Shewhart gráficos de controle são amplamente utilizados para exibir dados de amostra formam um processo de produção. Eles também foram considerados valiosos na avaliação da capacidade do processo, na estimativa dos parâmetros do processo e no monitoramento do comportamento de um processo de produção. Um gráfico de controle é mantido, recolhendo amostras de um processo e traçando em ordem de tempo no gráfico algumas estatísticas computadas formam as amostras. Limites de controle no gráfico representam os limites dentro dos quais os pontos plotados cairiam com alta probabilidade se o operacional em controle. Um ponto fora dos limites de controle é tomado como uma indicação de que algo, às vezes chamado de uma causa especial de variação, aconteceu para mudar o processo. Quando o gráfico sinaliza que uma causa especial está presente, a ação retificadora é tomada para remover a causa especial e trazer o processo de volta ao controle. Além das causas comuns, que produzem variação aleatória, causas especiais podem individualmente produzir uma quantidade substancial de variação. Quando uma causa especial de variação está presente, a distribuição da métrica de qualidade é indexada por um ou mais parâmetros e o efeito da presença de uma causa especial é Alterar os valores desses parâmetros. O objetivo de um gráfico de controle é detectar causas especiais de variação para que essas causas possam ser encontradas e eliminadas. Porque uma causa especial é considerado para produzir uma alteração de parâmetro, o problema para o qual um gráfico de controle é utilizado pode ser formulado como o problema de monitoramento de um processo para detectar quaisquer alterações nos parâmetros da distribuição da qualidade variável.
exibe 1. The Generalized Shewhart Control Chart
Duncan (1956) indicates that the usual practice in maintaining a control chart is to plot the sample form the process relative to constant width control limits, say three-sigma limits. Neste artigo, investiga-se uma alteração à prática corrente em que os limites de controlo da amostragem não são fixados, podendo, em vez disso, variar após o processo ter funcionado durante um período de tempo. A base de escolha da largura limite de controle é um modelo para o custo de operação do gráfico. O modelo de custo é desenvolvido para descrever o custo total por unidade de tempo de monitoramento da média de um processo usando tanto o padrão como o gráfico de controle Shewhart generalizado. O modelo de custo é desenvolvido no pressuposto de que a característica de qualidade de interesse é normalmente distribuída com variância conhecida e constante.
A definição do modelo de custo para o gráfico de controlo Shewhart padrão prossegue em duas fases, tal como definido por Zou & Nachlas (1993). Em primeiro lugar, a distribuição uniforme ao longo da vida é empregada para descrever a variável aleatória t, o tempo até uma mudança de processo. Assume-se que o processo está sujeito a uma mudança do valor em controle da média do processo, μ1, para um valor fora de controle, μ2, em um ponto aleatório no tempo. Em seguida, o custo de operar um gráfico de controle Shewhart padrão é definido usando quatro termos de custo. Trata-se (1) do custo da Inspecção; (2) do custo do falso alarme; (3) do custo do sinal verdadeiro; e (4) do custo da produção de artigos adicionais não conformes quando o processo está fora de controlo. Além disso, determina-se a duração prevista do ciclo. Em seguida, o custo total esperado por unidade de tempo é construído como o custo de inspeção mais o rácio da soma dos Três custos esperados para a duração do ciclo esperado. A definição do modelo de custo correspondente para o gráfico de controle Shewhart generalizado prossegue de forma semelhante. Suponha que planejamos iniciar o gráfico com um conjunto de limites de controle e mudar os limites para ser mais apertado após o processo ter funcionado por um período de tempo que é determinado. Especificamente, assumimos que o processo são amostras a cada h horas e depois da amostra mth os limites de controle são alterados. Isto é ilustrado na prova 1. O objetivo é escolher os valores econômicos do parâmetro custo para minimizar o custo total esperado. O modelo de custo é construído para permitir a melhor escolha de mudança ao longo do tempo e os melhores valores para a formação inicial e ajustada limites de controle e, portanto, pode aumentar o gráfico de controle de sensibilidade a pequenas, mas antecipou mudanças no processo de média, de modo que o gráfico é capaz de rapidamente detectar uma causa especial e trazer o processo de controle. O modelo de custo também é usado para fornecer uma comparação com a implementação convencional do Gráfico de controle Shewhart para a finalidade de gestão de qualidade PMBOK®.
Modelo de Desenvolvimento
Suponha que um processo é monitorado usando um 
Gráfico e o processo está sujeito a uma mudança de valor do controlo da média do processo, μ1, para um fora-de-controle de valor, μ2, em um ponto aleatório no tempo. Assuma o tempo até que um deslocamento de processo seja uma variável aleatória com F (t) = T/θ, (0 << ∞). Seja N o valor máximo de t, então N = θ/h, e suponha que n É como inteiro. Para calcular o custo total esperado por unidade de tempo, são consideradas as seguintes categorias de custos:
1. IC = custos de amostragem e inspecção, custo unitário por evento = c
2. Cf= custo do falso alarme, custo unitário por evento = c
3. Ct = custo de correção do sinal verdadeiro e do processo, custo unitário por evento = c
4. Cd = custo de produção de produtos abaixo das normas, embora fora de controlo, custo unitário por item = c
5. CT = custo total por unidade de tempo
O esperado do custo total por unidade de tempo função é, então, definido como:
, Onde E é a expectativa de duração do ciclo (tempo para o sinal). São utilizadas as seguintes anotações::
μ1 = no-valor de controlo da média do processo
μ2 = fora de controle-valor da média do processo
σx = o conhecido e constante desvio padrão da população
UCL = limite de controle superior = μ1 + kσx / n1/22
LCL = limite de controle inferior = μ1 – kσx / n1/2
Ux = limite superior de especificação
Lx = limite inferior da especificação
p1 = proporção de não-conformes quando μ = μ1
p2 = proporção de não-conformes quando μ = μ2
p = p1 – p2
h = tempo entre as amostras
r = taxa de produção em unidades/hora
n = número de itens inspecionados por exemplo
m = número de amostras antes de alterar os limites de controle
δ = número de unidades de σx do μ1 para μ2
k1 = número σx /n1/2 de μ1 a UCL antes de exemplo mh
k2 = número σx /n1/2 de μ1 a UCL após a amostra mh
α = a probabilidade de erro tipo I
β = a probabilidade de erro tipo II
As variáveis de decisão são n, h, m, k1 e k2. Os valores ideais para as variáveis de decisão são escolhidos para minimizar o custo total esperado por unidade de tempo função.
(1) custo de inspecção = IC = {custo fixo + (custo unitário)(número inspeccionado)}/{tempo entre amostras}, portanto:
exibe 2. Intervalos de tempo Envolvendo T e tp
Nota-se que a inspeção custo é o mesmo para o padrão e o tipo de gráfico de controle de Shewhart.
(2) Falso alarme de custos = Cf = (custo unitário)(probabilidade de alarme falso) = cf P.
Deixe Um = “alarme falso”, A1 = “alarme falso na amostra I,” A2 = “no processo de mudança antes de exemplo eu,” então a probabilidade de alarme falso é construído como:
Assim que o alarme falso custo é de:
A probabilidade de alarme falso para o tipo de gráfico de controle de Shewhart é muito diferente do que para o padrão gráfico de controle. Devemos considerar t ≤ mh ou t > mh separadamente. Assim:
, Assim:
(3) o Verdadeiro sinal de custo = Ct = (custo unitário)(probabilidade de um sinal verdadeiro) = ctP.
Deixe B = “true sinal,” B1= “processo de mudança no intervalo j”, B2 = “nenhum alarme falso no processo j-1 amostras,” em seguida, a expressão para P é:
Assim, o verdadeiro sinal de custo, tem a seguinte forma:
A probabilidade de sinal verdadeiro para o tipo de gráfico de controle de Shewhart é definido como:
, Assim:
(4) Custo de produção de itens não conformes quando o processo está fora de controle = Cd = (custo unitário)(taxa de produção)(aumento na proporção de não-conformes)(tempo esperado fora de controle).os intervalos de tempo nesta etapa podem ser revistos na Exposição 2.
A E = E + E = E + E. Note que a parte de intervalo antes que o processo de mudança pode ser escrito como T = t – jh, assim:
Então:
Finalmente,:
o E é o mesmo para o gráfico de controle Shewhart generalizado, mas o E é um pouco diferente como a identificação do intervalo em que a mudança ocorre afeta a probabilidade do sinal. Assim:
, Assim:
(4) Deixe E1 = “alarme falso na amostra j e nenhum processo de mudança antes de amostra j,” E2 = “processo de mudança durante o intervalo s, nenhum alarme falso antes de intervalos, e o verdadeiro sinal na amostra j (j-s+1º após a mudança).”Então a expressão para o comprimento do ciclo esperado é::
o comprimento esperado do ciclo para o gráfico de controlo Shewhart generalizado também deve reflectir diferenças nos eventos de sinal antes e depois da mh. E(g) pode ser escrito como:
, Assim:
Modelo de Análise
a Arbitragem para o custo de modelo desenvolvido anteriormente, os termos de custo são funções das variáveis de decisão, os parâmetros de custos e o parâmetro de distribuição. Dois dos valores de decisão de m E n são obrigados a ser inteiros, enquanto k1 e k2 podem tomar valores reais. Como Montgomery (1980) indica que uma frequência de amostragem de uma hora é comum para muitos gráficos de controle, h = uma unidade de tempo é usado. O comportamento do modelo de custo é analisado numericamente. GINO (Lasdon & Warren, 1985) é usado para examinar o comportamento do modelo de custo sobre conjuntos de parâmetros razoáveis e o algoritmo de gradiente reduzido generalizado (GRG) é usado para tentar minimizar o custo total esperado por função de tempo unitário para esses conjuntos de parâmetros. Os intervalos de parâmetros avaliados são listados abaixo.
(1) θ θ (8, 200)
(2) δ = 0.522, a magnitude da mudança na média quando uma mudança ocorre. Este valor é selecionado porque é corresponde a um aumento na proporção não conformando de 0,01 para 0,02.
(3) ci = 1.0; 5.0
(4) cd ∈ (1, 10)
(5) cf = 100
(6) r = 200, a taxa de produção
(7) ct = 10
O parâmetro acima intervalos de definir os cenários em que o desempenho econômico do padrão e o tipo de gráfico de controle de Shewhart são investigados. Examina-se a análise numérica do comportamento do custo total esperado por função de tempo unitário em relação às variáveis de decisão para uma família de gamas de parâmetros.
O custo total esperado por função de tempo unitário é convexo em k para todas as gamas dos outros parâmetros. Os pequenos valores de k criam um grande custo total esperado porque é dado um número excessivo de falsos alarmes. Isso pode dominar qualquer economia de custos devido à detecção rápida de deslocamento. Os valores intermédios de k produzem o menor custo total esperado, uma vez que equilibram os custos da produção não conformada com o custo do falso alarme. Os grandes valores de k proporcionam probabilidades de detecção de turnos reduzidas e, por conseguinte, custos de produção cada vez mais elevados. O efeito total é que o custo esperado diminui para um mínimo e, em seguida, aumenta novamente à medida que k aumenta.
A função de custo total esperado também é convexa em n para todas as gamas dos outros parâmetros. Os pequenos valores de n implicam custos de amostragem baixos, mas custos elevados de não-conformação, uma vez que os desvios não são rapidamente detectados. Os valores intermédios de n equilibram o custo da amostragem em relação ao custo do produto que não está em conformidade para atingir o custo total esperado mais baixo. Grandes valores de n implicam grandes custos de amostragem, o que pode dominar a economia em custos de Produto Não Conformados alcançados através de maiores probabilidades de detecção. Estas interpretações variam dependendo da importância relativa de cada categoria de custo, mas o efeito geral é que a função de custo total esperado é convexa em n.
os resultados acima para N E k são esperados para os gráficos de controle Shewhart padrão em geral e confirmados para os gráficos de controle Shewhart generalizado. The generalized Shewhart control chart has features that the standard Shewhart control chart does not. As propriedades que resultam dessas características adicionais são agora exploradas.
Model behavior in terms of the decision variable m, k1, and k2 is characterized by three cases. As magnitudes relativas dos parâmetros de custo em cada caso determinam que comportamento é observado. No caso um, o custo total esperado por unidade de tempo função CT, exibe comportamento convexo em cada uma das variáveis de decisão m, k1, e k2 e um mínimo ocorre no interior da região convexível. Isto significa que o gráfico de controle de custo mínimo é alguma forma do Gráfico de controle Shewhart generalizado. No caso dois, CT ainda é convexo, mas tem um mínimo correspondente a um limite de m = 0 e k2 = k1 e aumenta estritamente em cada uma dessas variáveis. Isto significa que o gráfico de controle de custo mínimo é um gráfico de controle Shewhart padrão, sem alterações de limites de controle. In case three, CT strictly decrease in both m and k2 and has a minimum at the boundary k1 = k2 and m = ∞. Isto implica que o gráfico de controle de custo mínimo é um gráfico de controle Shewhart padrão, sem alterações de limites de controle.
conclusão
a análise apresentada acima produz vários pontos interessantes. A primeira é que a análise do custo de operação de qualquer tipo de gráfico de controle deve ser tratada com muito cuidado, uma vez que a função de custo pode nem sempre ter a regularidade geralmente assumida. A escolha dos coeficientes de custo, o tempo de distribuição por turnos e os parâmetros de distribuição têm uma influência direta no desempenho do custo total esperado por função de tempo unitário. Os resultados importantes da análise realizada mostram que o gráfico de Shewhart generalizado para os meios pode ser economicamente atraente quando o custo de inspeção, o custo do sinal verdadeiro, e o custo não conformador, em conjunto equilibram o comprimento do ciclo esperado e o custo falso alarme. Quando este é o caso, o custo total esperado por unidade de tempo função é convexo com um mínimo interior e uma oportunidade para otimização do Gráfico de controle Shewhart generalizado. Quando um ou mais dos Termos do modelo dominam os outros, o custo total esperado por unidade de tempo exibirá o mesmo comportamento crescente ou decrescente que o fator dominante e o modelo de custo generalizado como estudado neste artigo será pouco atrativo.
A segunda conclusão é que todos os parâmetros e variáveis do modelo são importantes para o custo total esperado por função de tempo unitário. Os limites de controle k1 e k2 têm um grande efeito do que o parâmetro de distribuição θ e k2 tem um efeito maior do que o k1. Também é verdade que o tamanho da amostra, n, e o tempo da mudança na largura dos limites de controle, m, melhoram o efeito do parâmetro de distribuição, K1, e k2.
A conclusão final é que existem aplicações de gráficos de controle para as quais o modelo de custo é útil. Os valores dos parâmetros do processo de produção que exibem relações mais comumente encontradas levam ao gráfico de controle Shewhart generalizado com menor custo do que o gráfico de controle Shewhart padrão correspondente. Para o caso de exemplo analisado acima, a poupança ideal é de $ 0.22 por item produzido. Uma vez que a taxa de produção assumida é de 200/hora, a poupança de US $44 por hora. Esta poupança é dramática e, portanto, o gráfico de controle Shewhart generalizado vale a pena perseguir.