wheelEdit
uma roda (às vezes visualizada como um monociclo ou uma moeda rolante) é um sistema não-econômico.
a explicação de leigo
considere a roda de uma bicicleta que está estacionada em um determinado lugar (no chão). Inicialmente, a válvula de inflação está em uma certa posição sobre a roda. Se a bicicleta for rodeada, e depois estacionada exatamente no mesmo lugar, a válvula quase certamente não estará na mesma posição que antes. A sua nova posição depende do caminho percorrido. Se a roda fosse holonômica, então a haste da válvula acabaria sempre na mesma posição, desde que a roda fosse sempre rolada de volta para o mesmo local na Terra. Claramente, no entanto, não é o caso, por isso o sistema não éholonômico.
Matemática explanationEdit
da roda, estão marcados. As linhas vermelhas e azuis estavam no chão.
é possível modelar a roda matematicamente com um sistema de equações de restrição, e então provar que esse sistema não éholonômico.
primeiro, definimos o espaço de configuração. A roda pode mudar seu estado de três maneiras: ter uma rotação diferente sobre seu eixo, ter um ângulo de direção diferente, e estar em um local diferente. Podemos dizer que ϕ {\displaystyle \phi }
é a rotação sobre o eixo, θ {\displaystyle \theta }
é o ângulo de direcção em relação à x {\displaystyle x}
eixo x e {\displaystyle x}
e y {\displaystyle y}
definir a posição espacial. Assim, o espaço de configuração é: u → = T {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}
agora Temos de relacionar essas variáveis para o outro. Notamos que à medida que a roda muda de rotação, ela muda de posição. A mudança de rotação e posição que implica velocidades deve estar presente, tentamos relacionar velocidade angular e ângulo de direção com velocidades lineares, tomando simples derivados do tempo dos Termos apropriados:
( x, y ) = ( r cos ϕ θ r sin ϕ θ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}
A velocidade em x {\displaystyle x}
direção é igual à velocidade angular vezes o raio vezes o cosseno do ângulo de direcção, e a velocidade y {\displaystyle y}
yé semelhante. Agora nós fazemos alguma manipulação algébrica para transformar a equação em forma Pfaffiana para que seja possível testar se ela é holonômica. ( x − r, ϕ cos θ y − r sin ϕ θ ) = 0 → {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}-i{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-i{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}}
Vamos separar as variáveis a partir de seus coeficientes (lado esquerdo da equação, derivada a partir de cima). Sabemos também que podemos multiplicar todos os termos por d t {\displaystyle {\text{d}}t}
assim acabamos com apenas os diferenciais (lado direito da equação): ( 1 0 0 − r cos θ 0 1 0 − r sin θ ) ( x y θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos θ 0 1 0 − r sin θ ) d x d y d θ d ϕ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{array}}\right)}
O lado direito da equação é agora em Pfaffian formulário:
∑ s = 1 n A r d o s u s = 0 ; i = 1 , 2 {\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}
agora utilização universal de teste para holonómico restrições. Se este sistema fosse holonômico, teríamos que fazer até oito testes. No entanto, podemos usar a intuição matemática para tentar o nosso melhor para provar que o sistema não éholonômico no primeiro teste. Considerando que a equação de ensaio é::
γ ( ∂ β ∂ u α − ∂ A α ∂ u β ) + β ( ∂ A α ∂ u γ ∂ Uma γ ∂ u α ) + A α ( ∂ Uma γ ∂ u − β ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}
podemos ver que, se qualquer um dos termos de Um α {\displaystyle A_{\alpha }}
, β {\displaystyle A_{\beta }}
, ou Um γ {\displaystyle A_{\gamma }}
foram zero, que essa parte do teste equação seria trivial para resolver e gostaria de ser igual a zero. Portanto, muitas vezes é melhor prática ter a primeira equação de teste com tantos termos não-zero quanto possível para maximizar a chance da soma deles não igualando zero. Portanto, escolhemos: A α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}
β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}
A γ = − r cos θ {\displaystyle A_{\gamma } =r\cos \theta }
u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}
u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }
u γ = d ϕ {\displaystyle u_ {\gamma }=d\phi }
substituímos na nossa equação de teste:
( − r cos θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}
e simplificar:
r pecado θ = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}
podemos ver facilmente que este sistema, como descrito, é nonholonomic, porque o pecado θ {\displaystyle \sin \theta }
não é sempre igual a zero.
Adicionais conclusionsEdit
Nós completamos a nossa prova de que o sistema é nonholonomic, mas nosso teste equação nos deu algumas pistas sobre como se o sistema, se mais restrita, poderia ser holonómico. Muitas vezes o teste de equações irá retornar um resultado como − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}
implicando que o sistema nunca poderá ser constrangido a ser holonómico sem alterando radicalmente o sistema, mas em nossos resultados, podemos ver que r pecado θ {\displaystyle r\sin \theta }
pode ser igual a zero, de duas maneiras diferentes:
- r {\displaystyle r}
, o raio da roda, pode ser zero. Isso não é útil, pois o sistema perderia todos os seus graus de liberdade.
- o pecado θ {\displaystyle \sin \theta }
pode ser zero, por definição θ {\displaystyle \theta }
igual a zero. Isto implica que se a roda não fosse autorizada a girar e tivesse que se mover apenas em uma linha reta em todos os momentos, seria um sistema holonômico.
Há uma coisa que nós ainda não considerados no entanto, que para encontrar todas essas modificações para um sistema, deve-se executar todas as oito teste equações (quatro de cada equação da restrição) e recolher todas as falhas de reunir todos os requisitos para tornar o sistema holonómico, se possível. Neste sistema, das sete equações de ensaio adicionais, apresenta-se um caso adicional.:
− r cos θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}
Isso não representa muita dificuldade, no entanto, como a adição de equações e dividindo por r {\displaystyle r}
resultados em: sin θ − cos θ = 0 {\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}
o que tem a solução θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} }
voltar para o leigo, a explicação acima, onde é dito: “nova posição depende do caminho percorrido. Se a roda fosse holonômica, então a haste da válvula acabaria sempre na mesma posição, desde que a roda fosse sempre rolada de volta para o mesmo local na Terra. Claramente, no entanto, não é o caso, por isso o sistema não éholonômico.”No entanto, é fácil visualizar que se a roda apenas fosse autorizada a rolar em uma linha perfeitamente reta e para trás, a haste da válvula acabaria na mesma posição! Na verdade, movem-se paralelamente a um dado ângulo de π {\displaystyle \pi }
/ 4 {\displaystyle 4}
não é realmente necessário no mundo real e a orientação do sistema de coordenadas em si é arbitrária. O sistema pode tornar-se holonômico se a roda se mover apenas em uma linha reta em qualquer ângulo fixo em relação a uma dada referência. Assim, não só provamos que o sistema original não éholonômico, mas também conseguimos encontrar uma restrição que pode ser adicionada ao sistema para torná-lo holonômico. este exemplo é uma extensão do problema da “roda rolante” considerado acima.
considere uma estrutura de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais, por exemplo, uma tabela de nível superior com um ponto marcado nela para a origem, e os eixos x e y dispostos com linhas de lápis. Pegue uma esfera de raio de unidade, por exemplo, uma bola de pingue-pongue, e marque um ponto B em azul. Correspondente a esse ponto é um diâmetro da esfera e o plano ortogonal a este diâmetro posicionada no centro C da esfera define um grande círculo chamado de equador associado com o ponto B. neste equador, selecione outro ponto de R e marcar em vermelho. Posicionar a esfera no plano z = 0 tal que o ponto B seja coincidente com a origem, C está localizado em x = 0, y = 0, z = 1, e R está localizado em x = 1, y = 0, e z = 1, ou seja, R se estende na direção do eixo x positivo. Esta é a orientação inicial ou de referência da esfera.
a esfera pode agora ser rolada ao longo de qualquer caminho fechado contínuo no plano z = 0, não necessariamente um caminho simplesmente conectado, de tal forma que não escorregue nem gira, de modo que C retorna a x = 0, y = 0, z = 1. Em geral, o ponto B já não coincide com a origem, e o ponto R já não se estende ao longo do eixo x positivo. De fato, por seleção de um caminho adequado, a esfera pode ser reorientada da orientação inicial para qualquer orientação possível da esfera com C localizado em x = 0, y = 0, z = 1. O sistema é, portanto, nãoholonômico. A anholonomia pode ser representada pelo quaternion duplamente único (q e −q) Que, quando aplicado aos pontos que representam a esfera, transporta pontos B E R para suas novas posições.
Foucault pendulumEdit
um exemplo adicional de um sistema nãoholonômico é o pêndulo de Foucault. No quadro de coordenadas local, o pêndulo está a balançar num plano vertical com uma orientação específica em relação ao norte geográfico no início do percurso. A trajetória implícita do sistema é a linha de latitude na terra onde o pêndulo está localizado. Mesmo que o pêndulo esteja estacionário no quadro da Terra, Ele está se movendo em um quadro referido ao sol e girando em sincronia com a taxa de revolução da terra, de modo que o único movimento aparente do plano do pêndulo é aquele causado pela rotação da Terra. Este último quadro é considerado um referencial inercial, embora também seja não inercial de formas mais sutis. O quadro da Terra é bem conhecido por ser não-inercial, um fato perceptível pela presença aparente de forças centrífugas e forças de Coriolis.
O movimento ao longo da linha de latitude é parametrizado pela passagem do tempo, e o plano de oscilação do pêndulo de Foucault parece girar em torno do eixo vertical local à medida que o tempo passa. O ângulo de rotação deste plano em um momento t em relação à orientação inicial é a anholonomia do sistema. A anholonomia induzida por um circuito completo de latitude é proporcional ao ângulo sólido subtendido por esse círculo de latitude. O caminho não precisa ser restringido a círculos de latitude. Por exemplo, o pêndulo pode ser montado em um avião. A anholonomia ainda é proporcional ao ângulo sólido subtendido pelo caminho, que pode agora ser bastante irregular. O pêndulo de Foucault é um exemplo físico de transporte paralelo.
luz polarizada Linear em um fiberEdit óptico
pegue um comprimento de fibra óptica, digamos três metros, e colocá-lo em uma linha absolutamente reta. Quando um feixe verticalmente polarizado é introduzido em uma extremidade, ele emerge da outra extremidade, ainda polarizado na direção vertical. Marque o topo da fibra com uma risca, correspondente à orientação da polarização vertical.agora, enrole a fibra firmemente em torno de um cilindro com dez centímetros de diâmetro. O caminho da fibra agora descreve uma hélice que, como o círculo, tem curvatura constante. A hélice também tem a interessante propriedade de ter torção constante. Como tal, o resultado é uma rotação gradual da fibra sobre o eixo da fibra à medida que a linha central da fibra progride ao longo da hélice. Correspondentemente, a faixa também gira em torno do eixo da hélice.
Quando linearmente polarizada luz é novamente introduzida em uma extremidade, com a orientação da polarização alinhada com a faixa, que vai, em geral, emergem como linear luz polarizada não alinhados com a faixa, mas em algum ângulo fixo para a faixa, dependente do comprimento da fibra, e o pitch e o raio da hélice. Este sistema também não éholonômico, pois podemos facilmente enrolar a fibra em uma segunda hélice e alinhar as extremidades, devolvendo a luz ao seu ponto de origem. A anholonomia é, portanto, representada pelo desvio do ângulo de polarização com cada circuito da fibra. Por ajuste adequado dos parâmetros, é claro que qualquer possível Estado angular pode ser produzido.
RoboticsEdit
em robótica, não-halonômica tem sido particularmente estudada no âmbito do planejamento de movimento e linearização de feedback para Robôs móveis.