Ikke-holonomisk system

Rullende hjulrediger

et hjul (noen ganger visualisert som en enhjuling eller en rullende mynt) er et ikke-holonomisk system.

Lekmanns forklaringrediger

Vurder hjulet på en sykkel som er parkert på et bestemt sted (på bakken). I utgangspunktet er inflasjonsventilen i en bestemt posisjon på hjulet. Hvis sykkelen er ridd rundt, og deretter parkert på nøyaktig samme sted, vil ventilen nesten ikke være i samme posisjon som før. Den nye posisjonen avhenger av banen som er tatt. Hvis hjulet var holonomic, ville ventilstammen alltid ende opp i samme posisjon så lenge hjulet alltid ble rullet tilbake til samme sted på Jorden. Klart, men dette er ikke tilfelle, så systemet er nonholonomic.

Matematisk forklaringrediger

et individ som kjører en motorisert enhjuling. Konfigurasjonsområdet til enhjulet, og radiusen r {\displaystyle r}

av hjulet, er merket. De røde og blå linjene lå på bakken.

det er mulig å modellere hjulet matematisk med et system av begrensningsligninger, og deretter bevise at dette systemet er ikke-holonomisk.

først definerer vi konfigurasjonsområdet. Hjulet kan endre tilstanden på tre måter: å ha en annen rotasjon om akselen, ha en annen styrevinkel og være på et annet sted. Vi kan si at ϕ {\displaystyle \phi }

er rotasjonen om akselen, θ {\displaystyle \theta }

er styrevinkelen i forhold til x {\displaystyle x}

-akse, og x {\displaystyle x}

og y {\displaystyle y}

definer den romlige posisjonen. Dermed er konfigurasjonsområdet: u → = t {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\beginn{bmatrix}x&y&\phi\end{bmatrix}}^{\mathrm {T}}}

vi må nå relatere disse variablene til hverandre. Vi merker at når hjulet endrer rotasjonen, endrer det posisjonen. Vi forsøker å forholde vinkelhastighet og styrevinkel til lineære hastigheter ved å ta enkle tidsderivater av de aktuelle vilkårene:

( x y ) = ( r ϕ cos ⁡ θ r ϕ sin ⁡ θ ) {\displaystyle \venstre({\beginn{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\høyre)=\venstre({\beginn{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\høyre)}

hastigheten i x {\displaystyle x}

retning er lik vinkelhastighetstidene radius ganger cosinus av styrevinkelen, og y {\displaystyle y}

hastigheten er lik. Nå gjør vi noen algebraisk manipulasjon for å transformere ligningen Til Pfaffian form så det er mulig å teste om det er holonomic. ( x − r ϕ cos\dot {\phi}}\cos\theta\\{\phi}} − r {\dot {\phi}} \cos\theta\\{\dot {y}}-r {\dot {\phi}}\sin\theta\end {array} \høyre) = {\overrightarrow {0}}}

la oss skille variablene fra deres koeffisienter (venstre side av ligningen, avledet ovenfra). Vi innser også at vi kan multiplisere alle termer med d t {\displaystyle {\text {d}}t}

så vi ender opp med bare differensialene (høyre side av ligningen): ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ) (x y θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos ⁡ θ 0 1 0 − r sin ⁡ θ ) ( d x d y d θ d ϕ ) {\displaystyle \venstre({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\høyre)\venstre({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {y}} \\{\dot{\theta}}\\{\dot {y}} \ \ {\dot {\theta}} \ \ {\dot dot {\phi}} \ end {array}} \ høyre)={\overrightarrow {0}}= \ venstre ({\begin {array} {c} 1&&&&&&-r\sin \theta \end{array}} \høyre)\venstre ({\begin{array}{c} {\text{d}}y\\{\text{d}}\theta\\{\text{d}}\phi\end {array}}\høyre)}

høyre side av ligningen er nå I Pfaffian form:

∑ s = 1 N A r s d u s = 0 ; r = 1 , 2 {\displaystyle \sum _{s=1}^{n} a_{rs} du_{s}=0;\; r=1,2}

vi bruker nå den universelle testen for holonomiske begrensninger. Hvis dette systemet var holonomisk, må vi kanskje gjøre opptil åtte tester. Vi kan imidlertid bruke matematisk intuisjon for å prøve vårt beste for å bevise at systemet er ikke-holonomisk på den første testen. Med tanke på testligningen er:

Et γ – ( ∂ A β ∂ u α − ∂ A α ∂ u β ) + En β ( ∂ A α ∂ γ u − ∂ A γ ∂ u α ) + A α ( ∂ A γ ∂ β u − ∂ A β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\delvis A_{\beta }}{\delvis u_{\alpha }}}-{\frac {\delvis A_{\alpha }}{\delvis u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\delvis A_{\alpha }}{\delvis u_{\gamma }}}-{\frac {\delvis A_{\gamma }}{\delvis u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\delvis A_{\gamma }}{\delvis u_{\beta }}}-{\frac {\delvis A_{\beta }}{\delvis u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

vi kan se at hvis noen av begrepene a α {\displaystyle a_ {\alpha}}

, en β {\displaystyle A_ {\beta }}

, eller en γ {\displaystyle a_{\gamma }}

var null, at den delen av testligningen ville være triviell å løse og ville være lik null. Derfor er det ofte best praksis å få den første testligningen til å ha så mange ikke-null-termer som mulig for å maksimere sjansen for at summen av dem ikke tilsvarer null. Derfor velger vi: Den α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

Den β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

Den γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d ϕ {\displaystyle u_ {\gamma } = d \ phi }

vi erstatter i vår testligning:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\delvis }{\delvis x}}(0)-{\frac {\delvis }{\delvis \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\delvis }{\delvis \phi }}(1)-{\frac {\delvis }{\delvis x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\delvis }{\delvis \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\delvis }{\delvis \phi }}(0){\bigg )}=0}

og forenkle:

r sin\theta = 0 {\displaystyle r \sin\theta =0}

sin \theta er ikke alltid lik null.

Ytterligere konklusjonerrediger

vi har fullført vårt bevis på at systemet er ikke-holonomisk, men vår testligning ga oss litt innsikt om hvorvidt systemet, hvis det er ytterligere begrenset, kan være holonomisk. Mange ganger vil testligninger returnere et resultat som − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}

antyder at systemet aldri kunne begrenses til å være holonomisk uten radikalt å endre systemet, men i vårt resultat kan vi se at r sin\theta }

kan være lik null, på to forskjellige måter:

• r {\displaystyle r}
  

  , hjulets radius, kan være null. Dette er ikke nyttig som systemet ville miste alle sine grader av frihet.

• sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta}
  

  kan være null ved å sette θ {\displaystyle \theta}

  

  lik null. Dette innebærer at hvis hjulet ikke fikk lov til å snu og måtte bevege seg bare i en rett linje til enhver tid, ville det være et holonomisk system.

Det er en ting som vi ennå ikke har vurdert, men for å finne alle slike modifikasjoner for et system, må man utføre alle åtte testligninger (fire fra hver begrensningsligning) og samle alle feilene for å samle alle krav for å gjøre systemet holonomisk, om mulig. I dette systemet, ut av de syv ekstra testligningene, presenterer en ekstra sak seg selv:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

Dette ikke utgjøre mye problemer, men, som å legge til formler og deling av r {\displaystyle r}

resultater i: synd ⁡ θ − cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \synd \theta -\cos \theta =0}

som har løsningen θ = π 4 + n π. n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n \ i \ mathbb {Z} }

Referer til lekmannens forklaring ovenfor der det er sagt, » ny posisjon avhenger av banen tatt. Hvis hjulet var holonomic, ville ventilstammen alltid ende opp i samme posisjon så lenge hjulet alltid ble rullet tilbake til samme sted på Jorden. Klart, men dette er ikke tilfelle, så systemet er nonholonomic.»Men det er lett å visualisere at hvis hjulet bare fikk lov til å rulle i en perfekt rett linje og tilbake, ville ventilstammen ende opp i samme posisjon! Faktisk er det ikke nødvendig å bevege seg parallelt med den gitte vinkelen til π {\displaystyle \pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

i den virkelige verden, da orienteringen til koordinatsystemet selv er vilkårlig. Systemet kan bli holonomisk hvis hjulet bare beveger seg i en rett linje i en fast vinkel i forhold til en gitt referanse. Dermed har vi ikke bare bevist at det opprinnelige systemet er ikke-holonomisk, men vi kunne også finne en begrensning som kan legges til systemet for å gjøre det holonomisk.

Rolling sphereEdit

dette eksemplet er en forlengelse av’ rolling wheel ‘ problemet vurdert ovenfor.

Tenk på en tredimensjonal ortogonal Kartesisk koordinatramme, for eksempel en bordplate med et punkt merket på den for opprinnelsen, og x-og y-aksene lagt ut med blyantlinjer. Ta en sfære av enhetsradius, for eksempel en pingpongkule, og merk ett punkt B i blått. Tilsvarende dette punktet er en diameter av sfæren, og flyet ortogonalt til denne diameteren plassert i sentrum C av sfæren definerer en stor sirkel kalt ekvator forbundet Med punkt B. på denne ekvator, velg et annet punkt R og merk det i rødt. Plasser sfæren på z = 0-planet slik at punktet B er sammenfallende med opprinnelsen, C er plassert ved x = 0, y = 0, z = 1, Og R er plassert ved x = 1, y = 0 og z = 1, dvs. r strekker seg i retning av den positive x-aksen. Dette er den første eller referanseorienteringen til sfæren.

sfæren kan nå rulles langs en kontinuerlig lukket bane i z = 0-planet, ikke nødvendigvis en enkelt tilkoblet bane, på en slik måte at Den verken glir eller vrir seg, Slik At C vender tilbake til x = 0, y = 0, z = 1. Generelt er punkt B ikke lenger sammenfallende med opprinnelsen, og punkt R strekker seg ikke lenger langs den positive x-aksen. Faktisk, ved valg av en egnet bane, kan sfæren bli re-orientert fra den opprinnelige orienteringen til enhver mulig orientering av sfæren Med C plassert ved x = 0, y = 0, z = 1. Systemet er derfor ikke-holonomisk. Anholonomien kan representeres av den dobbelt unike quaternion (q og-q) som, når den brukes på punktene som representerer sfæren, bærer poeng B og R til deres nye posisjoner.

Foucault pendulumEdit

et ekstra eksempel på et ikke-holonomisk system er Foucaultpendelen. I den lokale koordinatrammen svinger pendelen i et vertikalplan med en bestemt orientering med hensyn til geografisk nord i begynnelsen av banen. Den implisitte bane av systemet er breddegraden på Jorden der pendelen befinner seg. Selv om pendelen er stasjonær i Jordrammen, beveger den seg i en ramme som refereres Til Solen og roterer i synkronisering med Jordens revolusjonshastighet, slik at den eneste tilsynelatende bevegelsen til pendelplanet er den som skyldes jordens rotasjon. Denne sistnevnte rammen anses å være en inertial referanseramme, selv om den også er ikke-inertial på mer subtile måter. Jordrammen er velkjent for å være ikke-treghet, et faktum som oppfattes av den tilsynelatende tilstedeværelsen av sentrifugalkrefter og Corioliskrefter.Bevegelse langs breddegraden parameteriseres av tidens gang, Og Foucaults svingningsplan ser ut til å rotere om den lokale vertikale aksen etter hvert som tiden går. Rotasjonsvinkelen til dette planet om gangen t med hensyn til den opprinnelige orienteringen er anholonomien til systemet. Anholonomien indusert av en komplett krets av breddegrad er proporsjonal med den faste vinkelen subtended av den sirkelen av breddegrad. Banen trenger ikke være begrenset til breddegrad sirkler. For eksempel kan pendelen være montert i et fly. Anholonomien er fortsatt proporsjonal med den faste vinkelen subtended av banen, som nå kan være ganske uregelmessig. Foucaults pendel er et fysisk eksempel på parallell transport.

Lineært polarisert lys i en optisk fiberrediger

Ta en lengde av optisk fiber, si tre meter, og legg den ut i en helt rett linje. Når en vertikalt polarisert stråle innføres i den ene enden, kommer den fra den andre enden, fortsatt polarisert i vertikal retning. Merk toppen av fiberen med en stripe, som svarer til orienteringen av den vertikale polarisasjonen.

nå spole fiberen tett rundt en sylinder ti centimeter i diameter. Banen til fiberen beskriver nå en helix som, som sirkelen, har konstant krumning. Helixen har også den interessante egenskapen til å ha konstant vridning. Som sådan er resultatet en gradvis rotasjon av fiberen om fiberens akse når fiberens midtlinje utvikler seg langs helixen. Tilsvarende vrider stripen også om helixens akse.når lineært polarisert lys igjen innføres i den ene enden, med retningen av polarisasjonen justert med stripen, vil det generelt fremstå som lineært polarisert lys justert ikke med stripen, men i en fast vinkel mot stripen, avhengig av fiberens lengde og helixens tonehøyde og radius. Dette systemet er også ikke-holonomisk, for vi kan enkelt spole fiberen ned i en andre helix og justere endene, og returnere lyset til opprinnelsesstedet. Anholonomien er derfor representert ved avviket av polarisasjonsvinkelen med hver krets av fiberen. Ved egnet justering av parametrene er det klart at enhver mulig vinkeltilstand kan produseres.

RoboticsEdit

i robotikk, har nonholonomic blitt spesielt studert i omfanget av bevegelse planlegging og tilbakemelding linearisering for mobile roboter.