Sistem Nonholonomic

roată Rulantăedit

o roată (uneori vizualizată ca monociclu sau monedă rulantă) este un sistem nonholonomic.

explicația profanului

luați în considerare roata unei biciclete care este parcată într-un anumit loc (pe pământ). Inițial, supapa de umflare se află într-o anumită poziție pe roată. Dacă bicicleta este călărită și apoi parcată exact în același loc, supapa nu va fi aproape sigur în aceeași poziție ca înainte. Noua sa poziție depinde de calea luată. Dacă roata ar fi holonomică, atunci tija supapei ar ajunge întotdeauna în aceeași poziție, atâta timp cât roata ar fi întotdeauna rulată înapoi în aceeași locație de pe Pământ. În mod evident, însă, acest lucru nu este cazul, deci sistemul este nonholonomic.

explicație matematică

o persoană care conduce un monociclu motorizat. Spațiul de configurare al monociclului și raza r {\displaystyle r}

a roții sunt marcate. Liniile roșii și albastre se întindeau pe pământ.

este posibil să modelăm roata matematic cu un sistem de ecuații de constrângere și apoi să demonstrăm că acel sistem este nonholonomic.

în primul rând, definim spațiul de configurare. Roata își poate schimba starea în trei moduri: având o rotație diferită în jurul axei sale, având un unghi de direcție diferit și aflându-se într-o locație diferită. Am putea spune că:

este rotația în jurul axului, iar

este unghiul de virare în raport cu X {\displaystyle x}

-axă și X {\displaystyle x}

și Y {\displaystyle y}

definesc poziția spațială. Astfel, spațiul de configurare este: u = t {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\Phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}

acum trebuie să raportăm aceste variabile între ele. Observăm că, pe măsură ce roata își schimbă rotația, își schimbă poziția. Schimbarea vitezei de rotație și a poziției care implică vitezele trebuie să fie prezentă, încercăm să corelăm viteza unghiulară și unghiul de direcție cu vitezele liniare, luând derivați de timp simpli ai termenilor corespunzători:

( X y ) = ( R-R-R-R-R-R-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r{\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\Dot {\Phi }}\cos \Theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}

viteza în X{\displaystyle x}

direcția este egală cu timpii de viteză unghiulară raza este egală cu cosinusul unghiului de virare, iar viteza y {\displaystyle y}

este similară. Acum facem unele manipulări algebrice pentru a transforma ecuația în formă Pfaffiană, astfel încât este posibil să testăm dacă este holonomică. ( X − R X − R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R X-R x-r {\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\dot {x}} – r{\dot {\Phi}} \ cos \ theta \ \ {y}} – r {\dot {\phi}} \ sin \ theta \ end {array}} \ right)={\overrightarrow {0}}}

să separăm variabilele de coeficienții lor (partea stângă a ecuației, derivată de sus). De asemenea, ne dăm seama că putem multiplica toți termenii cu d t {\displaystyle {\text {d}}t}

deci ajungem doar cu diferențialele (partea dreaptă a ecuației): (1 0 0 − r cos 0 1 0-r sin 0 0-r sin x y ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos 0 1 0 − r sin 0 ) ( d x d y d d x D x D x D x D x D x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x D x x d&1&&-r\sin \theta\end {array}}\right) \left ({\begin{array} {C} {\Dot {x}}\\{\Dot{y}}\\{\Dot {\theta}}\\{Dot {\phi}}\end {array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left ({\begin{array} {c} 1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \Theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\text{D}}x\\{\text{d}}y\\text {d}}\text{d}}\Phi \end {array}} \right)}

partea dreaptă a ecuației este acum în formă Pfaffiană:

displaystyle \sum _{s = 1}^{n}a_{Rs}du_{s} = 0;\; r = 1,2}

acum folosim testul universal pentru constrângerile holonomice. Dacă acest sistem ar fi holonomic, ar trebui să facem până la opt teste. Cu toate acestea, putem folosi intuiția matematică pentru a încerca tot posibilul pentru a demonstra că sistemul este nonholonomic la primul test. Având în vedere ecuația de testare este:

γ O ( ∂ β ∂ u α ∂ Un α ∂ u β ) + β ( ∂ Un α ∂ u γ ∂ γ O ∂ u α ) + Un α ( ∂ Un γ ∂ u β ∂ β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

putem vedea că , dacă există din Termenii a_\displaystyle a_ {\Alpha}}

, a_ {\displaystyle a_ {\beta }}

, sau un {\displaystyle a_{\gamma }}

au fost zero, că acea parte a ecuației de testare ar fi trivială de rezolvat și ar fi fii egal cu zero. Prin urmare, este adesea cea mai bună practică ca prima ecuație de testare să aibă cât mai mulți termeni diferiți de zero pentru a maximiza șansa ca suma acestora să nu fie egală cu zero. Prin urmare, alegem: Α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}

β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}

γ = − r cos ⁡ θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}

u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }

u γ = d {\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }

înlocuim în ecuația noastră de testare:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\parțială x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\parțială x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

și simplificați:

r sin = 0 {\displaystyle r\sin \theta =0}

putem vedea cu ușurință că acest sistem, așa cum este descris, este nonholonomic, deoarece sin {\displaystyle \sin \Theta }

nu este întotdeauna egal cu zero.

concluzii adiționale

am completat dovada că sistemul este nonholonomic, dar ecuația noastră de testare ne-a oferit câteva informații despre dacă sistemul, dacă este constrâns în continuare, ar putea fi holonomic. De multe ori ecuațiile de testare vor returna un rezultat ca − 1=0 {\displaystyle -1=0}

implicând că sistemul nu ar putea fi niciodată constrâns să fie holonomic fără a modifica radical sistemul, dar în rezultatul nostru putem vedea că r sin{\displaystyle r\sin \theta} poate fi egal cu zero, în două moduri diferite:

• r{\displaystyle r}
  

  , raza roții, poate fi zero. Acest lucru nu este util, deoarece sistemul și-ar pierde toate gradele de libertate.

• sin {\displaystyle \sin \theta}
  

  poate fi zero prin setarea de {\displaystyle \Theta}

  

  egal cu zero. Aceasta implică faptul că, dacă roata nu ar avea voie să se întoarcă și ar trebui să se miște doar în linie dreaptă în orice moment, ar fi un sistem holonomic.

există un lucru pe care nu l-am considerat încă, totuși, că pentru a găsi toate aceste modificări pentru un sistem, trebuie să efectuați toate cele opt ecuații de testare (patru din fiecare ecuație de constrângere) și să colectați toate eșecurile pentru a aduna toate cerințele pentru a face sistemul holonomic, dacă este posibil. În acest sistem, din cele șapte ecuații de testare suplimentare, se prezintă un caz suplimentar:

− r cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle -r\cos \theta =0}

Aceasta nu prezintă mare dificultate, cu toate acestea, ca adăugarea de ecuații și împărțirea de r {\displaystyle r}

rezultate în: sin ⁡ θ − cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \sin \theta\cos \theta =0}

care are soluția θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n \ in \ mathbb {Z} }

consultați explicația profanului de mai sus unde se spune: „noua poziție depinde de calea luată. Dacă roata ar fi holonomică, atunci tija supapei ar ajunge întotdeauna în aceeași poziție, atâta timp cât roata ar fi întotdeauna rulată înapoi în aceeași locație de pe Pământ. În mod evident, însă, acest lucru nu este cazul, deci sistemul este nonholonomic.”Cu toate acestea, este ușor de vizualizat că, dacă roata ar fi lăsată să se rostogolească doar într-o linie perfect dreaptă și înapoi, tija supapei ar ajunge în aceeași poziție! De fapt, deplasarea în paralel cu unghiul dat de {\displaystyle \pi }

/ 4 {\displaystyle 4}

nu este de fapt necesară în lumea reală, deoarece orientarea sistemului de coordonate în sine este arbitrară. Sistemul poate deveni holonomic dacă roata se mișcă numai în linie dreaptă la orice unghi fix față de o referință dată. Astfel, nu numai că am dovedit că sistemul original este nonholonomic, dar am reușit, de asemenea, să găsim o restricție care poate fi adăugată sistemului pentru a-l face holonomic.

Rolling sphereEdit

acest exemplu este o extensie a problemei ‘rolling wheel’ considerată mai sus.

luați în considerare un cadru de coordonate carteziene ortogonale tridimensionale, de exemplu, o masă de nivel cu un punct marcat pe ea pentru Origine și axele x și y așezate cu linii de creion. Luați o sferă de rază unitară, de exemplu, o minge de ping-pong și marcați un punct B în albastru. Corespunzător acestui punct este un diametru al sferei, iar planul ortogonal la acest diametru poziționat în centrul C al sferei definește un cerc mare numit Ecuator asociat cu punctul B. pe acest Ecuator, selectați un alt punct R și marcați-l în roșu. Poziționați sfera pe planul z = 0 astfel încât punctul B să coincidă cu originea, C este situat la x = 0, y = 0, z = 1, iar R este situat la x = 1, y = 0 și z = 1, adică R se extinde în direcția axei X pozitive. Aceasta este orientarea inițială sau de referință a sferei.

sfera poate fi acum rulată de-a lungul oricărei căi închise continue în planul z = 0, nu neapărat o cale pur și simplu conectată, în așa fel încât să nu alunece și să nu se răsucească, astfel încât C să revină la x = 0, y = 0, z = 1. În general, punctul B nu mai coincide cu originea, iar punctul R nu se mai extinde de-a lungul axei X pozitive. De fapt, prin selectarea unei căi adecvate, sfera poate fi reorientată de la orientarea inițială la orice orientare posibilă a sferei cu C situat la x = 0, y = 0, z = 1. Prin urmare, sistemul este nonholonomic. Anholonomia poate fi reprezentată de cuaternionul dublu unic (q și-q) care, atunci când este aplicat punctelor care reprezintă sfera, transportă punctele B și R către noile lor poziții.

Foucault pendulumEdit

un exemplu suplimentar de sistem nonholonomic este pendulul Foucault. În cadrul coordonatelor locale, pendulul se învârte într-un plan vertical cu o orientare specială față de nordul geografic la începutul căii. Traiectoria implicită a sistemului este linia de latitudine pe Pământ unde se află pendulul. Chiar dacă pendulul este staționar în cadrul Pământului, acesta se mișcă într-un cadru referit la soare și se rotește în sincronizare cu viteza de revoluție a Pământului, astfel încât singura mișcare aparentă a planului pendulului este cea cauzată de rotația Pământului. Acest din urmă cadru este considerat a fi un cadru de referință inerțial, deși și el este non-inerțial în moduri mai subtile. Cadrul Pământului este bine cunoscut a fi non-inerțial, fapt făcut perceptibil de prezența aparentă a forțelor centrifuge și a forțelor Coriolis.

mișcarea de-a lungul liniei de latitudine este parametrizată de trecerea timpului, iar planul de oscilație al pendulului Foucault pare să se rotească în jurul axei verticale locale pe măsură ce trece timpul. Unghiul de rotație al acestui plan la un moment dat t în raport cu orientarea inițială este anholonomia sistemului. Anholonomia indusă de un circuit complet de latitudine este proporțională cu unghiul solid subtins de acel cerc de latitudine. Calea nu trebuie să fie constrânsă la cercurile de latitudine. De exemplu, pendulul ar putea fi montat într-un avion. Anholonomia este încă proporțională cu unghiul solid subtins de cale, care poate fi acum destul de neregulat. Pendulul Foucault este un exemplu fizic de transport paralel.

lumină polarizată liniară într-o fibră opticăedit

luați o lungime de fibră optică, spuneți Trei metri și așezați-o într-o linie absolut dreaptă. Când un fascicul polarizat vertical este introdus la un capăt, acesta iese din celălalt capăt, încă polarizat în direcția verticală. Marcați partea superioară a fibrei cu o bandă, corespunzătoare orientării polarizării verticale.

acum, înfășurați bine fibra în jurul unui cilindru cu diametrul de zece centimetri. Calea fibrei descrie acum o helix care, la fel ca cercul, are o curbură constantă. Helixul are, de asemenea, proprietatea interesantă de a avea torsiune constantă. Ca atare, rezultatul este o rotație treptată a fibrei în jurul axei fibrei, pe măsură ce linia centrală a fibrei progresează de-a lungul helixului. În mod corespunzător, banda se răsucește și în jurul axei helixului.

când lumina polarizată liniar este introdusă din nou la un capăt, cu orientarea polarizării aliniată cu banda, aceasta va apărea, în general, ca lumină polarizată liniară aliniată nu cu banda, ci la un unghi fix față de bandă, în funcție de lungimea fibrei și de Pasul și raza helixului. Acest sistem este, de asemenea, nonholonomic, deoarece putem înfășura cu ușurință fibra într-o a doua helix și alinia capetele, readucând lumina la punctul său de origine. Anholonomia este, prin urmare, reprezentată de abaterea unghiului de polarizare cu fiecare circuit al fibrei. Prin ajustarea adecvată a parametrilor, este clar că poate fi produsă orice stare unghiulară posibilă.

RoboticsEdit

în robotică, nonholonomic a fost studiat în special în domeniul planificării mișcării și al liniarizării feedback-ului pentru roboții mobili.