Dual Vector Space

The dual vector space to a real vector space is the vector space of linear functions , denoted . In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

i begge tilfeller har det doble vektorrommet samme dimensjon som . Gitt et vektorgrunnlag for det finnes et dobbelt grunnlag for, skrevet, hvor og Er Kronecker-deltaet.

En annen måte å realisere en isomorfisme med er gjennom et indre produkt. Et ekte vektorrom kan ha et symmetrisk indre produkt i hvilket tilfelle en vektor tilsvarer et dobbelt element ved. Da tilsvarer et grunnlag bare sin dobbelte basis hvis det er et orthonormalt grunnlag ,i så fall. Et komplekst vektorrom kan ha Et Hermitiansk indre produkt ,i hvilket tilfelle er en konjugat-lineær isomorfisme av med , dvs., .

Doble vektorrom kan beskrive mange objekter i lineær algebra. Når og er endelige dimensjonale vektorrom, er et element av tensorproduktet , si , tilsvarer den lineære transformasjonen . Det vil si, . Identitetstransformasjonen er for eksempel . En bilineær form på , for eksempel et indre produkt, er et element av .