Frottement de la peau sur une plaque battante en flux uniforme

Introduction

Il y a eu un nombre considérable d’études sur l’énergétique de la natation au cours des dernières décennies et en particulier sur les mécanismes de réduction de la traînée (pour une revue assez récente, voir). Bien que de nombreuses recherches aient porté sur les mécanismes de réduction de la traînée utilisés par les animaux aquatiques, Lighthill et d’autres ont proposé que la traînée puisse en fait être améliorée par le mouvement de nage. L’explication proposée par Lighthill, citant des discussions avec Bone, est ce que l’on appelle parfois l' »hypothèse d’amincissement de la couche limite Bone–Lighthill », qui stipule qu’une plaque de section s dans une vitesse de flux externe U moving se déplaçant perpendiculairement à elle-même à la vitesse U has a une épaisseur de couche limite de frottement (du côté vers lequel la section se déplace), telle que que la force de traînée par unité de surface est τ≈µU∥/δL.

La formule d’amélioration de la traînée étant associée à de simples mouvements uniformes du corps dans le fluide, elle peut s’appliquer à des mouvements ressemblant à des battements, plutôt qu’à une nage semblable à un poisson. Des ailes battant librement ou des ailes plongeantes ont par exemple été envisagées, pour ne citer que quelques études. En, un battement d’aile rectangulaire sinusoïdal a été analysé et la perte de symétrie observée du sillage induite par les bords latéraux a été mise en relation avec un vol unidirectionnel. Les mouvements cohérents comme états d’attraction induits par le battement ont également été reproduits numériquement. Le sillage d’une feuille de pincement en environnement immobile a été analysé en, et l’étude expérimentale ainsi que informatique des aérofoils plongeants soumis à un écoulement uniforme est rapportée par exemple en.

Cependant, le frottement de la peau le long des corps allongés en mouvement de nage a trouvé moins d’attention, en raison de la difficulté à mesurer cette quantité. L’hypothèse de l’amélioration de la traînée, telle qu’avancée par Lighthill, entre en conflit avec les mécanismes suggérés de réduction de la traînée. Cet écart est parfois attribué au fait que la traînée est mal définie, compte tenu de la difficulté de séparer poussée et traînée qui s’équilibrent en moyenne lorsqu’un animal nage à vitesse moyenne constante. Bien que la traînée de pression soit difficile à définir car la poussée provient également des forces de pression, il n’y a cependant aucun doute sur la définition de la traînée de frottement de la peau. Des mesures soigneuses des profils de vitesse de la couche limite sur les poissons nageurs ont confirmé que la traînée de friction de la peau pouvait être augmentée par des facteurs allant de trois à cinq pour l’aiguillat. Une amélioration de la friction cutanée a également été rapportée dans des simulations numériques, avec des facteurs cependant plus petits.

Un point important de l’hypothèse de la lumière osseuse est que la traînée améliorée est proportionnelle à . Il est remarquable que la même mise à l’échelle ait été obtenue par Taylor lorsqu’il a analysé de manière semi-empirique la traînée longitudinale d’un cylindre en lacet en écoulement uniforme. Dans, le problème du cylindre en lacet a été résolu, en appliquant la théorie de la couche limite et un coefficient de traînée est dérivé. La plaque à portée finie est un cas limite de ce problème de modèle et l’échelle de l’hypothèse d’amincissement de la couche limite est récupérée. Cette amélioration du frottement cutané peut être comprise comme résultant de l’accélération des particules fluides, et dans un problème de modèle bidimensionnel qui tient compte de cet effet a été proposé, en limitant l’écoulement entre la plaque mobile inférieure et une limite supérieure libre à hauteur s/2. Le facteur 0.6 dans l’épaisseur de la couche limite de frottement δL proposée par Lighthill est récupérée dans ce modèle et confirmée par des simulations numériques bidimensionnelles du système de Navier-Stokes.

Une simulation tridimensionnelle complète, en l’absence de mesures fiables du frottement cutané le long d’une plaque mobile, reste nécessaire pour confirmer la prédiction théorique d’amélioration de la traînée. Ici, une plaque rectangulaire mobile d’épaisseur disparaissante, c’est-à-dire sans traînée de forme, est immergée dans un écoulement uniforme. Dans la plupart des recherches théoriques sur la natation ou le vol, les forces résistives sont décomposées en traînée de pression et traînée visqueuse, comme par exemple dans un récent travail sur la conception optimale pour la nage ondulatoire. Cette décomposition justifie d’analyser séparément le frottement cutané comme une composante de la traînée totale. La procédure de solution numérique doit être capable de manipuler les bords de la plaque, qui sont des singularités pour le champ d’écoulement, et la méthode numérique doit être suffisamment précise pour fournir des valeurs de frottement de peau fiables. Ceci est réalisé en utilisant une approche multi-domaines associée à une discrétisation des différences finies compactes d’ordre élevé, et des simulations tridimensionnelles complètes ont été entreprises dans ce travail pour différentes vitesses de plaques uniformes.

Au §2 de cet article, le modèle de couche limite tridimensionnelle de la plaque mobile, qui a déjà été abordé dans, est résumé. La procédure de solution numérique tridimensionnelle est expliquée au §3 et validée pour la couche limite de plaque plate fixe. Les résultats de simulation de l’écoulement autour de la plaque mobile sont rapportés au §4. Les prédictions pour différentes vitesses de plaque sont analysées au §5, abordant la question d’une formule de frottement cutané et une vitesse de plaque périodique est également considérée. Certaines conclusions sont tirées au §6.

Modèle de couche limite tridimensionnelle

Une plaque de portée s dans un flux entrant uniforme U∥ et se déplaçant à la vitesse normale U⊥ est considérée, la configuration étant esquissée à la figure 1. La prédiction théorique de la traînée longitudinale fournie est obtenue pour un cylindre elliptique en lacet dans un écoulement uniforme illustré sur la figure 2, le problème de la plaque étant un cas limite pour un rapport d’aspect infini de la section elliptique dans le plan (y, z). Dans ce qui suit, nous résumons brièvement les résultats en. Le flux uniforme est décomposé sur ses composantes tangentielle et normale, U∥ et U⊥, respectivement, comme illustré à la figure 2. Le problème est considéré comme indépendant de la direction tangentielle et la composante x de l’écoulement potentiel est simplement U∥. Dans le sens normal, l’écoulement potentiel Qe autour du cylindre de section elliptique est résolu à l’aide de techniques de cartographie conforme. Pour résoudre le problème interne de la couche limite autour de la limite elliptique dans le plan (y, z), les coordonnées ξ-η attachées à la surface sont utilisées (figure 2). Les équations de la couche limite sont écrites en coordonnées (ξ, η, x) ce qui donne

Dans, une longueur typique l est définie de telle sorte que nl soit égale à la circonférence de l’ellipse (et donc nl= 2s lorsque l’ellipse dégénère en section transversale de la plaque). Le problème est rendu sans dimension, en considérant l dans la direction ξ tangentielle à la limite de l’ellipse et une échelle de longueur de couche limite pratique est considérée dans la direction normale η (voir pour la modélisation générale de la couche limite), où le nombre de Reynolds est Re⊥ = U⊥l/ν. En conséquence, les vitesses de référence sont U⊥ et dans les directions ξ et η, respectivement. Les équations à l’échelle équivalentes à (2.1) et (2.2) sont résolues à l’aide de la solution approximative des équations de moment, les détails étant fournis dans . Notez que le profil de couche limite en développement uξ ne peut être déterminé que dans la mesure où le flux est attaché: ainsi, pour chaque rapport d’aspect b/a, étant le cas limite de la section de la plaque parallèle à l’axe z, il existe un angle limite θs, marqué sur la figure 2b, auquel le flux se sépare. Cette analyse de couche limite, en résolvant uξ et ux, fournit un coefficient de traînée longitudinale C et la force de traînée longitudinale par unité de longueur est donnée par

Elle est indiquée en ce que C≈1,8 sur toute la plage des rapports d’aspect du cylindre elliptique. Pour l’analyse numérique à venir, il est pratique d’utiliser U∥ comme vitesse de référence et l’envergure de la plaque s comme échelle de longueur. En définissant le nombre de Reynolds

et étant donné que l = 2s/π, la prédiction théorique de la traînée de frottement par unité de longueur de la plaque est

U*⊥= U⊥/U being étant le nombre de reynolds

U*= = U⊥/U being vitesse normale de la plaque sans dimension. Notez que cette formule échoue lorsque, auquel cas la formule classique de traînée de friction pour une plaque immobile en flux uniforme U∥ doit être utilisée à la place. La formule (2.6) n’est donc pertinente que pour les vitesses de paroi au-dessus d’une borne inférieure, qui est susceptible de dépendre du rapport entre l’envergure s de la plaque et la longueur L.

Procédure de simulation numérique tridimensionnelle

Afin d’évaluer la fiabilité des prédictions théoriques décrites au §2, le problème tridimensionnel complet est résolu numériquement, pour un domaine de calcul contenant la plaque d’épaisseur disparaissante. Ce problème numérique est particulièrement difficile, compte tenu des singularités associées aux bords d’attaque et de fuite ainsi qu’aux limites latérales de la plaque. De plus, la procédure doit être suffisamment précise pour fournir des résultats de frottement cutané fiables le long de la plaque. Une approche multi-domaines a été utilisée pour la solution du système de Navier–Stokes (dans ce qui suit, les variables sans dimension sont écrites sans astérisques)

et

La partition est conçue de telle sorte que les bords de la plaque coïncident avec les lignes de contour des interfaces entre les sous-domaines (croquis de la figure 3). Le nombre de Reynolds Re = U-d /ν est formé avec la vitesse d’écoulement uniforme entrante U- et une échelle de longueur typique d de la plaque rectangulaire à préciser ultérieurement. Les principaux aspects de la procédure de solution sont résumés ci-après. Une intégration semi-implicite du second ordre dans le temps d’Euler est utilisée, les termes non linéaires étant évalués par un schéma d’Adams–Bashforth. On considère une méthode de projection, c’est-à–dire une méthode par pas fractionnaire en résolvant à chaque pas de temps tn = nΔt un champ de pression et de vitesse intermédiaire suivi d’une correction de pression pour assurer l’incompressibilité, connue sous le nom de schéma de Kim-Moin (voir et pour une revue sur les méthodes de projection). Par conséquent, à chaque pas de temps, une série de problèmes de type Helmholtz

pour les composantes de vitesse, avec σ= 3 Re/(2Δt), et la pression (avec σ= 0) doivent être résolus. Le domaine Ω =ΩΩk est partitionné en sous-domaines Ωk avec des interfaces Γij = Ωi∩Ωj (voir l’esquisse de la figure 3) et les problèmes de Helmholtz dans chaque sous-domaine sont

où g est soit une condition aux limites imposée à l’extérieur de l’ensemble du domaine de calcul, soit une condition cinématique sur la plaque à l’intérieur, selon le sous-domaine spécifique considéré. Des schémas de différences finies compactes d’ordre élevé sont considérés pour la discrétisation dans les trois variables d’espace (x, y, z). Les schémas sont dérivés pour les mailles non uniformes : en particulier, comme montré dans, un regroupement des points proches de la limite est approprié pour le schéma de huitième ordre considéré ici, pour éviter les oscillations et qui permet un schéma de fermeture de limite du même ordre que l’intérieur. Dans une étape de prétraitement, les opérateurs de dérivées secondes dans chaque direction sont diagonalisés ce qui donne lieu à une résolution directe rapide des problèmes de Helmholtz dans chaque sous-domaine pendant la procédure de pas de temps. Continuity of the solution as well as of its normal derivative is required at the domain interfaces Γij and fieldsare introduced such that

Dans ce système, le côté droit de l’équation (3.7), contenant les termes explicites de la discrétisation temporelle, dépend du temps ; et à chaque pas de temps, la valeur limite λ sur les interfaces doit être calculée pour remplir la continuité des dérivées normales (3.9). La formulation algébrique de ce problème conduit à un système linéaire dont la solution fournit la condition aux limites entre les domaines adjacents. Ce système implique la matrice de complément de Schur, également appelée matrice d’influence, et sa structure de bloc interne est déterminée de manière cohérente avec la partition de sous-domaine dans une étape de prétraitement. Un algorithme MPI parallèle a été conçu à partir du cluster IBM x3750 du centre informatique français IDRIS, un processus étant affecté à chaque sous-domaine. Le système de complément Schur est résolu de manière itérative en utilisant l’environnement de calcul Portable et Extensible Toolkit for Scientific Computing (PETSc) et plus particulièrement le package de sous-espace Krylov (KSP), en utilisant des options GMRES hiérarchiques et un préconditionnement de bloc Jocobi. Dans chaque sous-domaine Ωk, un maillage de 30×30×30 a été utilisé et l’algorithme s’est avéré à l’échelle presque linéairement avec le nombre (jusqu’à 120) de domaines considérés.

(a) Validation de la couche limite de la plaque plate

Avant d’aborder l’écoulement le long de la plaque mobile, il faut calculer la couche limite stable le long de la plaque avec des bords finis qui sera ensuite utilisée comme condition initiale lorsque la plaque est mise en mouvement. Les bords de la plaque, d’épaisseur de fuite placée à y = 0 (voir croquis de la figure 1), sont des singularités lorsque la plaque est en contact avec un flux uniforme entrant. Cette difficulté est surmontée par une construction utilisant l’approche multi-domaines, les arêtes étant des frontières entre domaines adjacents et donc les valeurs singulières n’apparaissent pas explicitement tout au long des calculus. Un domaine cartésien de calcul

a été considéré, la plaque rectangulaire de longueur L=36 et d’envergure s=6 étant située dans le plan y=0 avec le bord d’attaque à xl=6 et centrée à z=0. Un débit uniforme (1,0,0) (le débit uniforme U∥ à l’entrée étant la vitesse de référence) à x = 0 est considéré et une condition d’écoulement d’advection est utilisée à x = 60. Les composantes paroi-normale et envergure de la vitesse d’écoulement, respectivement v et w, sont censées disparaître loin de la plaque à y = ± 8, alors qu’une condition aux limites de Neumann en champ lointain est imposée pour la composante u en cours d’eau. Des conditions antidérapantes pour les trois composantes du champ de vitesse sont imposées à la plaque. On a considéré un nombre de Reynolds Re = 200, c’est-à-dire Res = 1200 sur la base de l’envergure s de la plaque. La partition multi-domaines utilisée contient 120 sous-domaines, avec (ndx, ndy, ndz) = (10,4,3) le nombre de domaines dans les trois directions, c’est-à-dire les plages de plaques sur six domaines en x et un domaine en z. À partir de l’écoulement uniforme à l’entrée, les calculus ont été avancés dans le temps avec un pas de temps Δt = 0,005 et à t = 90 un champ d’écoulement quasi stable a été atteint. Toutes les variables sont maintenant sans dimension et l’épaisseur de déplacementest une échelle de longueur pratique pour la couche limite le long d’une plaque plate. La figure 4a montre l’épaisseur de déplacement à différents endroits dans le sens de l’envergure. La valeur ne varie pas de manière significative le long de la portée, à part la région proche du bord. L’épaisseur de déplacement est vue croître de façon monotone comme prévu par la théorie, sauf dans la région proche du bord de fuite de la plaque (avec une épaisseur de fuite) à xt = 42, où le champ d’écoulement a un comportement singulier. Notez que la valeur maximale est δ(x) ≈0.6 qui donne un nombre de Reynolds maximal basé sur l’épaisseur de déplacement de Reδ≈120, c’est-à-dire que la couche limite est stable par rapport aux perturbations infinitésimales (le nombre de Reynolds critique basé sur δ étant ≈520). Notez également que la limite de champ lointain(avec) est suffisamment éloignée du bord de la couche limite, la distance pour laquelle le profil de la couche limite récupère 99 % du flux uniforme étant ≈3δ.

La force de traînée de frottement sans dimension par unité de surface, le frottement de la peau, est calculée comme

τ étant la contrainte de cisaillement sur la paroi, et cf= 0,57/Reδ(x) pour la couche limite de Blasius le long d’une plaque plate infinie dans le sens de l’étendue, lorsqu’elle est rendue sans dimension avec l’épaisseur de déplacement. Cette formule classique de couche limite s’applique pour un écoulement à gradient de pression nulle tant que le flux reste attaché. Des asymptotiques plus impliquées, telles que la structure à trois étages du champ d’écoulement, doivent être utilisées pour décrire le comportement près de points singuliers tels que les bords d’attaque et de fuite. Dans cette étude, nous nous concentrons sur l’écoulement le long de la plaque et seule la théorie classique est prise en compte pour la comparaison avec la solution numérique de Navier–Stokes. La figure 4b montre la valeur cf calculée pour l’état d’écoulement au centre de la plaque, qui présente comme prévu un comportement singulier au bord d’attaque xl = 6 et au bord de fuite xt = 42. Le long de la plaque, le frottement cutané est proche de la valeur théorique de Blasius représentée par la ligne pointillée. Les singularités de la plaque n’induisent pas d’oscillations significatives du gradient de vitesse paroi-normale et pour ce cas d’essai d’une plaque plate rectangulaire, la procédure de simulation est considérée comme fournissant des valeurs de frottement de la peau fiables.

Écoulement sur la plaque mobile

Une fois le débit régulier établi, la plaque est mise en mouvement, la vitesse de plaque sans dimension et constante U⊥ étant désormais écrite sans astérisque. La plaque est initialement située dans le plan y = 0 et son déplacement spatialement uniforme est ϕ(t) = U⊥t. Un mappage

avecla plaque est initialement située dans le plan y = 0 et son déplacement spatialement uniforme est ϕ(t) =U⊥t. Un mappage

avecla coordonnée normale fixe est considérée. Dans le système de Navier–Stokes (3.1), la dérivée temporelle doit être transformée en conséquence et sur la plaque la condition cinématique s’applique, c’est-à-dire

Dans cette procédure et selon la cartographie, la limite de champ lointain, où le flux devient uniforme, reste à distance constante de la plaque tout au long de l’intégration temporelle. Pour la discrétisation, 120 sous-domaines ont été considérés dans la procédure multi-domaines avec le même maillage 30×30×30 par sous-domaine que pour le calcul de la couche limite décrit au §3. La plaque d’épaisseur nulle, de longueur L = 36 et d’envergure s =6 forme un rectangle 6≤x≤42, -3≤z≤3 dans le plan

à l’intérieur du domaine de calcul global Ω= ××.

Le nombre de Reynolds est Re = 200, ou de manière équivalente Res = 1200 en fonction de l’envergure de la plaque. Le système a été intégré dans le temps (avec un pas de temps Δt = 0,005) pour différentes vitesses de plaque U⊥, en commençant par la vitesse d’écoulement de la plaque fixe comme condition initiale. La structure d’écoulement instantané autour de la plaque à t = 40 est illustrée sur la figure 5 pour U= 0,1, 0,2, 0.3, la coupe z = 0 du champ de vitesse u dans le sens du courant au voisinage de la plaque (d’épaisseur nulle mais rendue visible par une fine ligne noire) étant représentée. Pour les vitesses plus faibles U= 0,1, 0,2, l’effet du mouvement n’est visible qu’à proximité du bord d’attaque et en aval du bord de fuite, la structure de la couche limite étant qualitativement similaire à celle d’une plaque immobile, la composante de vitesse dans le sens du courant récupérant sa valeur uniforme u =1 à faible distance de la limite de la plaque. Pour la vitesse supérieure U⊥ = 0.3, l’écoulement présente cependant un écartement au niveau du bord d’attaque qui conduit à la formation d’une région d’écoulement inversé du côté inférieur, la plaque étant en mouvement ascendant. Le champ de vorticité wx =∂w /yy −∂v/zz est représenté sur la figure 6 où une coupe à x = L/3 à partir du bord d’attaque est représentée dans le plan (z, y). Deux structures de vortex contrarotatives opposées se forment sur les bords latéraux de la plaque en conséquence de son mouvement vers le haut. L’intensité de la vorticité augmente avec U⊥. Pour U⊥ = 0.3 une correspondance imparfaite, la vorticité impliquant les gradients du champ de vitesse, est visible au niveau des lignes, correspondant aux limites des sous-domaines, normales aux bords de la plaque. Cela est dû à la tolérance d’erreur de la procédure itérative utilisée pour résoudre le système matriciel de complément de Schur dans ce problème numérique.

À partir de l’écoulement de la couche limite le long de la plaque fixe et de la mise en mouvement de la plaque, la structure d’écoulement subit un régime transitoire et une question cruciale est de savoir si elle converge vers un état quasi stable pendant l’intégration temporelle. La force de frottement sans dimension par unité de surface

sur les faces inférieure et supérieure de la plaque, c’est−à-dire à y =0- et y=0+, respectivement, pour U⊥=0,1 à x =L/3 et à différents instants t=20,30,40 est illustrée à la figure 7. On voit que l’écoulement à t = 40 peut être considéré comme étant dans un état quasi stable pour cette petite vitesse de plaque. On notera que les bords latéraux à z = ±3 sont des singularités pour le champ d’écoulement et que le frottement de la peau est tracé sauf au voisinage même des bords de la plaque. Le frottement de la peau pour la plaque immobile est également représenté en pointillés, qui est bien entendu constant le long de la plaque sauf dans la région adjacente aux bords. L’amélioration du frottement visqueux est clairement démontrée, déjà à cette faible vitesse de plaque. Le frottement de la peau pour une vitesse plus élevée U⊥ = 0.3 est représenté sur la figure 8. Or, alors que du côté supérieur vers lequel se déplace le plateau la valeur de frottement présente un comportement de convergence, du côté inférieur l’écoulement reste instable. En effet, comme le montre la figure 5, l’écoulement à U= 0,3 présente une séparation relativement forte au bord d’attaque qui est en général synonyme d’un comportement instable. De plus, du côté inférieur, le frottement cutané présente deux pics, symétriques par rapport à z = 0, qui sont plus prononcés pour la vitesse de paroi plus élevée. Il est probable que cette augmentation locale de la traînée de frottement soit associée à la présence des structures de vorticité de bord à la face inférieure induites par le mouvement ascendant et représentées sur la figure 6.

Formule de friction de la peau pour la plaque mobile

Rendre la traînée de friction longitudinale (2.6) sans dimension en utilisant la portée s donne

la vitesse de la plaque sans dimension étant écrite sans astérisque et l’intégration doit être prise le long du côté supérieur et inférieur de la travée, en omettant les bords de la plaque qui sont des points singuliers dans la formule d’intégration numérique (une règle trapézoïdale simple a été utilisée). La définition d’un coefficient de traînée visqueuse est intimement liée à l’existence d’un état quasi stable. Cependant, les caractéristiques locales de l’écoulement sont susceptibles d’être instables à des vitesses de plaque plus élevées, comme montré dans la section précédente, en raison de la forte séparation de l’écoulement au bord d’attaque et au niveau des bords latéraux. La vitesse de plaque la plus élevée considérée ici est U⊥ = 0,4 et le frottement cutané intégré Cf dans le sens de l’envergure a été calculé jusqu’à t = 80. Le résultat est illustré à la figure 9, pour t = 40,60,80. Alors que près du bord d’attaque le comportement est très instable, une évolution quasi-régulière de cette quantité est observée plus en aval. Cela donne une certaine confiance que le frottement visqueux pour différentes vitesses de plaque peut être comparé à un moment fixe, après que le comportement transitoire initial a disparu. Les résultats pour U⊥ = 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 à t = 40 sont présentés à la figure 10. Comme prévu, aucun comportement cohérent des valeurs Cf n’est observé dans la région proche du bord d’attaque, mais plus en aval, les courbes sont vues non loin d’être parallèles entre elles. Sur la figure 11, la quantité

est indiquée, en commençant par x=15, c’est-à-dire en rejetant un quart de la longueur de la plaque près du bord d’attaque. Alors que cette grandeur varie avec x, on observe un regroupement des courbes, outre celui pour la vitesse de paroi la plus basse U⊥ = 0,1, à une valeur voisine de C3D≈1,8. Cette valeur est supérieure au coefficient théorique C3D = 1,4 (voir §2), ce qui n’est pas surprenant, car la contribution de la traînée de frottement au-delà de la ligne de séparation (bords latéraux de la plaque) n’est pas prise en compte dans le modèle théorique. De plus, lors de la dérivation de la formule de traînée de frottement, la structure de la couche limite dans le sens de l’envergure est considérée, en supposant une invariance de l’écoulement dans le sens du flux et conduisant précisément à la mise à l’échelle(voir §2 et l’analyse détaillée dans). Cette mise à l’échelle est bien entendu modifiée par l’évolution de la couche limite en cours d’eau qui conduit à la dépendance observée en cours d’eau de C3D. De plus, pour de faibles vitesses de paroi, il est plus discutable de se concentrer principalement sur la structure de la couche limite en portée ce qui explique que le résultat à U⊥ = 0.1 se trouve un peu à part dans la figure 11.

(a)Vitesse périodique de la plaque

Le mouvement de la paroi dans tout comportement de nage est périodique et il est montré que la vitesse corporelle normale pour un grand nombre de poissons et de cétacés varie généralement de 0,1U∥ à 0,3U∥ de la tête à la queue. Dans ce modèle, aucune ondulation spatiale explicite de la plaque n’est prise en compte, mais pour adresser un mouvement périodique, la vitesse de paroi

avec A=0,3 et ω=0,06 a été prise en compte. La vitesse maximale de la paroi est de 0.3 et le déplacement ϕ(t) de la plaque varie entre ±A/ω = ±5, ce qui est une amplitude assez importante (par rapport à la longueur de la plaque L = 36), au moins en ce qui concerne les amplitudes de nage ondulatoires typiques. Il serait bien sûr hasardeux de déduire d’un mouvement spatialement uniforme et périodique du temps de la plaque les résultats que l’on obtiendrait pour un mouvement ondulatoire réaliste. Cependant, ce problème de modèle est susceptible d’être considéré comme une sorte de cas extrême, par rapport à la vitesse normale de la plaque et à l’amplitude du mouvement. Le comportement d’écoulement a été calculé sur deux périodes de temps 2 T, avec T≈105, et la valeur de frottement intégrée en travée Cf est représentée sur la figure 12 à deux positions (x = L/3, L/2) de la plaque. Cette grandeur est vue hériter de la périodicité du mouvement de la plaque et comme prévu, après un intervalle de temps initial transitoire, la distance entre deux pics ou de manière équivalente entre deux vallées des courbes est T/2≈52.

Le frottement cutané moyen dans le temps est illustré à la figure 13 et comparé à la traînée de frottement dans le sens de l’envergure pour la plaque immobile. L’intégration de ces courbes dans la plage 12≤x≤36, c’est-à-dire le rejet des portions de la plaque près des bords d’attaque et de fuite, fournit des valeurs de traînée de 0,34 et 0,58 respectivement pour la plaque immobile et la plaque mobile, soit une augmentation de traînée de 70% pour la plaque avec la vitesse normale périodique. La ligne pointillée de la figure 13 montre le frottement cutané que l’on obtiendrait avec la formule (5.1) (pour C3D=1.8), c’est-à-dire , en considérant la valeur absolue moyenne de la vitesse 〈|U⊥|〉=2A/π=0,191. Cette valeur Cf est considérée comme étonnamment proche du résultat moyen de frottement calculé, sur les deux tiers de la longueur de la plaque.

Conclusion

En, la prédiction théorique de ce que l’on appelle « l’hypothèse d’amincissement de la couche limite des ligaments osseux » avait été renforcée en explorant un modèle de couche limite le long d’une plaque se déplaçant à une vitesse normale et considérée comme le cas limite d’une configuration de cylindre en lacet. Les simulations numériques tridimensionnelles de cet article renforcent la prédiction théorique. Ces simulations restent un problème difficile et sont particulièrement chronophages et une seule configuration de plaque avec un rapport longueur/envergure L/s = 6 a été envisagée, à l’aide d’un solveur Navier–Stokes multi-domaines, à un nombre de Reynolds Res = 1200 relativement faible, sur la base de la vitesse uniforme entrante U∥ et de l’envergure s. La formule de traînée longitudinale (par unité de longueur)

est clairement renforcée, au moins pour les vitesses normales de paroi U⊥ au-dessus d’une limite inférieure, par les résultats de simulation numérique, avec cependant un coefficient de traînée C3D variant légèrement le long de la direction du flux de la plaque. Le coefficient calculé est supérieur à la valeur théorique de 1,4 et peut être approximativement estimé à 1,7 <C3D <2 pour les différentes vitesses normales de la plaque considérées. Fait intéressant, ce résultat n’est pas loin de la valeur semi-empirique ≈2,1 utilisée par Taylor. Bien qu’un mouvement spatialement uniforme de la plaque soit trop simplifié, il illustre cependant la possibilité d’amélioration du frottement de la peau lors du mouvement de nage. En particulier, un mouvement spatialement uniforme périodique du temps avec une vitesse normale maximale U- = 0,3U- de la plaque, qui est une limite supérieure en ce qui concerne la nage des poissons, est considéré comme fournissant une augmentation moyenne du frottement cutané, par rapport à une plaque immobile, d’environ un facteur 1,7. Encore une fois, il convient de souligner que les simulations numériques tridimensionnelles complètes sont impliquées dans des calculs et ne pourraient être effectuées que pour un ensemble limité de valeurs de paramètres. L’ondulation spatiale de la plaque devra également être envisagée à l’avenir.

Bien que basés sur des hypothèses simplifiées, nos résultats confèrent du crédit à la conclusion que la friction de la peau est améliorée par le mouvement de nage. Cependant, des augmentations de facteurs entre 4 et 10, comme proposé entre autres dans, sont peu probables.

Déclaration de financement

Ce travail a eu accès aux ressources HPC de l’IDRIS au titre de l’allocation i20132a1741 réalisée par le GENCI (Grand Équipement National de Calcul Intensif).

Notes de bas de page

Une contribution de 15 à un numéro thématique « Stabilité, séparation et interactions corporelles rapprochées « .