variiert. In diesem Modell wird keine explizite räumliche Welligkeit der Platte berücksichtigt, aber um eine periodische Bewegung zu adressieren, wurde die Wandgeschwindigkeit

mit A =0,3 und ω=0,06 berücksichtigt. Die maximale Wandgeschwindigkeit beträgt 0.3 und die Verschiebung ϕ (t) der Platte variiert zwischen ± A / ω = ± 5, was eine ziemlich große Amplitude ist (im Vergleich zur Plattenlänge L = 36), zumindest im Hinblick auf typische wellenförmige Schwimmamplituden. Es wäre natürlich gefährlich, aus einer räumlich gleichmäßigen zeitperiodischen Bewegung der Platte die Ergebnisse abzuleiten, die man für eine realistische wellenförmige Bewegung erhalten würde. Dieses Modellproblem wird jedoch wahrscheinlich als eine Art Extremfall in Bezug auf die normale Plattengeschwindigkeit und die Bewegungsamplitude betrachtet. Das Fließverhalten wurde über zwei Zeiträume 2 T mit T≈105 berechnet, und der spannenweise integrierte Reibungswert Cf ist in Abbildung 12 an zwei Positionen (x = L/3, L/2) der Platte dargestellt. Es wird gesehen, dass diese Größe die Periodizität der Bewegung der Platte erbt, und wie erwartet beträgt der Abstand zwischen zwei Peaks oder äquivalent zwischen zwei Tälern der Kurven nach einem transienten Anfangszeitintervall T / 2≈52.

Die zeitgemittelte Hautreibung ist in Abbildung 13 dargestellt und mit dem spanweisen Reibungswiderstand für die bewegungslose Platte verglichen. Die Integration dieser Kurven in den Bereich 12≤x≤36, d.h. das Verwerfen der Abschnitte der Platte nahe der Vorder- und Hinterkante, liefert Schleppwerte von 0,34 und 0,58 für die bewegungslose Platte bzw. die sich bewegende Platte, d.h. eine Schleppzunahme von 70% für die Platte mit der periodischen Normalgeschwindigkeit. Die gepunktete Linie in Abbildung 13 zeigt die Hautreibung, die man mit Formel (5.1) (für C3D=1.8) erhalten würde, also , wenn man den mittleren Absolutwert der Geschwindigkeit 〈| U⊥|〉=2A/π=0,191 betrachtet. Dieser Cf-Wert liegt überraschend nahe am berechneten mittleren Reibungsergebnis, über zwei Drittel der Plattenlänge.

Schlussfolgerung

Im , Die theoretische Vorhersage der sogenannten „Knochen-Lighthill–Grenzschichtverdünnungshypothese“ wurde durch die Untersuchung eines Grenzschichtmodells entlang einer sich mit normaler Geschwindigkeit bewegenden Platte gestärkt und als Grenzfall einer Gierzylinderkonfiguration betrachtet. Die dreidimensionalen numerischen Simulationen dieses Papiers verstärken die theoretische Vorhersage. Diese Simulationen bleiben ein anspruchsvolles Problem und sind besonders zeitaufwendig, und es wurde nur eine Plattenkonfiguration mit einem Längen-Spannweiten–Verhältnis L / s = 6 unter Verwendung eines Multidomänen-Navier-Stokes-Lösers bei einer relativ kleinen Reynoldszahl Res = 1200 basierend auf der eingehenden gleichförmigen Geschwindigkeit U considered und der Spanne s in Betracht gezogen. Die Längswiderstandsformel (pro Längeneinheit)

wird zumindest für Wandnormalgeschwindigkeiten U clearly oberhalb einer unteren Grenze durch die numerischen Simulationsergebnisse deutlich verstärkt, wobei jedoch ein Luftwiderstandsbeiwert C3D entlang der Stromrichtung der Platte geringfügig variiert. Der berechnete Koeffizient ist höher als der theoretische Wert von 1,4 und kann grob als 1,7<C3D<2 für die verschiedenen betrachteten Normalgeschwindigkeiten der Platte geschätzt werden. Interessanterweise ist dieses Ergebnis nicht weit von dem von Taylor verwendeten semi-empirischen Wert ≈2,1 entfernt . Obwohl eine räumlich gleichmäßige Bewegung der Platte zu stark vereinfacht ist, veranschaulicht sie jedoch die Möglichkeit einer Verbesserung der Hautreibung bei Schwimmbewegungen. Insbesondere eine zeitlich periodisch räumlich gleichmäßige Bewegung mit einer maximalen Normalgeschwindigkeit U⊥ = 0,3U∥ der Platte, die eine Obergrenze für das Schwimmen von Fischen darstellt, führt im Vergleich zu einer bewegungslosen Platte zu einer mittleren Erhöhung der Hautreibung um etwa den Faktor 1,7. Auch hier muss betont werden, dass die vollständigen dreidimensionalen numerischen Simulationen rechenintensiv sind und nur für einen begrenzten Satz von Parameterwerten durchgeführt werden konnten. Auch die räumliche Welligkeit der Platte muss in Zukunft berücksichtigt werden.Obwohl unsere Ergebnisse auf vereinfachten Annahmen basieren, stützen sie die Schlussfolgerung, dass die Hautreibung durch Schwimmbewegungen verbessert wird. Erhöhungen um Faktoren zwischen 4 und 10, wie unter anderem in vorgeschlagen , sind jedoch unwahrscheinlich.

Funding statement

Diese Arbeit erhielt Zugang zu den HPC-Ressourcen von IDRIS unter der Zuweisung i20132a1741 von GENCI (Grand Equipement National de Calcul Intensif).

Fußnoten

Ein Beitrag von 15 zu einem Thema ‚Stabilität, Trennung und enge Körperinteraktionen‘.