Shewhart kontroll diagrammer er mye brukt til å vise eksempeldata danner en produksjonsprosess. De har også blitt funnet verdifulle i å evaluere prosess evne, i å estimere prosessparametere, og i å overvåke oppførselen til en produksjonsprosess. En kontroll diagram opprettholdes ved å ta prøver fra en prosess og plotting i tid rekkefølge på diagrammet noen statistikk beregnet form prøvene. Kontrollgrenser på diagrammet representerer grensene der de plottede punktene vil falle med stor sannsynlighet hvis de opererer i kontroll. Et punkt utenfor kontrollgrensene er tatt som en indikasjon på at noe, noen ganger kalt en spesiell årsak til variasjon, har skjedd for å endre prosessen. Når diagrammet signaliserer at en spesiell årsak er til stede, rettes tiltak for å fjerne den spesielle årsaken og bringe prosessen tilbake i kontroll. I tillegg til de vanlige årsakene, som produserer tilfeldig variasjon, kan spesielle årsaker individuelt produsere en betydelig mengde variasjon. Når en spesiell årsak til variasjon er tilstede, er fordelingen av kvalitetsmålingen indeksert av en eller flere parametere, og effekten av tilstedeværelsen av en spesiell årsak er å endre verdiene til disse parametrene. Formålet med et kontrolldiagram er å oppdage spesielle årsaker til variasjon slik at disse årsakene kan bli funnet og eliminert. Fordi en spesiell årsak antas å produsere en parameterendring, kan problemet som et kontrolldiagram brukes til, formuleres som problemet med å overvåke en prosess for å oppdage eventuelle endringer i parametrene for fordelingen av kvalitetsvariabelen.
Utstilling 1. Det Generaliserte Shewhart-Kontrolldiagrammet
Duncan (1956) indikerer at den vanlige praksisen med å opprettholde et kontrolldiagram er å plotte prøven som danner prosessen i forhold til konstante breddekontrollgrenser, si tre-sigma-grenser. I dette papiret undersøkes en endring i standard praksis der prøvetakingskontrollgrensene ikke er faste, men i stedet kan variere etter at prosessen har operert i en periode. Grunnlaget for valg av kontrollgrense bredde er en modell for kostnadene ved drift av diagrammet. Kostnadsmodellen er utviklet for å beskrive den totale kostnaden per tidsenhet for overvåking av gjennomsnittet av en prosess ved hjelp av både standard og generalisert shewhart kontrolldiagram. Kostnadsmodellen er utviklet under forutsetning av at kvalitetskarakteristikken av interesse er normalfordelt med kjent og konstant varians.definisjonen av kostnadsmodellen for standard shewhart-kontrolldiagrammet fortsetter i to trinn som definert av Zou & Nachlas (1993). For det første brukes den ensartede levetidsfordelingen for å beskrive den tilfeldige variabelen t, tiden til et prosessskift. Det antas at prosessen er gjenstand for et skifte fra kontrollverdien av prosessens gjennomsnitt, μ 1, til en ut-av-kontrollverdi, μ 2, på et tilfeldig tidspunkt. Deretter defineres kostnadene ved å bruke et Standard shewhart-kontrolldiagram ved hjelp av fire kostnadsbetingelser. De er (1) Inspeksjonskostnad; (2) Falsk alarmkostnad; (3) Sann signalkostnad; og (4) Kostnaden for å produsere flere avvikende elementer når prosessen er ute av kontroll. I tillegg bestemmes forventet sykluslengde. Deretter bygges den forventede totale kostnaden per tidsenhet som inspeksjonskostnaden pluss forholdet mellom summen av de tre forventede kostnadene og forventet sykluslengde. Definisjonen av den tilsvarende kostnadsmodellen for det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet fortsetter på en lignende måte. Anta at vi planlegger å starte diagrammet med ett sett med kontrollgrenser og endre grensene for å være strammere etter at prosessen har operert i en tidsperiode som er bestemt. Spesielt antar vi at prosessen er prøver hver h-time, og etter mth-prøven endres kontrollgrensene. Dette er illustrert i Vedlegg 1. Målet er å velge de økonomiske verdiene til kostnadsparameteren for å minimere forventet total kostnad. Kostnadsmodellen er konstruert for å tillate det optimale valget av endring over tid og de beste verdiene for de første og justerte kontrollgrensene, og kan derfor øke kontrolldiagramfølsomheten for små, men forventede skift i prosessgjennomsnittet, slik at diagrammet raskt kan oppdage en spesiell årsak og bringe prosessen i kontroll. Kostnadsmodellen brukes også til å gi en sammenligning med konvensjonell implementering Av Shewhart-kontrolldiagrammet for PMBOK® kvalitetsledelse utdanning formål.
Modellutvikling
Anta at en prosess overvåkes ved hjelp av et 
Diagram, og prosessen er gjenstand for et skifte fra kontrollverdien til prosessens gjennomsnitt, μ1, til en ut-av-kontrollverdi, μ2, på et tilfeldig tidspunkt. Anta at tiden til et prosessskift er en tilfeldig variabel Med F (t) = t / θ, (0 <<∞). La N være maksimumsverdien av t, deretter N = θ / h, og anta At N er som heltall. For å konstruere den forventede totale kostnaden per tidsenhet vurderes følgende kostnadskategorier:
1. Ci = prøvetaking og inspeksjonskostnad, enhetskostnad per hendelse = c
2. Cf = falsk alarmkostnad, enhetskostnad per hendelse = c
3. Ct = sann signal-og prosesskorreksjonskostnad, enhetskostnad per hendelse = c
4. Cd = kostnaden for å produsere substandard produkt mens out-of-control, enhetskostnad per vare = c
5. CT = total kostnad per tidsenhet
den forventede totale kostnaden per tidsenhet er da definert som:
Hvor E er forventet sykluslengde (tid til signal). Følgende notater brukes:
μ1 = i-kontroll verdi av prosessen bety
μ2 = ut-av-kontroll verdi av prosessen bety
σx = det som er kjent og konstant standardavviket
UCL = øvre kontroll limit = μ1 + kσx / n1/22
LCL = lavere kontroll limit = μ1 – kσx / n1/2
Ux = øvre spesifikasjonen begrenser
Lx = lavere spesifikasjonen begrenser
p1 = andel ikke-konform når μ = μ1
p2 = andel ikke-konform når μ = μ2
p = p1 – p2
h = tid mellom prøvene
r = produksjonsraten i enheter/time
n = antall elementer inspisert per sample
m = antall prøver før du endrer kontroll grenser
δ = antall enheter av σx fra μ1 å μ2
k1 = antall σx /n1/2 av fra μ1 til UCL før prøven mh
k2 = antall σx /n1/2 av fra μ1 til UCL etter eksempel mh
α = den typen jeg feil sannsynlighet
β = type II-feil sannsynlighet
Beslutningen om variablene er n, h, m, k1 og k2. De optimale verdiene for beslutningsvariablene velges for å minimere forventet totalkostnad per tidsenhet.
(1) Inspeksjonskostnad = Ci = {fast kostnad + (enhetskostnad) (antall inspisert)} / {tid mellom prøver}, derfor:
Utstilling 2. Tidsintervaller Som Involverer T og tp
merk at inspeksjonskostnaden er den samme for både standard-og Generalisert shewhart-kontrolldiagram.
(2) Falsk alarmkostnad = Cf = (enhetskostnad)(sannsynlighet for falsk alarm) = cf p.
La A = «falsk alarm», A1 = «falsk alarm på prøve I,» A2 = «ingen prosessskift før prøve I», så er sannsynligheten for falsk alarm konstruert som:
dermed er falsk alarmkostnad:
sannsynligheten For Falsk alarm for det generaliserte Shewhart-Kontrolldiagrammet er ganske forskjellig fra det vanlige Kontrolldiagrammet. Vi må vurdere t ≤ mh eller t > mh separat. Dermed:
Derfor:
(3) Sann signalkostnad = Ct = (enhetskostnad) (sannsynlighet for et sant signal) = ctP.
La B = «true signal,» B1= «prosess skift i intervall j», B2 = «ingen falsk alarm på fortsetter j-1 prøver,» så uttrykket For P er:
dermed har den sanne signal kostnaden følgende form:
sannsynligheten for sann signal for det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet er definert som:
Således:
(4) Kostnader for å produsere avvikende elementer når prosessen er ute av kontroll = Cd = (enhetskostnad)(produksjonshastighet)(økning i andel avvikende)(forventet tid ute av kontroll).
tidsintervallene på dette trinnet kan gjennomgås I Vedlegg 2.
E = E + E = E + E. Merk at delen av intervallet før prosessskiftet kan skrives Som T = t – jh, derfor:
Deretter:
Endelig:
E Er det samme for det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet, Men E er litt annerledes da identifiseringen av intervallet der skiftet skjer, påvirker signalets sannsynlighet. Dermed:
Derfor:
(4) La E1 = «falsk alarm på prøve j og ingen prosess skift før prøve j,» E2 = «prosess skift under intervall s, ingen falsk alarm før intervaller, og sant signal på prøve j (j-s+1.etter skift).»Da er uttrykket for forventet sykluslengde:
forventet sykluslengde for det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet må også gjenspeile forskjeller i signalhendelser før og etter mh. E(g) kan skrives som:
Derfor:
Modellanalyse
Dommer til kostnadsmodellen utviklet tidligere, er kostnadsbetingelsene funksjoner av beslutningsvariablene, kostnadsparametrene og fordelingsparameteren. To av beslutningsverdiene til m og n er begrenset til å være heltall, mens k1 og k2 kan ta reelle verdier. Som Montgomery (1980) indikerer at en samplingsfrekvens på en time er vanlig for mange kontrolldiagrammer, brukes h = en tidsenhet. Oppførselen til kostnadsmodellen analyseres numerisk. Gino (Lasdon & Warren, 1985) brukes til å undersøke oppførselen til kostnadsmodellen over rimelige parametersett, og GENERALISERT redusert gradient (GRG) – algoritmen brukes til å forsøke å minimere forventet total kostnad per tidsenhet for disse parametersettene. Parameterområdene som er evaluert, er oppført nedenfor.
(1) θ ∈ (8, 200)
(2) δ = 0.522, størrelsen på skiftet i gjennomsnittet når et skifte oppstår. Denne verdien er valgt fordi tilsvarer en økning i andelen avvikende fra 0,01 til 0,02.
(3) ki = 1.0; 5.0
(4) cd ∈ (1, 10)
(5) cf = 100
(6) r = 200, produksjonshastigheten
(7) ct = 10
de ovennevnte parameterområdene definerer scenariene under hvilke den økonomiske ytelsen til standarden og det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet undersøkes. Den numeriske analysen av oppførselen til forventet total kostnad per tidsenhet med hensyn til beslutningsvariablene for en familie av parameterområdene undersøkes.
den forventede totalkostnaden per tidsenhet er konveks i k for alle områder av de andre parameterne. Små verdier av k skaper store forventede totale kostnader fordi et overdreven antall falske alarmer er gitt. Dette kan dominere enhver kostnadsbesparelse på grunn av rask skiftdeteksjon. Mellomliggende verdier av k gir den minste forventede totale kostnaden fordi de balanserer kostnadene ved avvikende produksjon mot falsk alarmkostnad. Store verdier av k gir reduserte skiftdeteksjonssannsynligheter og dermed stadig større avvikende produksjonskostnader. Den totale effekten er at forventet kostnad reduseres til et minimum og deretter stiger igjen etter hvert som k øker.
den forventede totalkostnadsfunksjonen er også konveks i n for alle områder av de andre parameterne. Små verdier av n innebærer lave prøvetakingskostnader, men høye avvikskostnader siden skift ikke oppdages raskt. Mellomliggende verdier av n balanserer prøvetakingskostnaden mot den avvikende produktkostnaden for å oppnå den laveste forventede totalkostnaden. Store verdier av n innebærer store prøvetakingskostnader, noe som kan dominere besparelsene i avvikende produktkostnader oppnådd gjennom større deteksjonssannsynligheter. Disse tolkningene varierer avhengig av den relative betydningen av hver kostnadskategori, men den samlede effekten er at den forventede totalkostnadsfunksjonen er konveks i n.
resultatene ovenfor for n og k forventes for standard shewhart-kontrolldiagrammer generelt og bekreftes for generaliserte shewhart-kontrolldiagrammer. Det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet har funksjoner som standard shewhart-kontrolldiagrammet ikke har. Egenskapene som følge av disse ekstra funksjonene er nå utforsket.
modelladferd i forhold til beslutningsvariabelen m, k1 og k2 er preget av tre tilfeller. De relative størrelsene til kostnadsparametrene bestemmer i hvert tilfelle hvilken oppførsel som observeres. I tilfelle EN, den forventede totale kostnaden PER tidsenhet CT, viser konveks oppførsel i hver av beslutningsvariablene m, k1 og k2, og et minimum forekommer i det indre av den konvekse gjennomførbare regionen. Dette betyr at minimumskostnadskontrolldiagrammet er en form for generalisert shewhart-kontrolldiagram. I tilfelle to ER CT fortsatt konveks, men den har et minimum som svarer til en grense på m = 0 og k2 = k1, og det øker strengt i hver av disse variablene. Dette betyr at minimumskostnadskontrolldiagrammet er et Standard shewhart-kontrolldiagram uten endringer i kontrollgrenser. I tilfelle tre, REDUSERES CT strengt i både m og k2 og har et minimum ved grensen k1 = k2 og m = ∞. Dette innebærer at minimumskostnadskontrolldiagrammet er et standard shewhart-kontrolldiagram uten endringer i kontrollgrenser.
Konklusjon
analysen presentert ovenfor gir flere interessante poeng. Den første av disse er at analysen av kostnadene ved å drive en hvilken som helst type kontrolldiagram bør behandles svært nøye, da kostnadsfunksjonen kanskje ikke alltid har den vanlige antatte regelmessigheten. Valget av kostnadskoeffisienter, tidspunktet for skiftfordeling og distribusjonsparametere har direkte innflytelse på ytelsen til forventet total kostnad per tidsenhet. De viktige resultatene av den utførte analysen viser at det generaliserte Shewhart-diagrammet for midler kan være økonomisk attraktivt når inspeksjonskostnaden, den sanne signalkostnaden og den ikke-konformerende kostnaden sammen balanserer forventet sykluslengde og falsk alarmkostnad. Når dette er tilfelle, er den forventede totale kostnaden per tidsenhet konveks med et indre minimum og en mulighet for optimalisering av det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet. Når en eller flere av modellbetingelsene dominerer de andre, vil den forventede totale kostnaden per tidsenhet vise samme økende eller avtagende oppførsel som den dominerende faktoren, og den generaliserte kostnadsmodellen som studert i dette papiret vil være uattraktiv.
den andre konklusjonen er at alle modellparametere og variabler er viktige for forventet total kostnad per tidsenhet. Kontrollgrensene k1 og k2 har stor effekt enn fordelingsparameteren θ og k2 har større effekt enn k1. Det er også sant at prøvestørrelsen, n og tidspunktet for endringen i bredden på kontrollgrensene, m, forbedrer effekten av fordelingsparameteren, K1 og k2.
den endelige konklusjonen er at det er kontrolldiagramapplikasjoner som kostnadsmodellen er nyttig for. Verdier av produksjonsprosessen parametere som viser mer vanlig forekommende relasjoner fører til generalisert shewhart kontroll diagrammet har lavere kostnader enn tilsvarende standard Shewhart kontroll diagrammet. For eksemplet som er analysert ovenfor, er den optimale besparelsen $ 0,22 per produsert vare. Siden produksjonshastigheten antatt er 200 / time, sparer $44 per time. Denne besparelsen er dramatisk, og derfor er det generaliserte shewhart-kontrolldiagrammet verdt å forfølge.