Dual Vector Space

The dual vector space to a real vector space is the vector space of linear functions , denoted . In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

Dans les deux cas, l’espace vectoriel dual a la même dimension que . Étant donné une base vectorielle pour il existe une double base pour , écrite , où et est le delta de Kronecker.

Une autre façon de réaliser un isomorphisme avec consiste à utiliser un produit interne. Un espace vectoriel réel peut avoir un produit interne symétrique auquel cas un vecteur correspond à un élément dual par . Alors une base ne correspond à sa base double que si elle est une base orthonormée, auquel cas . Un espace vectoriel complexe peut avoir un produit interne hermitien, auquel cas est un isomorphisme linéaire conjugué de avec , c’est-à-dire, .

Les espaces vectoriels doubles peuvent décrire de nombreux objets en algèbre linéaire. Lorsque et sont des espaces vectoriels de dimension finie, un élément du produit tensoriel , disons , correspond à la transformation linéaire . Autrement dit, . Par exemple, la transformation d’identité est . Une forme bilinéaire sur , telle qu’un produit interne, est un élément de .