Sistema no holonómico

Rueda rodadaeditar

Una rueda (a veces visualizada como un monociclo o una moneda rodante) es un sistema no holonómico.

Explicación legaeditar

Considere la rueda de una bicicleta que está estacionada en un lugar determinado (en el suelo). Inicialmente, la válvula de inflado se encuentra en una posición determinada en la rueda. Si la bicicleta se monta y luego se aparca exactamente en el mismo lugar, es casi seguro que la válvula no estará en la misma posición que antes. Su nueva posición depende del camino que se tome. Si la rueda se holonomic, entonces el vástago de la válvula siempre terminan en la misma posición como la rueda se vuelve siempre a la misma ubicación en la Tierra. Claramente, sin embargo, este no es el caso, por lo que el sistema no es holonómico.

Matemáticas explanationEdit

Un individuo montar un monociclo motorizado. El espacio de configuración del monociclo, y el radio r {\displaystyle r}

de la rueda, están marcados. Las líneas rojas y azules yacían en el suelo.

Es posible modelar la rueda matemáticamente con un sistema de ecuaciones de restricción, y luego probar que ese sistema no es holonómico.

Primero, definimos el espacio de configuración. La rueda puede cambiar su estado de tres maneras: tener una rotación diferente sobre su eje, tener un ángulo de dirección diferente y estar en una ubicación diferente. Podemos decir que ϕ {\displaystyle \phi }

es el de rotación sobre el eje, θ {\displaystyle \theta }

es el ángulo de dirección en relación a la x {\displaystyle x}

eje y x {\displaystyle x}

y y {\displaystyle y}

definir la posición en el espacio. Por lo tanto, el espacio de configuración es: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

ahora debemos relacionar estas variables para cada uno de los otros. Notamos que a medida que la rueda cambia de rotación, cambia de posición. El cambio de rotación y posición que implica velocidades debe estar presente, intentamos relacionar la velocidad angular y el ángulo de dirección con velocidades lineales tomando derivadas de tiempo simples de los términos apropiados:

( x, y ) = ( r, ϕ cos ⁡ θ r ϕ pecado ⁡ θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}

la velocidad en La x {\displaystyle x}

dirección es igual a la velocidad angular veces el radio multiplicado por el coseno del ángulo de dirección, y la velocidad y {\displaystyle y}

es similar. Ahora hacemos un poco de manipulación algebraica para transformar la ecuación a forma pfaffiana para que sea posible probar si es holonómica. ( x − r, ϕ cos ⁡ θ i − r ϕ pecado ⁡ θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}

Vamos a separar las variables a partir de sus coeficientes (lado izquierdo de la ecuación, derivada de la anterior). También nos damos cuenta de que podemos multiplicar todos los términos por d t {\displaystyle {\text{d}}t}

así que terminamos con solo los diferenciales (lado derecho de la ecuación): ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r pecado ⁡ θ ) ( x y θ, ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r pecado ⁡ θ ) ( d x d y d θ d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&r\cos \theta \\0&&&r\sin \theta \end{array}}\derecho)\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&r\cos \theta \\0&&&r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\right)}

El lado derecho de la ecuación es ahora en Pfaffian forma:

∑ s = 1 n a r r a s d u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}

ahora utilizamos la prueba universal para holonomic restricciones. Si este sistema fuera holonómico, podríamos tener que hacer hasta ocho pruebas. Sin embargo, podemos usar la intuición matemática para intentar demostrar que el sistema no es holonómico en la primera prueba. Teniendo en cuenta la ecuación de prueba es:

γ ( ∂ β ∂ u α ∂ Una α ∂ u β ) + β ( ∂ Una α ∂ u γ − ∂ Una γ ∂ u α ) + Una α ( ∂ Una γ ∂ u β − ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

podemos ver que si cualquiera de los términos de Un α {\displaystyle A_{\alpha }}

, Un β {\displaystyle A_{\beta }}

, o Un γ {\displaystyle A_{\gamma }}

fueron de cero, que esa parte de la prueba ecuación sería trivial de resolver y sería igual a cero. Por lo tanto, a menudo es la mejor práctica que la primera ecuación de prueba tenga tantos términos distintos de cero como sea posible para maximizar la probabilidad de que la suma de ellos no sea igual a cero. Por lo tanto, elegimos: El α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

El γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d ϕ {\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }

sustituimos en nuestra prueba de la ecuación de:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ − r (cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle-r (\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

y simplificar:

r el pecado ⁡ θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

podemos ver fácilmente que este sistema, como se describe, es nonholonomic, porque el pecado ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta }

no es siempre igual a cero.

Conclusiones adicionaleseditar

Hemos completado nuestra prueba de que el sistema no es holonómico, pero nuestra ecuación de prueba nos dio algunas ideas sobre si el sistema, si se restringe aún más, podría ser holonómico. Muchas veces las ecuaciones de prueba devolverán un resultado como − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

lo que implica que el sistema nunca podría ser limitado a ser holonómico sin alterar radicalmente el sistema, pero en nuestro resultado podemos ver que r sin ⁡ θ {\displaystyle r\sin \theta }

puede ser igual a cero, de dos maneras diferentes:

• r {\displaystyle r}
  

  , el radio de la rueda, puede ser cero. Esto no es útil, ya que el sistema perdería todos sus grados de libertad.

• el pecado ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta }
  

  puede ser cero mediante el establecimiento de θ {\displaystyle \theta }

  

  igual a cero. Esto implica que si la rueda no se le permitiera girar y tuviera que moverse solo en línea recta en todo momento, sería un sistema holonómico.

Sin embargo, hay una cosa que aún no hemos considerado, que para encontrar todas esas modificaciones para un sistema, se deben realizar las ocho ecuaciones de prueba (cuatro de cada ecuación de restricción) y recopilar todos los fallos para reunir todos los requisitos para hacer que el sistema sea holonómico, si es posible. En este sistema, de las siete ecuaciones de prueba adicionales, se presenta un caso adicional:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

Esto no supone mucha dificultad, sin embargo, como la adición de las ecuaciones y dividir por r {\displaystyle r}

resultados: el pecado ⁡ θ cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta\cos \theta =0}

que tiene la solución θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} }

Consulte el lector lego en la explicación de arriba, donde se dice, » nueva posición depende del camino tomado. Si la rueda se holonomic, entonces el vástago de la válvula siempre terminan en la misma posición como la rueda se vuelve siempre a la misma ubicación en la Tierra. Claramente, sin embargo, este no es el caso, por lo que el sistema no es holonómico.»Sin embargo, es fácil visualizar que si la rueda solo se permitiera rodar en una línea perfectamente recta y hacia atrás, ¡el vástago de la válvula terminaría en la misma posición! De hecho, en movimiento paralelo al ángulo dado de π {\displaystyle \pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

no es realmente necesario en el mundo real como la orientación del sistema de coordenadas en sí misma es arbitraria. El sistema puede volverse holonómico si la rueda se mueve solo en línea recta en cualquier ángulo fijo con respecto a una referencia dada. Por lo tanto, no solo hemos demostrado que el sistema original no es holonómico, sino que también hemos podido encontrar una restricción que se puede agregar al sistema para hacerlo holonómico.

Esfera rodanteeditar

Este ejemplo es una extensión del problema de la rueda rodante considerado anteriormente.

Considere un marco de coordenadas cartesianas ortogonales tridimensionales, por ejemplo, un tablero de mesa nivelado con un punto marcado para el origen, y los ejes x e y dispuestos con líneas de lápiz. Tome una esfera de radio de unidad, por ejemplo, una pelota de ping-pong, y marque un punto B en azul. Corresponde a este punto un diámetro de la esfera, y el plano ortogonal a este diámetro colocado en el centro C de la esfera define un gran círculo llamado ecuador asociado con el punto B. En este ecuador, seleccione otro punto R y márquelo en rojo. La posición de la esfera en el z = 0 plano de tal manera que el punto B es coincidente con el origen, C se encuentra en x = 0, y = 0, z = 1, y R se encuentra en x = 1, y = 0 y z = 1, es decir, R se extiende en la dirección del eje x positivo. Esta es la orientación inicial o de referencia de la esfera.

La esfera ahora puede enrollarse a lo largo de cualquier trayectoria cerrada continua en el plano z = 0, no necesariamente una trayectoria simplemente conectada, de tal manera que no se resbale ni se tuerza, de modo que C vuelva a x = 0, y = 0, z = 1. En general, el punto B ya no coincide con el origen, y el punto R ya no se extiende a lo largo del eje x positivo. De hecho, mediante la selección de un camino adecuado, la esfera puede ser reorientada de la orientación inicial a cualquier orientación posible de la esfera con C ubicada en x = 0, y = 0, z = 1. Por lo tanto, el sistema no es holonómico. La anholonomía puede estar representada por el cuaternión doblemente único (q y-q) que, cuando se aplica a los puntos que representan la esfera, lleva los puntos B y R a sus nuevas posiciones.

Péndulo de Foucaulteditar

Un ejemplo adicional de un sistema no holonómico es el péndulo de Foucault. En el marco de coordenadas local, el péndulo se balancea en un plano vertical con una orientación particular con respecto al norte geográfico al comienzo del camino. La trayectoria implícita del sistema es la línea de latitud en la Tierra donde se encuentra el péndulo. A pesar de que el péndulo está estacionario en el marco de la Tierra, se mueve en un marco referido al Sol y gira en sincronía con la velocidad de revolución de la Tierra, de modo que el único movimiento aparente del plano del péndulo es el causado por la rotación de la Tierra. Este último marco, se considera un marco de referencia inercial, aunque también es no inercial en formas más sutiles. El marco de la Tierra es bien conocido por ser no inercial, un hecho hecho perceptible por la presencia aparente de fuerzas centrífugas y fuerzas de Coriolis.

El movimiento a lo largo de la línea de latitud se parametriza por el paso del tiempo, y el plano de oscilación del péndulo de Foucault parece girar alrededor del eje vertical local a medida que pasa el tiempo. El ángulo de rotación de este plano a la vez t con respecto a la orientación inicial es la anholonomía del sistema. La anholonomía inducida por un circuito completo de latitud es proporcional al ángulo sólido subtendido por ese círculo de latitud. El camino no necesita estar limitado a círculos de latitud. Por ejemplo, el péndulo podría montarse en un avión. La anholonomía sigue siendo proporcional al ángulo sólido subtendido por el camino, que ahora puede ser bastante irregular. El péndulo de Foucault es un ejemplo físico de transporte paralelo.

Luz polarizada lineal en una fibra ópticaeditar

Tome una longitud de fibra óptica, digamos tres metros, y colóquela en una línea absolutamente recta. Cuando se introduce un haz polarizado verticalmente en un extremo, emerge del otro extremo, todavía polarizado en la dirección vertical. Marque la parte superior de la fibra con una franja, correspondiente a la orientación de la polarización vertical.

Ahora, enrolle la fibra firmemente alrededor de un cilindro de diez centímetros de diámetro. La trayectoria de la fibra ahora describe una hélice que, al igual que el círculo, tiene una curvatura constante. La hélice también tiene la interesante propiedad de tener torsión constante. Como tal, el resultado es una rotación gradual de la fibra alrededor del eje de la fibra a medida que la línea central de la fibra progresa a lo largo de la hélice. En consecuencia, la franja también se tuerce alrededor del eje de la hélice.

Cuando la luz polarizada linealmente se introduce de nuevo en un extremo, con la orientación de la polarización alineada con la franja, emergerá, en general, como luz polarizada lineal alineada no con la franja, sino en algún ángulo fijo a la franja, dependiendo de la longitud de la fibra, y el tono y radio de la hélice. Este sistema también es no holonómico, ya que podemos enrollar fácilmente la fibra en una segunda hélice y alinear los extremos, devolviendo la luz a su punto de origen. Por lo tanto, la anholonomía está representada por la desviación del ángulo de polarización con cada circuito de la fibra. Mediante un ajuste adecuado de los parámetros, está claro que se puede producir cualquier estado angular posible.

Roboticseditar

En robótica, la no holonomía ha sido particularmente estudiada en el ámbito de la planificación del movimiento y la linealización de retroalimentación para robots móviles.