Shewhart kontrolldiagram används ofta för att visa provdata bildar en produktionsprocess. De har också visat sig vara värdefulla vid utvärdering av processförmåga, vid uppskattning av processparametrar och vid övervakning av beteendet hos en produktionsprocess. Ett kontrolldiagram upprätthålls genom att ta prover från en process och plotta i tidsordning på diagrammet. Kontrollgränser på diagrammet representerar de gränser inom vilka de plottade punkterna skulle falla med stor sannolikhet om de arbetar i kontroll. En punkt utanför kontrollgränserna tas som en indikation på att något, ibland kallat en speciell orsak till variation, har hänt att förändra processen. När diagrammet signalerar att en speciell orsak är närvarande, åtgärdas åtgärder för att ta bort den speciella orsaken och återföra processen till kontroll. Förutom de vanliga orsakerna, som producerar slumpmässig variation, kan speciella orsaker individuellt producera en väsentlig mängd variation. När en speciell orsak till variation är närvarande indexeras fördelningen av kvalitetsmetriken med en eller flera parametrar och effekten av närvaron av en speciell orsak är att ändra värdena för dessa parametrar. Syftet med ett kontrolldiagram är att upptäcka speciella orsaker till variation så att dessa orsaker kan hittas och elimineras. Eftersom en speciell orsak antas ge en parameterändring kan problemet för vilket ett styrdiagram används formuleras som problemet med att övervaka en process för att upptäcka eventuella förändringar i parametrarna för fördelningen av kvalitetsvariabeln.
utställning 1. Det generaliserade Shewhart – Kontrolldiagrammet
Duncan (1956) indikerar att den vanliga praxisen för att upprätthålla ett kontrolldiagram är att plotta provformen processen i förhållande till konstanta breddkontrollgränser, säg tre-sigma-gränser. I detta dokument undersöks en ändring av standardpraxis där provtagningskontrollgränserna inte är fasta utan istället kan variera efter att processen har fungerat under en tidsperiod. Grunden för valet av kontrollgränsbredd är en modell för kostnaden för att driva diagrammet. Kostnadsmodellen är utvecklad för att beskriva den totala kostnaden per tidsenhet för övervakning av medelvärdet av en process med både standarden och det generaliserade Shewhart-styrdiagrammet. Kostnadsmodellen utvecklas under antagandet att kvalitetskarakteristiken av intresse normalt fördelas med känd och konstant varians.
definitionen av kostnadsmodellen för standard Shewhart-kontrolldiagrammet fortsätter i två steg enligt definitionen av Zou & Nachlas (1993). För det första används den enhetliga livstidsfördelningen för att beskriva den slumpmässiga variabeln t, tiden tills en processförskjutning. Det antas att processen är föremål för en övergång från värdet i kontroll av processmedelvärdet, 20, till ett värde utanför kontroll, 22, vid en slumpmässig tidpunkt. Därefter definieras kostnaden för att driva ett standard Shewhart-kontrolldiagram med fyra kostnadsvillkor. De är (1) Inspektionskostnad; (2) falskt larmkostnad; (3) sann signalkostnad; och (4) kostnad för att producera ytterligare icke-överensstämmande artiklar när processen är utom kontroll. Dessutom bestäms den förväntade cykellängden. Därefter konstrueras den förväntade totala kostnaden per tidsenhet som inspektionskostnaden plus förhållandet mellan summan av de tre förväntade kostnaderna och den förväntade cykellängden. Definitionen av motsvarande kostnadsmodell för det generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammet fortsätter på ett liknande sätt. Antag att vi planerar att starta diagrammet med en uppsättning kontrollgränser och att ändra gränserna för att vara stramare efter att processen har fungerat under en tidsperiod som bestäms. Specifikt antar vi att processen är prover varje h-timme och efter mth-provet ändras kontrollgränserna. Detta illustreras i utställning 1. Målet är att välja de ekonomiska värdena för kostnadsparametern för att minimera den förväntade totala kostnaden. Kostnadsmodellen är konstruerad för att möjliggöra det optimala valet av förändringstid och de bästa värdena för de initiala och justerade kontrollgränserna och kan därför öka kontrolldiagrammets känslighet för små men förväntade förändringar i processgenomsnittet så att diagrammet snabbt kan upptäcka en speciell orsak och få processen i kontroll. Kostnadsmodellen används också för att ge en jämförelse med konventionell implementering av Shewhart-kontrolldiagrammet för PMBOK-utbildningens syfte för kvalitetsledning.
modellutveckling
Antag att en process övervakas med hjälp av ett
diagram och processen är föremål för en övergång från in-control-värdet för processmedelvärdet, Bisexuell 1, till ett-out-of-control-värde, Bisexuell 2, Vid en slumpmässig tidpunkt. Antag tiden tills en processförskjutning är en slumpvariabel med F (t) = T/XHamster, (0 < Bisexuell < bisexuell). Låt N vara det maximala värdet på t, sedan n = 2 / h, och anta att N är som heltal. För att konstruera den förväntade totala kostnaden per tidsenhet beaktas följande kostnadskategorier:
1. Ci = provtagnings-och inspektionskostnad, enhetskostnad per händelse = c
2. Cf= falsklarmskostnad, enhetskostnad per händelse = c
3. Ct = sann signal och processkorrigeringskostnad, enhetskostnad per händelse = c
4. Cd = kostnad för att producera undermålig produkt medan out-of-control, enhetskostnad per artikel = c
5. CT = total kostnad per tidsenhet
den förväntade totala kostnaden per tidsenhet funktionen definieras sedan som:
där E är den förväntade cykellängden (tid att signalera). Följande noteringar används:
μ1 = i-kontrollera värdet av processen innebära
μ2 = out-of-control värdet av processen innebära
σx = känd och konstant standardavvikelsen för populationen
UCL = övre kontroll begränsa = μ1 + kσx / n1/22
LCL = lägre kontroll begränsa = μ1 – kσx / n1/2
Ux = övre specifikation begränsa
Lx = lägre specifikation begränsa
p1 = andelen icke-överensstämmande när μ = μ1
p2 = andelen icke-överensstämmande när μ = μ2
p = p1 – p2
h = tiden mellan prov
r = produktionstakten i enheter/timme
n = antal objekt som inspekterats per prov
m = antalet prover innan du ändrar gränser
δ = antal enheter av σx från μ1 att μ2
k1 = antalet σx /n1/2 från μ1 till UCL innan provet mh
k2 = antalet σx /n1/2 från μ1 till UCL efter prov mh
α = typ i-fel sannolikhet
β = typ II fel sannolikhet
Beslutet variabler n, h, m, k1 och k2. De optimala värdena för beslutsvariablerna väljs för att minimera den förväntade totala kostnaden per tidsenhet.
(1) Inspektionskostnad = Ci = {fast kostnad + (enhetskostnad)(antal inspekterade)}/{tid mellan prover}, därför:
utställning 2. Tidsintervall som involverar T och tp
Observera att inspektionskostnaden är densamma för både standarden och det generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammet.
(2) falskt larmkostnad = Cf = (enhetskostnad)(Sannolikhet för falskt larm) = cf P.
låt a = ”falskt larm”, A1 = ”falskt larm på prov I”, A2 = ”ingen processförskjutning före prov I”, då är sannolikheten för falskt larm konstruerat som:
således är falsklarmskostnaden:
sannolikheten för falskt larm för det generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammet är helt annorlunda än för standardkontrolldiagrammet. Vi måste ta hänsyn till t oc MH eller t > MH separat. Således:
därför:
(3) sann signalkostnad = Ct = (enhetskostnad)(Sannolikhet för en sann signal) = ctP.
låt B = ”sann signal”, B1= ”processförskjutning i intervall j”, B2 = ”inget falskt larm vid pågående J-1-prover”, då är uttrycket för P:
således har den sanna signalkostnaden följande form:
sannolikheten för sann signal för det generaliserade Shewhart-styrdiagrammet definieras som:
således:
(4) kostnad för att producera avvikande objekt när processen är utom kontroll = Cd = (enhetskostnad)(produktionshastighet)(ökning i proportion som inte överensstämmer)(förväntad tid utan kontroll).
tidsintervallen i detta steg kan ses över i utställning 2.
E = E + E. Observera att delen av intervallet före processskiftet kan skrivas som T = t-jh, därför:
sedan:
slutligen:
E är samma för det generaliserade Shewhart-styrdiagrammet men E är lite annorlunda eftersom identifieringen av intervallet där skiftet inträffar påverkar signalsannolikheten. Således:
därför:
(4) Låt E1 = ”falskt larm på prov j och ingen processförskjutning före prov j,” E2 = ”processförskjutning under intervall s, inget falskt larm före intervall och sann signal på prov j (j-s+1: A efter skift).”Då är uttrycket för den förväntade cykellängden:
den förväntade cykellängden för det generaliserade Shewhart-styrdiagrammet måste också återspegla skillnader i signalhändelser före och efter mh. E (g) kan skrivas som:
därför:
modellanalys
kostnadsvillkoren är funktioner för beslutsvariablerna, kostnadsparametrarna och distributionsparametern. Två av beslutsvärdena för m och n är begränsade till heltal, medan k1 och k2 kan ta verkliga värden. Eftersom Montgomery (1980) indikerar att en samplingsfrekvens på en timme är vanlig för många kontrolldiagram används h = en tidsenhet. Kostnadsmodellens beteende analyseras numeriskt. GINO (Lasdon & Warren, 1985) används för att undersöka beteendet hos kostnadsmodellen över rimliga parameteruppsättningar och generaliserad reducerad gradient (GRG) algoritm används för att försöka minimera den förväntade totala kostnaden per tidsenhet funktion för dessa parameteruppsättningar. De utvärderade parameterområdena listas nedan.
(1) 200 (8200)
(2) 0.522, storleken på skiftet i medelvärdet när ett skifte inträffar. Detta värde väljs eftersom det motsvarar en ökning av andelen som inte överensstämmer från 0,01 till 0,02.
(3) ci = 1,0; 5,0
(4) cd-skiva (1, 10)
(5) cf = 100
(6) r = 200, produktionshastigheten
(7) ct = 10
ovanstående parameterområden definierar de scenarier under vilka standardens ekonomiska resultat och det generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammet undersöks. Den numeriska analysen av beteendet hos den förväntade totala kostnaden per tidsenhet med avseende på beslutsvariablerna för en familj av parameterområdena undersöks.
den förväntade totala kostnaden per tidsenhet är konvex i k för alla intervall för de andra parametrarna. Små värden på k skapar stora förväntade totala kostnader eftersom ett alltför stort antal falska larm ges. Detta kan dominera alla kostnadsbesparingar på grund av snabb växlingsdetektering. Mellanvärden på k ger den minsta förväntade totala kostnaden eftersom de balanserar kostnaderna för att inte överensstämma med produktionen mot falsklarmskostnaden. Stora värden på k ger minskade sannolikheter för skiftdetektering och därmed allt större avvikande produktionskostnad. Den totala effekten är att den förväntade kostnaden minskar till ett minimum och sedan stiger igen när k ökar.
den förväntade totalkostnadsfunktionen är också konvex i n för alla intervall för de andra parametrarna. Små värden på n innebär låga provtagningskostnader men höga avvikande kostnader eftersom skift inte snabbt upptäcks. Mellanliggande värden på n balanserar provtagningskostnaden mot den avvikande produktkostnaden för att uppnå den lägsta förväntade totala kostnaden. Stora värden på n innebär stora provtagningskostnader, vilket kan dominera besparingarna i avvikande produktkostnader som uppnås genom större detekteringssannolikheter. Dessa tolkningar varierar beroende på den relativa betydelsen av varje kostnadskategori men den totala effekten är att den förväntade totalkostnadsfunktionen är konvex i n.
ovanstående resultat för n och k förväntas för standard Shewhart-kontrolldiagrammen i allmänhet och bekräftas för de generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammen. Det generaliserade Shewhart – kontrolldiagrammet har funktioner som standard Shewhart-kontrolldiagrammet inte gör. Egenskaperna som härrör från dessa ytterligare funktioner utforskas nu.
modellbeteende när det gäller beslutsvariabeln m, k1 och k2 kännetecknas av tre fall. De relativa magnituderna av kostnadsparametrarna bestämmer i varje fall vilket beteende som observeras. I fall ett, den förväntade totala kostnaden per tidsenhet funktion CT, visar konvex beteende i var och en av beslutsvariablerna m, k1, och k2 och ett minimum inträffar i det inre av den konvexa genomförbara regionen. Detta innebär att minimikostnadskontrolldiagrammet är någon form av det generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammet. I fall två är CT fortfarande konvex men det har ett minimum som motsvarar en gräns på m = 0 och k2 = k1 och det ökar strikt i var och en av dessa variabler. Detta innebär att minimikostnadskontrolldiagrammet är ett standard Shewhart-kontrolldiagram utan ändringar av kontrollgränser. I fall tre, CT strikt minskning i både m och k2 och har ett minimum vid gränsen k1 = k2 och m = GHz. Detta innebär att minimikostnadskontrolldiagrammet är ett standard Shewhart-kontrolldiagram utan ändringar av kontrollgränser.
slutsats
analysen som presenteras ovan ger flera intressanta punkter. Den första av dessa är att analysen av kostnaden för att driva någon typ av kontrolldiagram bör behandlas mycket noggrant, eftersom kostnadsfunktionen kanske inte alltid har den allmänt antagna regelbundenheten. Valet av kostnadskoefficienter, tiden för skiftfördelning och distributionsparametrar har ett direkt inflytande på prestanda för den förväntade totala kostnaden per tidsenhet. De viktiga resultaten av den utförda analysen visar att det generaliserade Shewhart-diagrammet för medel kan vara ekonomiskt attraktivt när inspektionskostnaden, den sanna signalkostnaden och den avvikande kostnaden tillsammans balanserar den förväntade cykellängden och falsklarmskostnaden. När så är fallet är den förväntade totala kostnaden per tidsenhet konvex med ett inre minimum och en möjlighet till optimering av det generaliserade Shewhart-styrdiagrammet. När en eller flera av modellvillkoren dominerar de andra kommer den förväntade totala kostnaden per tidsenhet att visa samma ökande eller minskande beteende som den dominerande faktorn och den generaliserade kostnadsmodellen som studerats i detta dokument kommer att vara oattraktiv.
den andra slutsatsen är att alla modellparametrar och variabler är viktiga för den förväntade totala kostnaden per tidsenhet. Kontrollgränserna k1 och k2 har en stor effekt än vad fördelningsparametern Xiaomi och k2 har en större effekt än k1. Det är också sant att provstorleken, n och tiden för förändringen i bredden på kontrollgränserna, m, förbättrar effekten av distributionsparametern, K1 och k2.
den slutliga slutsatsen är att det finns kontrolldiagramapplikationer för vilka kostnadsmodellen är användbar. Värden för produktionsprocessparametrarna som visar mer vanligt förekommande relationer leder till att det generaliserade Shewhart-styrdiagrammet har lägre kostnad än motsvarande standard Shewhart-styrdiagram. För det exempelfall som analyseras ovan är den optimala besparingen $0,22 per producerad artikel. Eftersom produktionstakten antas är 200 / timme, Spara $44 per timme. Denna besparing är dramatisk och därför är det generaliserade Shewhart-kontrolldiagrammet värt att driva.