diagramele de control Shewhart sunt utilizate pe scară largă pentru a afișa date eșantion dintr-un proces de producție. De asemenea, s-au găsit valoroase în evaluarea capacității procesului, în estimarea parametrilor procesului și în monitorizarea comportamentului unui proces de producție. O diagramă de control este menținută prin prelevarea de probe dintr-un proces și trasarea în ordinea timpului pe diagramă a unor statistici calculate din eșantioane. Limitele de Control pe diagramă reprezintă limitele în care punctele reprezentate grafic ar cădea cu mare probabilitate în cazul în care operează în control. Un punct în afara limitelor de control este luat ca un indiciu că ceva, numit uneori o cauză specială de variație, s-a întâmplat să schimbe procesul. Când graficul semnalează că este prezentă o cauză specială, se iau măsuri de rectificare pentru a elimina cauza specială și a readuce procesul în control. În plus față de cauzele comune, care produc variații aleatorii, cauzele speciale pot produce individual o cantitate substanțială de variație. Când este prezentă o cauză specială de variație, distribuția metricii de calitate este indexată de unul sau mai mulți parametri, iar efectul prezenței unei cauze speciale este modificarea valorilor acestor parametri. Scopul unei diagrame de control este de a detecta Cauze Speciale de variație, astfel încât aceste cauze să poată fi găsite și eliminate. Deoarece se presupune că o cauză specială produce o modificare a parametrilor, problema pentru care este utilizată o diagramă de control poate fi formulată ca problema monitorizării unui proces pentru a detecta orice modificare a parametrilor distribuției variabilei de calitate.
proba 1. Diagrama de Control Shewhart generalizată
Duncan (1956) indică faptul că practica obișnuită în menținerea unei diagrame de control este de a trasa eșantionul din procesul relativ la limitele de control ale lățimii constante, să zicem limitele de trei sigma. În această lucrare, este investigată o modificare a practicii standard în care limitele de control al eșantionării nu sunt fixe, ci pot varia după ce procesul a funcționat o perioadă de timp. Baza de alegere a lățimii limitei de control este un model pentru costul de operare a graficului. Modelul de Cost este dezvoltat pentru a descrie costul total pe unitate de timp de monitorizare a mediei unui proces utilizând atât diagrama de control Shewhart standard, cât și generalizată. Modelul de cost este dezvoltat în ipoteza că caracteristica de calitate a interesului este distribuită în mod normal cu varianță cunoscută și constantă.
definiția modelului de cost pentru diagrama standard de control Shewhart se desfășoară în două etape definite de Zou& Nachlas (1993). În primul rând, distribuția uniformă a duratei de viață este utilizată pentru a descrie variabila aleatorie t, timpul până la o schimbare de proces. Se presupune că procesul este supus unei treceri de la valoarea in-control a mediei procesului, la valoarea in-out-of-control, la o valoare in-out-of-control, la un moment aleatoriu în timp. Apoi, costul operării unei diagrame standard de control Shewhart este definit folosind patru termeni de cost. Acestea sunt (1) Costul inspecției; (2) costul alarmei False; (3) costul semnalului adevărat; și (4) costul producerii de elemente neconforme suplimentare atunci când procesul este scăpat de sub control. În plus, se determină lungimea preconizată a ciclului. Apoi, costul total așteptat pe unitatea de timp este construit ca costul de inspecție plus raportul dintre suma celor trei costuri așteptate și lungimea ciclului preconizată. Definiția modelului de cost corespunzător pentru diagrama de control Shewhart generalizată se desfășoară într-un mod similar. Să presupunem că intenționăm să pornim graficul cu un set de limite de control și să modificăm limitele pentru a fi mai stricte după ce procesul a funcționat pentru o perioadă de timp determinată. Mai exact, presupunem că procesul este eșantioane la fiecare oră h și după proba mth limitele de control sunt modificate. Acest lucru este ilustrat în expoziția 1. Obiectivul este de a alege valorile economice ale parametrului de cost pentru a minimiza costul total așteptat. Modelul de cost este construit pentru a permite alegerea optimă a schimbării-în timp și cele mai bune valori pentru limitele de control inițiale și ajustate și, prin urmare, poate crește sensibilitatea diagramei de control la schimbări mici, dar anticipate în media procesului, astfel încât diagrama să poată detecta rapid o cauză specială și să aducă procesul în control. Modelul de cost este, de asemenea, utilizat pentru a oferi o comparație cu implementarea convențională a diagramei de control Shewhart pentru scopul educației de management al calității PMBOK.
dezvoltarea modelului
Să presupunem că un proces este monitorizat folosind o imagine
diagramă și procesul este supus unei treceri de la valoarea in-control a mediei procesului, la o valoare in-out-of-control, la un moment aleatoriu în timp. Să presupunem că timpul până la o schimbare de proces este o variabilă aleatorie cu F(t) = T/hectolixt, (0 < XlX < XlX). Fie n valoarea maximă a lui t, apoi n = inqut/h, și să presupunem că N este ca întreg. Pentru a construi costul total estimat pe unitate de timp sunt luate în considerare următoarele categorii de costuri:
1. Ci = costul de eșantionare și inspecție, costul unitar pe eveniment = c
2. Cf = costul alarmei false, costul unitar pe eveniment = c
3. Ct = costul real al semnalului și al corecției procesului , costul unitar pe eveniment = c
4. Cd = costul de producere a produsului substandard în timp ce out-of-control, costul unitar pe element = c
5. CT = costul total pe unitatea de timp
funcția cost total așteptat pe unitatea de timp este apoi definită ca:
Unde E este durata ciclului așteptat (timpul până la semnal). Se utilizează următoarele notații:
μ1 = în valoare de control a procesului,
μ2 = out-of-control valoarea de proces,
σx = cunoscute și constante a populației abaterea standard
UCL = upper control limit = μ1 + kσx / n1/22
LCL = mai mic control limit = μ1 – kσx / n1/2
Ux = superioară caietul de sarcini limită
Lx = inferioară specificație limită
p1 = procentul non-conforme, atunci când μ = μ1
p2 = proporția de non-conformitate, atunci când μ = μ2
p = p1 – p2
h = timp între probe
r = rata de producție în unități/oră
n = numărul de elemente inspectate pe eșantion
m = numărul de probe înainte de a schimba limitele de control
δ = numărul de unități de σx de μ1 să μ2
k1 = numărul σx /n1/2 de la μ1 la UCL înainte de proba mh
k2 = numărul σx /n1/2 de la μ1 la UCL după proba mh
α = tipul I de eroare probabilitatea
β = tipul II de eroare probabilitatea
Decizia variabile sunt n, h, m, k1 și k2. Valorile optime pentru variabilele de decizie sunt alese pentru a minimiza costul total așteptat pe funcția unitară de timp.
(1) Costul inspecției = Ci = {cost fix + (cost unitar)(număr inspectat)}/{timpul dintre eșantioane}, prin urmare:
Expoziția 2. Intervale de timp care implică T și tp
rețineți că costul de inspecție este același atât pentru diagrama de control Shewhart standard, cât și pentru cea generalizată.
(2) cost alarmă falsă = Cf = (cost unitar)(probabilitatea de alarmă falsă) = cf P.
Să a = „alarmă falsă”, A1 = „alarmă falsă pe proba I,” A2 = „nici o schimbare de proces înainte de proba I,” atunci probabilitatea de alarmă falsă este construit ca:
astfel, costul alarmă falsă este:
probabilitatea alarmei false pentru diagrama de control Shewhart generalizată este destul de diferită de cea pentru diagrama de control standard. Trebuie să luăm în considerare t XCT mh sau t > MH separat. Astfel:
prin urmare:
(3) costul semnalului adevărat = Ct = (costul unitar)(probabilitatea unui semnal adevărat) = ctP.
fie B = „semnal adevărat”, B1= „schimbare de proces în intervalul j”, B2 = „fără alarmă falsă la probele J-1”, atunci expresia pentru P este:
astfel, costul semnalului adevărat are următoarea formă:
probabilitatea semnalului adevărat pentru diagrama de control Shewhart generalizată este definită ca:
astfel:
(4) costul producerii elementelor neconforme atunci când procesul este scăpat de sub control = Cd = (costul unitar)(rata de producție)(creșterea proporției neconforme)(timpul așteptat scăpat de sub control).
intervalele de timp de la acest pas pot fi revizuite în expoziția 2.
E = E + E. rețineți că partea de interval înainte de trecerea procesului poate fi scrisă ca T = t-jh, prin urmare:
apoi:
În cele din urmă:
E este același pentru diagrama de control Shewhart generalizată, dar E este un pic diferit, deoarece identificarea intervalului în care are loc schimbarea afectează probabilitatea semnalului. Astfel:
prin urmare:
(4) fie E1 = „alarmă falsă pe proba j și nici o schimbare de proces înainte de proba j,” E2 = „schimbare de proces în timpul intervalului s, nici o alarmă falsă înainte de intervale, și semnal adevărat pe proba j (j-s+1 după schimbare).”Atunci expresia pentru lungimea ciclului așteptat este:
durata preconizată a ciclului pentru diagrama de control Shewhart generalizată trebuie să reflecte, de asemenea, diferențele în evenimentele de semnal înainte și după mh. E (g) poate fi scris ca:
prin urmare:
analiza modelului
arbitrarea modelului de cost dezvoltat anterior, termenii de cost sunt funcții ale variabilelor de decizie, parametrilor de cost și parametrului de distribuție. Două dintre valorile de decizie ale lui m și n sunt constrânse să fie numere întregi, în timp ce k1 și k2 pot lua valori reale. Deoarece Montgomery (1980) indică faptul că o frecvență de eșantionare de o oră este comună pentru multe diagrame de control, h = se folosește o unitate de timp. Comportamentul modelului de cost este analizat numeric. Gino (Lasdon & Warren, 1985) este utilizat pentru a examina comportamentul modelului de cost față de seturile de parametri rezonabile și algoritmul de gradient redus generalizat (GRG) este utilizat pentru a încerca să minimizeze costul total așteptat pe unitatea de timp funcție pentru acele seturi de parametri. Intervalele de parametri evaluate sunt enumerate mai jos.
(1) (8, 200)
(2) (0).522, magnitudinea schimbării în medie atunci când are loc o schimbare. Această valoare este selectată deoarece is corespunde unei creșteri a proporției neconforme de la 0,01 la 0,02.
(3) ci = 1,0; 5,0
(4) CD-uri (1, 10)
(5) cf = 100
(6) r = 200, Rata de producție
(7) ct = 10
intervalele de parametri de mai sus definesc scenariile în care sunt investigate performanța economică a standardului și diagrama de control Shewhart generalizată. Se examinează analiza numerică a comportamentului funcției cost total pe unitate de timp preconizate în raport cu variabilele de decizie pentru o familie de intervale de parametri.
costul total așteptat pe unitatea de timp funcția este convexă în k pentru toate intervalele celorlalți parametri. Valorile mici ale k creează un cost total așteptat mare, deoarece este dat un număr excesiv de alarme false. Acest lucru poate domina orice economie de costuri datorită detectării rapide a schimbării. Valorile intermediare ale k produc cel mai mic cost total așteptat, deoarece echilibrează costurile producției neconforme cu costul alarmei false. Valorile mari ale k oferă probabilități reduse de detectare a schimbării și, prin urmare, costuri de producție neconforme din ce în ce mai mari. Efectul total este că costul așteptat scade la minimum și apoi crește din nou pe măsură ce k crește.
funcția costului total așteptat este, de asemenea, convexă în n pentru toate intervalele celorlalți parametri. Valorile mici ale n implică costuri reduse de eșantionare, dar Costuri neconforme ridicate, deoarece schimbările nu sunt detectate rapid. Valorile intermediare ale lui n echilibrează costul de eșantionare cu costul neconform al produsului pentru a obține cel mai mic cost total așteptat. Valorile mari ale n implică costuri mari de eșantionare, care pot domina economiile în costurile neconforme ale produsului obținute prin probabilități mai mari de detectare. Aceste interpretări variază în funcție de importanța relativă a fiecărei categorii de costuri, dar efectul general este că funcția costului total așteptat este convexă în n.
rezultatele de mai sus pentru n și k sunt anticipate pentru diagramele de control Shewhart standard în general și confirmate pentru diagramele de control Shewhart generalizate. Diagrama de control Shewhart generalizată are caracteristici pe care diagrama de control Shewhart standard nu le are. Proprietățile care rezultă din aceste caracteristici suplimentare sunt acum explorate.
comportamentul modelului în ceea ce privește variabila de decizie m, k1 și k2 se caracterizează prin trei cazuri. Mărimile relative ale parametrilor de cost determină în fiecare caz ce comportament este observat. În cazul în care unul, costul total așteptat pe unitatea de timp funcția CT, afișează comportamentul convex în fiecare dintre variabilele de decizie m, k1 și k2 și un minim apare în interiorul regiunii fezabile convexe. Aceasta înseamnă că graficul de control al costurilor minime este o formă a diagramei de control Shewhart generalizate. În cazul doi, CT este încă convex, dar are un minim corespunzător unei limite de m = 0 și k2 = k1 și crește strict în fiecare dintre aceste variabile. Aceasta înseamnă că diagrama de control al costurilor minime este o diagramă de control Shewhart standard fără modificări ale limitelor de control. În cazul în care trei, CT strict scădere atât m și k2 și are un minim la limita k1 = k2 și m = XV. Aceasta implică faptul că graficul de control al costurilor minime este un grafic de control Shewhart standard fără modificări ale limitelor de control.
concluzie
analiza prezentată mai sus oferă câteva puncte interesante. Primul dintre acestea este că analiza costului de operare a oricărui tip de diagramă de control ar trebui tratată foarte atent, deoarece funcția de cost poate să nu aibă întotdeauna regularitatea asumată în mod obișnuit. Alegerea coeficienților de cost, timpul de distribuție a schimbării și parametrii de distribuție au o influență directă asupra performanței costului total așteptat pe unitatea de timp funcție. Rezultatele importante ale analizei efectuate arată că graficul Shewhart generalizat pentru mijloace poate fi atractiv din punct de vedere economic atunci când costul inspecției, costul real al semnalului și costul neconformist echilibrează împreună lungimea ciclului preconizată și costul alarmei false. În acest caz, costul total așteptat pe unitatea de timp funcția este convexă cu un minim interior și o oportunitate de optimizare a diagramei de control Shewhart generalizate. Când unul sau mai mulți dintre termenii modelului îi domină pe ceilalți, costul total așteptat pe unitatea de timp va afișa același comportament crescător sau descrescător ca factorul dominant și modelul de cost generalizat studiat în această lucrare va fi neatractiv.
a doua concluzie este că toți parametrii și variabilele modelului sunt importante pentru costul total așteptat pe unitatea de timp funcție. Limitele de control k1 și k2 au un efect mai mare decât parametrul de distribuție XV și k2 are un efect mai mare decât k1. De asemenea, este adevărat că dimensiunea eșantionului, n și timpul modificării lățimii limitelor de control, m, sporesc efectul parametrului de distribuție, K1 și k2.
concluzia finală este că există aplicații de diagramă de control pentru care modelul de cost este util. Valorile parametrilor procesului de producție care afișează relații mai frecvent întâlnite conduc la diagrama de control Shewhart generalizată având un cost mai mic decât graficul de control Shewhart standard corespunzător. Pentru exemplul de caz analizat mai sus, economisirea optimă este de 0,22 USD pe articol produs. Deoarece rata de producție asumată este de 200 / oră, economisirea de 44 USD pe oră. Această economie este dramatică și, prin urmare, diagrama generalizată de control Shewhart merită urmărită.