Dual Vector Space

The dual vector space to a real vector space is the vector space of linear functions , denoted . In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

în ambele cazuri, spațiul vectorial dual are aceeași dimensiune ca . Având în vedere o bază vectorială pentru există o bază duală pentru , scris , unde și este Delta Kronecker.

Un alt mod de a realiza un izomorfism cu este printr-un produs interior. Un spațiu vectorial real poate avea un produs interior simetric caz în care un vector corespunde unui element dual prin . Apoi, o bază corespunde bazei sale duale numai dacă este o bază ortonormală, caz în care . Un spațiu vectorial complex poate avea un produs interior Hermitian, caz în care este un izomorfism conjugat-liniar al cu, adică., .

spațiile vectoriale duale pot descrie multe obiecte în algebra liniară. Când și sunt spații vectoriale dimensionale finite, un element al produsului tensor, să zicem, corespunde transformării liniare. Adică . De exemplu, transformarea identității este . O formă biliniară pe, cum ar fi un produs interior, este un element al.