Dual Vector Space

publicerat den
MathWorld Contributors > Moslehian >
MathWorld Contributors > Rowland, Todd >

The dual vector space to a real vector space V is the vector space of linear functions f:V-R, denoted V^*. In the dual of a complex vector space, the linear functions take complex values.

i båda fallen har det dubbla vektorutrymmet samma dimension som V. Givet en vektorbas v_1v_n för V det finns en dubbel grund för V^*, skrivet v_1^*v_n^*, där v_i^*(v_j)=delta_(ij) och delta_(ij) är Kronecker delta.

ett annat sätt att realisera en isomorfism med V är genom en inre produkt. Ett verkligt vektorutrymme kan ha en symmetrisk inre produkt , I vilket fall en vektor v motsvarar ett dubbelt element med f_v(w)=w,v. Då motsvarar en grund endast sin dubbla grund om det är en ortonormal grund, i vilket fall v_i^*=f_(v_i). Ett komplext vektorutrymme kan ha en Hermitisk inre produkt, i vilket fall f_v(w)=w,v är en konjugat-linjär isomorfism av V med V^*, dvs., f_(alphav)=alfa^_f_v.

dubbla vektorrum kan beskriva många objekt i linjär algebra. När V och W är ändliga dimensionella vektorrum, ett element i tensorprodukten V^* tensor W, säg suma_(ij)v_j^* tensor w_i, motsvarar den linjära transformationen t(v)=suma_(ij)v_j^*(v)w_i. Det vill säga V^* tensor W=Hom(V,W). Till exempel är identitetstransformationen v_1 tensor v_1^*+...+ v_n tensor v_n^ *. En bilinär form på V, såsom en inre produkt, är ett element i V^* tensor V^*.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.