Los gráficos de control de Shewhart se utilizan ampliamente para mostrar datos de muestra de un proceso de producción. También se han encontrado valiosos en la evaluación de la capacidad del proceso, en la estimación de los parámetros del proceso y en el monitoreo del comportamiento de un proceso de producción. Un gráfico de control se mantiene tomando muestras de un proceso y trazando en orden de tiempo en el gráfico alguna estadística calculada de las muestras. Los límites de control en el gráfico representan los límites dentro de los cuales los puntos trazados caerían con alta probabilidad si la operación estuviera en control. Un punto fuera de los límites de control se toma como una indicación de que algo, a veces llamado una causa especial de variación, ha cambiado el proceso. Cuando la tabla indica que una causa especial está presente, se toman medidas de rectificación para eliminar la causa especial y volver a controlar el proceso. Además de las causas comunes, que producen variaciones aleatorias, las causas especiales pueden producir individualmente una cantidad sustancial de variaciones. Cuando una causa especial de variación está presente, la distribución de la métrica de calidad es indexada por uno o más parámetros y el efecto de la presencia de una causa especial es cambiar los valores de estos parámetros. El propósito de una tabla de control es detectar causas especiales de variación para que estas causas puedan ser encontradas y eliminadas. Debido a que se supone que una causa especial produce un cambio de parámetro, el problema para el que se utiliza un gráfico de control se puede formular como el problema de monitorear un proceso para detectar cualquier cambio en los parámetros de la distribución de la variable de calidad.
Anexo 1. El Gráfico de Control Generalizado de Shewhart
Duncan (1956) indica que la práctica habitual en el mantenimiento de un gráfico de control es trazar la muestra del proceso en relación con los límites de control de ancho constante, por ejemplo, los límites de tres sigma. En este trabajo, se investiga una modificación de la práctica estándar en la que los límites de control de muestreo no son fijos, sino que pueden variar después de que el proceso haya funcionado durante un período de tiempo. La base para elegir el ancho del límite de control es un modelo para el costo de operación del gráfico. El modelo de costos se desarrolla para describir el costo total por unidad de tiempo de monitoreo de la media de un proceso utilizando tanto el gráfico de control estándar como el generalizado de Shewhart. El modelo de costos se desarrolla bajo el supuesto de que la característica de calidad de interés se distribuye normalmente con varianza conocida y constante.
La definición del modelo de costos para el gráfico de control estándar de Shewhart procede en dos pasos, tal como se define en Zou & Nachlas (1993). En primer lugar, la distribución uniforme de la vida útil se emplea para describir la variable aleatoria t, el tiempo hasta un cambio de proceso. Se supone que el proceso está sujeto a un cambio del valor en control de la media del proceso, μ1, a un valor fuera de control, μ2, en un punto aleatorio en el tiempo. Luego, el costo de operar un gráfico de control Shewhart estándar se define utilizando cuatro términos de costo. Son (1) Costo de inspección; (2) Costo de falsa alarma; (3) Costo de señal verdadera; y (4) Costo de producir artículos no conformes adicionales cuando el proceso está fuera de control. Además, se determina la duración esperada del ciclo. Luego, el costo total esperado por unidad de tiempo se construye como el costo de inspección más la relación entre la suma de los tres costos esperados y la duración esperada del ciclo. La definición del modelo de costos correspondiente para el gráfico de control generalizado de Shewhart procede de manera similar. Supongamos que planeamos iniciar el gráfico con un conjunto de límites de control y cambiar los límites para que sean más estrictos después de que el proceso haya funcionado durante un período de tiempo determinado. Específicamente, asumimos que el proceso es muestras cada h horas y después de la m-ésima muestra, se cambian los límites de control. Esto se ilustra en la prueba documental 1. El objetivo es elegir los valores económicos del parámetro de costo para minimizar el costo total esperado. El modelo de costos está construido para permitir la elección óptima del tiempo de cambio y los mejores valores para los límites de control iniciales y ajustados y, por lo tanto, puede aumentar la sensibilidad de la gráfica de control a cambios pequeños pero anticipados en el promedio del proceso para que la gráfica pueda detectar rápidamente una causa especial y poner el proceso en control. El modelo de costos también se utiliza para proporcionar una comparación con la implementación convencional de la tabla de control de Shewhart para el propósito de educación de gestión de calidad PMBOK®.
Desarrollo de modelos
Suponga que un proceso se supervisa utilizando un gráfico 
y el proceso está sujeto a un cambio del valor en control de la media del proceso, μ1, a un valor fuera de control, μ2, en un punto aleatorio en el tiempo. Supongamos que el tiempo hasta que un cambio de proceso es una variable aleatoria con F(t) = t/θ, (0 << ∞). Sea N el valor máximo de t, luego N = θ / h, y supongamos que N es como entero. Para construir el costo total esperado por unidad de tiempo se consideran las siguientes categorías de costos:
1. Ic = coste de muestreo e inspección, coste unitario por evento = c
2. Cf = coste de falsa alarma, coste unitario por evento = c
3. Ct = coste de corrección de señal verdadera y proceso, coste unitario por evento = c
4. Cd = costo de producción de un producto de calidad inferior cuando está fuera de control, costo unitario por artículo = c
5. CT = costo total por unidad de tiempo
La función de costo total esperado por unidad de tiempo se define como:
Donde E es la longitud de ciclo esperada (tiempo de señal). Se utilizan las siguientes anotaciones:
μ1 = valor en control de la media del proceso
μ2 = valor fuera de control de la media del proceso
σx = desviación estándar de la población conocida y constante
UCL = límite de control superior = μ1 + kσx / n1/22
LCL = límite de control inferior = μ1-kσx / n1/2
Ux = límite de especificación superior
Lx = límite de especificación inferior
p1 = proporción no conforme cuando μ = μ1
p2 = proporción no conforme cuando μ = μ2
p = p1-p2
h = tiempo entre muestras
r = tasa de producción en unidades/hora
n = número de elementos inspeccionados por muestra
m = número de muestras antes de cambiar los límites de control
δ = número de unidades de σx de μ1 a μ2
k1 = número σx/n1 /2 de de μ1 a UCL antes de la muestra mh
k2 = número σx/n1 /2 de de μ1 a UCL después de la muestra mh
α = la probabilidad de error de tipo I
β = la probabilidad de error de tipo II
Las variables de decisión son n, h, m, k1 y k2. Los valores óptimos para las variables de decisión se eligen para minimizar el costo total esperado por unidad de tiempo.
(1) Costo de inspección = Ci = {costo fijo + (costo unitario)(número inspeccionado)}/{tiempo entre muestras}, por lo tanto:
Anexo 2. Intervalos de tiempo Que Involucran T y tp
Tenga en cuenta que el costo de inspección es el mismo tanto para el gráfico de control de Shewhart estándar como para el generalizado.
(2) Costo de falsa alarma = Cf = (costo unitario)(probabilidad de falsa alarma) = cf P.
Let A = «falsa alarma», A1 = «falsa alarma en la muestra I», A2 = «sin cambio de proceso antes de la muestra I», entonces la probabilidad de falsa alarma se construye como:
p>
La probabilidad de falsa alarma para el gráfico de control de Shewhart generalizado es bastante diferente de la del gráfico de control estándar. Debemos considerar t ≤ mh o t > mh por separado. Así:
por lo Tanto:
(3) la Verdadera señal costo = Ct = (costo unitario)(probabilidad de una verdadera señal) = ctP.
Let B = «señal verdadera», B1= «cambio de proceso en el intervalo j», B2 = «sin falsa alarma al proceder con muestras j-1», entonces la expresión para P es:
Por lo tanto, el costo de la señal verdadera tiene la siguiente forma:
La probabilidad de señal verdadera para el gráfico de control de Shewhart generalizado se define como:
Por lo tanto:
(4) Costo de producción de elementos no conformes cuando el proceso está fuera de control = Cd = (costo unitario)(tasa de producción)(aumento de la proporción no conforme) (tiempo esperado fuera de control).
Los intervalos de tiempo en este paso se pueden revisar en el gráfico 2.
El E = E + E = E + E. Tenga en cuenta que la parte del intervalo antes del cambio de proceso se puede escribir como T = t-jh, por lo tanto:
Luego:
Finalmente:
La E es la misma para el gráfico de control de Shewhart generalizado, pero la E es un poco diferente, ya que la identificación del intervalo en el que se produce el cambio afecta la probabilidad de la señal. Por lo tanto:
Por lo tanto:
(4) Deje E1 = «falsa alarma en la muestra j y sin cambio de proceso antes de la muestra j,» E2 = «cambio de proceso durante el intervalo s, sin falsa alarma antes de los intervalos y señal verdadera en la muestra j (j-s+1 después del turno).»Entonces la expresión para la duración esperada del ciclo es:
La longitud de ciclo esperada para el gráfico de control de Shewhart generalizado también debe reflejar diferencias en los eventos de señal antes y después de mh. E (g) se puede escribir como:
Por lo tanto:
Análisis de modelos
Referiendo al modelo de costos desarrollado anteriormente, los términos de costos son funciones de las variables de decisión, los parámetros de costos y el parámetro de distribución. Dos de los valores de decisión de m y n están restringidos a ser enteros, mientras que k1 y k2 pueden tomar valores reales. Como Montgomery (1980) indica que una frecuencia de muestreo de una hora es común para muchas cartas de control, se usa h = una unidad de tiempo. El comportamiento del modelo de costes se analiza numéricamente. GINO (Lasdon & Warren, 1985) se usa para examinar el comportamiento del modelo de costos sobre conjuntos de parámetros razonables y el algoritmo de gradiente reducido generalizado (GRG) se usa para intentar minimizar el costo total esperado por unidad de tiempo para esos conjuntos de parámetros. Los rangos de parámetros evaluados se enumeran a continuación.
(1) θ ∈ (8, 200)
(2) δ = 0.522, la magnitud del cambio en la media cuando se produce un cambio. Este valor se selecciona porque corresponde a un aumento en la proporción no conforme de 0,01 a 0,02.
(3) ci = 1.0; 5.0
(4) cd ∈ (1, 10)
(5) cf = 100
(6) r = 200, la tasa de producción
(7) ct = 10
Los rangos de parámetros anteriores definen los escenarios bajo los cuales se investigan el desempeño económico del estándar y el gráfico de control de Shewhart generalizado. Se examina el análisis numérico del comportamiento de la función de costo total esperado por unidad de tiempo con respecto a las variables de decisión para una familia de rangos de parámetros.
La función de coste total esperado por unidad de tiempo es convexa en k para todos los rangos de los otros parámetros. Los valores pequeños de k crean un gran costo total esperado porque se da un número excesivo de falsas alarmas. Esto puede dominar cualquier ahorro de costos debido a la detección rápida de cambios. Los valores intermedios de k producen el costo total esperado más pequeño porque equilibran los costos de producción no conforme con el costo de la falsa alarma. Los valores grandes de k proporcionan probabilidades de detección de cambios reducidas y, por lo tanto, un costo de producción no conforme cada vez mayor. El efecto total es que el costo esperado disminuye al mínimo y luego aumenta de nuevo a medida que k aumenta.
La función de costo total esperado también es convexa en n para todos los rangos de los otros parámetros. Los valores pequeños de n implican bajos costos de muestreo, pero altos costos de no conformidad, ya que los cambios no se detectan rápidamente. Los valores intermedios de n equilibran el costo de muestreo con el costo del producto no conforme para lograr el costo total esperado más bajo. Los grandes valores de n implican grandes costos de muestreo, que pueden dominar el ahorro en costos de productos no conformes logrado a través de mayores probabilidades de detección. Estas interpretaciones varían dependiendo de la importancia relativa de cada categoría de costos, pero el efecto general es que la función de costo total esperada es convexa en n.
Los resultados anteriores para n y k se anticipan para las cartas de control de Shewhart estándar en general y se confirman para las cartas de control de Shewhart generalizadas. El gráfico de control de Shewhart generalizado tiene características que el gráfico de control de Shewhart estándar no tiene. Ahora se exploran las propiedades que resultan de estas características adicionales.
El comportamiento del modelo en términos de la variable de decisión m, k1 y k2 se caracteriza por tres casos. Las magnitudes relativas de los parámetros de costos en cada caso determinan el comportamiento que se observa. En el primer caso, la función de costo total esperado por unidad de tiempo CT, muestra el comportamiento convexo en cada una de las variables de decisión m, k1 y k2 y un mínimo ocurre en el interior de la región convexa factible. Esto significa que el gráfico de control de costos mínimos es una forma del gráfico de control de Shewhart generalizado. En el caso dos, la TC sigue siendo convexa, pero tiene un mínimo correspondiente a un límite de m = 0 y k2 = k1 y aumenta estrictamente en cada una de esas variables. Esto significa que el gráfico de control de costos mínimos es un gráfico de control Shewhart estándar sin cambios de límites de control. En el caso tres, la TC disminuye estrictamente tanto en m como en k2 y tiene un mínimo en el límite k1 = k2 y m=∞. Esto implica que el gráfico de control de costos mínimos es un gráfico de control Shewhart estándar sin cambios de límites de control.
Conclusión
El análisis presentado anteriormente arroja varios puntos interesantes. El primero de ellos es que el análisis del costo de operar cualquier tipo de gráfico de control debe tratarse con mucho cuidado, ya que la función de costo puede no tener siempre la regularidad comúnmente asumida. La elección de los coeficientes de coste, el tiempo de distribución por turnos y los parámetros de distribución influyen directamente en el rendimiento de la función de coste total esperado por unidad de tiempo. Los importantes resultados del análisis realizado muestran que el gráfico de diagrama de flujo generalizado para los medios puede ser económicamente atractivo cuando el costo de inspección, el costo de la señal verdadera y el costo de no conformidad equilibran la duración esperada del ciclo y el costo de la falsa alarma. Cuando este es el caso, la función de costo total esperado por unidad de tiempo es convexa con un mínimo interior y una oportunidad para la optimización de la carta de control de Shewhart generalizada. Cuando uno o más de los términos del modelo dominan a los demás, el costo total esperado por unidad de tiempo mostrará el mismo comportamiento creciente o decreciente que el factor dominante y el modelo de costo generalizado estudiado en este artículo no será atractivo.
La segunda conclusión es que todos los parámetros y variables del modelo son importantes para la función de costo total esperado por unidad de tiempo. Los límites de control k1 y k2 tienen un gran efecto que el parámetro de distribución θ y k2 tiene un efecto mayor que k1. También es cierto que el tamaño de la muestra, n, y el tiempo del cambio en el ancho de los límites de control, m, mejoran el efecto del parámetro de distribución, K1 y k2.
La conclusión final es que hay aplicaciones de gráficos de control para las que el modelo de costos es útil. Los valores de los parámetros del proceso de producción que muestran las relaciones más comunes conducen a que el gráfico de control de Shewhart generalizado tenga un costo más bajo que el gráfico de control de Shewhart estándar correspondiente. Para el caso de ejemplo analizado anteriormente, el ahorro óptimo es de 0 0.22 por artículo producido. Dado que la tasa de producción asumida es de 200/hora, el ahorro es de 4 44 por hora. Este ahorro es dramático y, por lo tanto, vale la pena seguir el gráfico de control de Shewhart generalizado.