Nonholonomic system

Rolling wheelEdit
laikus magyarázat
Mathematical explanationEdit
további következtetésekszerkesztés
Rolling sphereEdit
Foucault pendulumEdit
lineáris polarizált fény egy optikai szálban
RoboticsEdit

Rolling wheelEdit

a kerék (néha egykerekűként vagy gördülő érmeként jelenik meg) egy nonholonomic rendszer.

laikus magyarázat

Tekintsük a kerékpár kerekét, amely egy bizonyos helyen (a földön) parkol. Kezdetben az inflációs szelep egy bizonyos helyzetben van a keréken. Ha a kerékpárt körbejárják, majd pontosan ugyanazon a helyen parkolják, akkor a szelep szinte biztosan nem lesz ugyanabban a helyzetben, mint korábban. Új pozíciója a megtett úttól függ. Ha a kerék holonomikus lenne, akkor a szelepszár Mindig ugyanabba a helyzetbe kerülne, mindaddig, amíg a kereket mindig a föld ugyanazon helyére gördítik vissza. Nyilvánvaló azonban, hogy ez nem így van, tehát a rendszer nem holonomikus.

Mathematical explanationEdit

egy motoros egykerekű személy. Az egykerekű konfigurációs tere és a kerék r {\displaystyle r}

$r$

sugara meg van jelölve. A piros és kék vonalak a földön fekszenek.

lehetőség van a kerék matematikai modellezésére kényszeregyenletek rendszerével, majd bizonyítani, hogy ez a rendszer nemholonomikus.

először definiáljuk a konfigurációs helyet. A kerék háromféleképpen változtathatja meg állapotát: eltérő forgással a tengelye körül, eltérő kormányzási szöggel és más helyen. Azt mondhatjuk, hogy a 0 {\displaystyle \phi }

$\phi$

a tengely körüli forgás, míg a 0 {\displaystyle \theta }

$\theta$

a kormányzási szög az x {\displaystyle x}

$x$

-tengely, és X {\displaystyle x}

$x$

és Y {\displaystyle y}

$y$

határozza meg a térbeli helyzetet. Így a konfigurációs tér: u = t {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}XY\Theta \Phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {t} }$

ezeket a változókat most egymáshoz kell kapcsolnunk. Észrevesszük, hogy amint a kerék megváltoztatja forgását, megváltoztatja helyzetét. A forgás és a pozíció sebességre utaló változásának jelen kell lennie, megpróbáljuk a szögsebességet és a kormányzási szöget a lineáris sebességekhez kapcsolni a megfelelő kifejezések egyszerű idő-deriváltjaival:

( x y ) = ( R\cos \cos\sin\) {\displaystyle\bal ({\begin{array}{C} {\Dot {x}}\\{\Dot {y}}\end{array}} \jobb)=\bal ({\begin{array}{c}r {\Dot {\Phi}}\cos\Theta \\r {\Dot {\Phi}}\sin \Theta\end{array}}\jobb)}

${\displaystyle\left ({\begin{array}{C} {\Dot {x}}\\{\Dot {y}}\end{array}} \right)=\left ({\begin{array}{c}r {\Dot {\Phi}}\cos\Theta \\r {\Dot {\Phi}} \sin \ Theta \ end{array}} \ right)}$

az X {\displaystyle x}

$x$

irányban egyenlő a szögsebesség-idők a sugár szorozza a kormányzási szög koszinuszát, és az y {\displaystyle y}

$y$

sebesség hasonló. Most csinálunk néhány algebrai manipulációt, hogy átalakítsuk az egyenletet Pfaffian formává, így meg lehet vizsgálni, hogy holonomikus-e. ( X − R (X − R) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) cos (x-r) {Dot (x-r) Phi (y)} – r {\Dot (x-r) {\displaystyle\left ({\begin {array} {C} {\Dot {x}} – r {\Dot {\Phi}} \cos \Theta \\{\Dot {y}} – r {\Dot {\Phi}} \sin \Theta\end {array}}\right) = {\overrightarrow {0}}

válasszuk el a változókat az együtthatóiktól (az egyenlet bal oldala, felülről származtatva). Arra is rájövünk, hogy az összes kifejezést megszorozhatjuk d t {\displaystyle {\text{d}}t}

${\text{d}}t$

szóval csak a differenciálokat kapjuk (az egyenlet jobb oldala): ( 1 0 0 − r cos 0 1 0-r sin 6 ) ( x y ++ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos 0 1 0 − r Sin ( Sin) (d x d y d++) {\displaystyle \left ({\begin{array}{C}1&&&-r\cos \Theta \\0&-r\cos \Theta \0&&& – r\sin\Theta\end{array}}\jobb)\bal ({\begin{array}{C} {\Dot {x}}\\{\Dot {y}} \\{\Dot {\Theta}} \\{\Dot {y}}\\{\Dot {\Theta}} \ \ {\Dot {\Phi}} \ end{array}} \ right)={\overrightarrow {0}}= \ bal ({\begin {array} {C} 1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \Theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{C}{\text{D}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\Theta \\{\text{d}}\Phi \end{array}}\right)}

$\left({\begin{array}{C}100-R\cos \Theta \\010-r\sin \Theta \end{array}}\jobb)\bal({\begin{array}{C}{\Dot {x}}\\{\Dot {y}}\\{\Dot {\Theta }}\\{\Dot {\Phi }}\end{array}}\jobb)={\overrightarrow {0}}=\bal({\begin{array}{C}100-R\cos \Theta \\010-r\sin \Theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\right)$

az egyenlet jobb oldala most Pfaffian formában van:

s = 1 N A r s D u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle \sum _{s=1}^{n}a_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}

$\sum _{s=1}^{n}a_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2$

most az univerzális tesztet használjuk a holonómiai korlátokhoz. Ha ez a rendszer holonómiai lenne, akár nyolc tesztet is el kellene végeznünk. Matematikai intuícióval azonban megpróbálhatjuk a lehető legjobban bizonyítani, hogy a rendszer nem holonómikus az első teszten. Figyelembe véve a tesztegyenletet: Egy γ ( ∂ β ∂ u α − ∂ Egy α ∂ u β ) + β ( ∂ Egy α ∂ u γ − ∂ Egy γ ∂ u α ) + Egy α ( ∂ Egy γ ∂ u β − ∂ β ∂ u, γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\béta }}{\partial u_{\alfa }}}-{\frac {\partial A_{\alfa }}{\partial u_{\béta }}}{\bigg )}+A_{\béta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alfa }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alfa }}}{\bigg )}+A_{\alfa }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\béta }}}-{\frac {\partial A_{\béta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

$a_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\részleges a_{\beta }}{\részleges u_{\alpha }}}-{\frac {\részleges a_{\alpha }}{\bigg)} +a_{\beta} {\bigg (} {\frac{\részleges a_{\alpha}} {\részleges u_{\gamma}}}}- {\FRAC{\részleges a_{\Gamma}} {\részleges u_{\Alpha}}} {\bigg)} +a_{\Alpha}{\bigg (} {\FRAC{\részleges a_{\Gamma}} {\részleges u_{\beta}}}- {\FRAC{\részleges a_{\beta}} {\részleges u_{\Gamma}}} {\bigg)} =0$

láthatjuk , hogy ha van a kifejezések közül a A{\displaystyle a_{\Alpha}}

$a_\Alpha$

, a a {\displaystyle A_ {\beta }}

$a_{\beta }$

, vagy ha a {\displaystyle a_{\gamma }}

$a_{\gamma }$

nulla, akkor a tesztegyenletnek ezt a részét triviálisan meg kell oldani, és legyen egyenlő nullával. Ezért gyakran a legjobb gyakorlat, ha az első tesztegyenletnek annyi nem nulla kifejezése van, amennyire csak lehetséges, hogy maximalizálja annak esélyét, hogy ezek összege ne egyenlő nullával. Ezért választunk: Az α = 1 {\displaystyle A_{\alfa }=1}

$A_{\alfa }=1$

A β = 0 {\displaystyle A_{\béta }=0}

$A_{\béta }=0$

A γ = − r, mert ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

$A_{\gamma }=-r\cos \theta$

u α = d x {\displaystyle u_{\alfa }=dx}

$u_{\alfa }=dx$

u β = d θ {\displaystyle u_{\béta }=d\theta }

$u_{\béta }=d\theta$

u γ = d ++ {\displaystyle u_ {\gamma }=d\phi }

$u_{\gamma }=d\phi$

helyettesítjük a tesztegyenletünkben: ( − r, mert ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r, mert ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r, mert ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

$(-r\mert \theta ){\bigg (}{\frac {\részleges }{\részleges x}}(0)-{\frac {\részleges }{\részleges \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\részleges }{\részleges \phi }}(1)-{\frac {\részleges }{\részleges x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}(-r\cos \Theta )-{\frac {\partial }{\partial \Phi }}(0){\bigg )}=0$

és egyszerűsíteni:

r sin ++ = 0 {\displaystyle R\sin \Theta =0}

$R\sin \Theta =0$

könnyen beláthatjuk, hogy ez a rendszer, ahogy leírtuk, nem holonómiai, mert sin ++ {\displaystyle \sin \Theta }

$\sin \Theta$

nem mindig egyenlő nullával.

további következtetésekszerkesztés

befejeztük annak bizonyítását, hogy a rendszer nemholonomikus, de a tesztegyenletünk betekintést adott abba, hogy a rendszer, ha tovább korlátozza, holonomikus lehet-e. A tesztegyenletek sokszor olyan eredményt adnak vissza, mint − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

$-1=0$

ami azt jelenti, hogy a rendszert soha nem lehet holonomikussá tenni anélkül , hogy radikálisan megváltoztatnánk a rendszert, de az eredményünkben láthatjuk, hogy r sin ++ {\displaystyle R\sin \Theta }

$R\sin \Theta$

egyenlő lehet nullával, kétféleképpen:

r {\displaystyle R}
$r$

, a kerék sugara nulla lehet. Ez nem segít, mivel a rendszer elveszítené a szabadság minden fokát.
sin {\displaystyle \sin \Theta }
$\sin \Theta$

nulla lehet, ha a (Z) {\displaystyle \Theta }

$\Theta$

nullával egyenlő. Ez azt jelenti, hogy ha a keréknek nem lenne szabad forognia, és mindig csak egyenes vonalban kellene mozognia, akkor ez egy holonómiai rendszer lenne.

van egy dolog, amit még nem vettünk figyelembe, hogy egy rendszer összes ilyen módosításának megtalálásához mind a nyolc tesztegyenletet el kell végezni (mindegyik kényszeregyenletből négyet), és össze kell gyűjteni az összes hibát, hogy összegyűjtsük az összes követelményt, hogy a rendszer holonomikus legyen, ha lehetséges. Ebben a rendszerben a hét további tesztegyenlet közül egy további eset jelenik meg: − r, mert ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

$-r\cos \theta =0$

Ez nem jelent nagy nehézséget, azonban, mint hozzátéve, az egyenletek, majd elosztjuk r {\displaystyle r}

$r$

eredmények: a bűn ⁡ θ − mert ⁡ θ = 0 {\displaystyle \bűn \theta -\, mert \theta =0}

$\bűn \theta -\, mert \theta =0$

, amely a megoldás θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \ mathbb {Z} }

$\theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z}$

lásd vissza a laikus fenti magyarázatát, ahol azt mondják: “az új pozíció a megtett útvonaltól függ. Ha a kerék holonomikus lenne, akkor a szelepszár Mindig ugyanabba a helyzetbe kerülne, mindaddig, amíg a kereket mindig a föld ugyanazon helyére gördítik vissza. Nyilvánvaló azonban, hogy ez nem így van, tehát a rendszer nem holonomikus.”Könnyű azonban elképzelni, hogy ha a kereket csak tökéletesen egyenes vonalban és hátra engedik gurulni, akkor a szelepszár ugyanabba a helyzetbe kerülne! A valós világban valójában nincs szükség párhuzamos mozgásra a megadott dőlésszöggel, mivel maga a koordináta-rendszer tájolása tetszőleges. A rendszer holonomikussá válhat, ha a kerék csak egyenes vonalban mozog, bármilyen rögzített szögben egy adott referenciához képest. Így nemcsak azt bizonyítottuk, hogy az eredeti rendszer nemholonomikus, hanem olyan korlátozást is találtunk, amelyet hozzá lehet adni a rendszerhez, hogy holonomikus legyen.

Rolling sphereEdit

Ez a példa a fent tárgyalt ‘gördülő kerék’ probléma kiterjesztése.

Vegyünk egy háromdimenziós ortogonális Derékszögű koordináta keretet, például egy vízszintes asztallapot, amelyen az Origó számára egy pont van jelölve, és az x és y tengelyeket ceruzavonalakkal helyezzük el. Vegyünk egy egység sugarú gömböt, például egy ping-pong labdát, és jelöljünk meg egy B pontot kékkel. Ennek a pontnak felel meg a gömb átmérője, és a gömb C közepén elhelyezkedő átmérővel merőleges sík egy nagy kört határoz meg, amelyet az egyenlítőnek neveznek, amely a B ponthoz kapcsolódik. Helyezze a gömböt a z = 0 síkra úgy, hogy a B pont egybeessen az Origóval, C x = 0, y = 0, z = 1, R pedig x = 1, y = 0 és z = 1, azaz R a pozitív x tengely irányába nyúlik. Ez a gömb kezdeti vagy referencia orientációja.

a gömb most A Z = 0 síkban bármely folyamatos zárt út mentén gördíthető, nem feltétlenül egyszerűen összekapcsolt út, oly módon, hogy ne csússzon vagy ne forduljon el, így C visszatér x = 0, y = 0, z = 1 értékre. Általában a B pont már nem esik egybe az Origóval, az R pont pedig már nem terjed ki a pozitív x tengely mentén. Valójában egy megfelelő út kiválasztásával a gömb a kezdeti tájolástól a gömb bármely lehetséges tájolásához orientálható, ahol C x = 0, y = 0, z = 1. A rendszer tehát nonholonomikus. Az anholonomiát reprezentálhatja a kétszeresen egyedi kvaternion (q és-q), amely a gömböt képviselő pontokra alkalmazva a B és R pontokat új pozícióikba viszi.

Foucault pendulumEdit

a nemholonómiai rendszer további példája a Foucault-inga. A helyi koordináta keretben az inga függőleges síkban lenget, a földrajzi északhoz képest meghatározott tájolással az út elején. A rendszer implicit pályája a szélességi vonal a Földön, ahol az inga található. Annak ellenére, hogy az inga álló helyzetben van a Föld keretben, a napra vonatkozó keretben mozog, és szinkronban forog a Föld forgási sebességével, így az inga síkjának egyetlen látszólagos mozgása a Föld forgása. Ez utóbbi keretet inerciális referenciakeretnek tekintik, bár finomabb módon is nem inerciális. A Földváz köztudottan nem inerciális, ezt a tényt a centrifugális erők és a Coriolis-erők látszólagos jelenléte teszi érzékelhetővé.

a mozgás a szélességi vonal mentén az idő múlásával paraméterezhető, és a Foucault-inga oszcillációs síkja úgy tűnik, hogy az idő múlásával forog a helyi függőleges tengely körül. Ennek a síknak a forgási szöge egy időben t a kezdeti tájoláshoz képest a rendszer anolonómiája. A teljes szélességi kör által kiváltott anholonomia arányos az adott szélességi kör által lefedett szilárd szöggel. Az útvonalat nem kell korlátozni a szélességi körökre. Például az inga felszerelhető egy repülőgépbe. Az anholonomia továbbra is arányos az út által alárendelt szilárd szöggel, amely most meglehetősen szabálytalan lehet. A Foucault-inga a párhuzamos szállítás fizikai példája.

lineáris polarizált fény egy optikai szálban

Vegyünk egy optikai szál hosszát, mondjuk három métert, és helyezzük el egy teljesen egyenes vonalban. Ha az egyik végén függőlegesen polarizált gerendát vezetünk be, akkor a másik végéből kilép, még mindig függőleges irányban polarizálva. Jelölje meg a szál tetejét egy csíkkal, amely megfelel a függőleges polarizáció tájolásának.

most tekerje szorosan a szálat egy tíz centiméter átmérőjű henger körül. A szál útja most egy hélixet ír le, amelynek a körhöz hasonlóan állandó görbülete van. A hélixnek az az érdekes tulajdonsága is, hogy állandó torzióval rendelkezik. Mint ilyen, az eredmény a szál fokozatos elfordulása a szál tengelye körül, amikor a szál középvonala a spirál mentén halad. Ennek megfelelően a csík a hélix tengelye körül is elfordul.

amikor az egyik végén ismét lineárisan polarizált fényt vezetünk be, a polarizáció orientációja a csíkhoz igazodik, általában lineáris polarizált fényként jelenik meg, amely nem a csíkhoz igazodik, hanem valamilyen rögzített szögben a csíkhoz, a szál hosszától, valamint a spirál hangmagasságától és sugarától függően. Ez a rendszer szintén nonholonomikus, mert könnyedén le tudjuk tekerni a szálat egy második spirálban, és összehangolhatjuk a végeket, visszaadva a fényt a kiindulási pontjára. Az anholonomiát tehát a polarizációs szög eltérése képviseli a szál minden egyes áramkörével. A paraméterek megfelelő beállításával egyértelmű, hogy bármilyen lehetséges szögállapot előállítható.

RoboticsEdit

a robotikában a nonholonomikát különösen a mozgástervezés és a visszacsatolás linearizálásának területén vizsgálták mobil robotok esetében.