rullande hjulredigera
ett hjul (ibland visualiserat som en Enhjuling eller ett rullande mynt) är ett icke-holonomiskt system.
Layman ’ s explanationEdit
Tänk på hjulet på en cykel som parkeras på en viss plats (på marken). Initialt är uppblåsningsventilen vid en viss position på hjulet. Om cykeln körs runt och sedan parkeras på exakt samma plats kommer ventilen nästan säkert inte att vara i samma position som tidigare. Dess nya position beror på den väg som tagits. Om hjulet var holonomiskt skulle ventilspindeln alltid hamna i samma position så länge hjulet alltid rullades tillbaka till samma plats på jorden. Det är dock klart att detta inte är fallet, så systemet är icke-holonomiskt.
matematisk förklaringredigera
på hjulet är markerade. De röda och blå linjerna låg på marken.
det är möjligt att modellera hjulet matematiskt med ett system med begränsningsekvationer och sedan bevisa att det systemet är icke-holonomiskt.
först definierar vi konfigurationsutrymmet. Hjulet kan ändra sitt tillstånd på tre sätt: ha en annan rotation kring sin axel, ha en annan styrvinkel och vara på en annan plats. Vi kan säga att {\displaystyle \phi }
är rotationen kring axeln, {\displaystyle \theta }
är styrvinkeln i förhållande till x {\displaystyle X}
-axel och X {\displaystyle X}
och Y {\displaystyle y}
definierar den rumsliga positionen. Således är konfigurationsutrymmet: u 0 = t {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {t} }}
Vi måste nu relatera dessa variabler till varandra. Vi märker att när hjulet ändrar sin rotation ändrar det sin position. Förändringen i rotation och position som innebär hastigheter måste vara närvarande, vi försöker relatera vinkelhastighet och styrvinkel till linjära hastigheter genom att ta enkla tidsderivat av lämpliga termer:
( x y ) = ( R occlusion cos occlusion r occlusion sin occlusion ) {\displaystyle \Left({\begin{array}{C}{\Dot {x}}\\{\Dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}r{\Dot {\Phi }}\cos \theta \\r{\Dot {\Phi }}\sin \theta \end{array}}\right)}
hastigheten i X {\displaystyle X}
riktningen är lika med vinkelhastighetstiderna radien gånger cosinus för styrvinkeln, och Y {\displaystyle y}
hastighet är liknande. Nu gör vi en del algebraisk manipulation för att omvandla ekvationen till Pfaffian form så det är möjligt att testa om det är holonomiskt. ( X − R (x − R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-r) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-R) (x-r) ” > {\displaystyle \Left ({\begin{array}{C}{\Dot {X}} – r{\Dot {\Phi}} \ cos \ theta \ \ {\Dot {y}} – r {\Dot {\Phi}} \sin \ theta \ end{array}} \ right)={\overrightarrow {0}}}
låt oss separera variablerna från deras koefficienter (vänster sida av ekvationen, härledd från ovan). Vi inser också att vi kan multiplicera alla termer med d t {\displaystyle {\text{d}}t}
så vi slutar med bara skillnaderna (höger sida av ekvationen): (1 0 0-r cos 0 1 0-r sin 0 ) ( x y 0) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos 0 1 0 − r sin 0 ) ( D x d y d 2CL d 2CL ) {\displaystyle \vänster({\begin{array}{C}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\höger)\vänster({\begin{array}{C}{\Dot {X}}\\{\Dot {y}}\\{\Dot {\theta }}\\{\Dot {\Phi }}\end{array}}\right)={\overrightarrow {0}}=\left({\begin{array}{c}1&&&-r\cos \theta \\0&&&-r\sin \theta \end{array}}\höger)\vänster({\begin{array}{C}{\text{D}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\Theta \\{\text{D}}\Phi \end{array}}\höger)}
den högra sidan av ekvationen är nu i Pfaffian form:
displaystyle\sum _{s = 1}^{n}a_{rs}du_{s} = 0;\; r = 1,2}
vi använder nu det universella testet för holonomiska begränsningar. Om detta system var holonomiskt kan vi behöva göra upp till åtta tester. Vi kan dock använda matematisk intuition för att göra vårt bästa för att bevisa att systemet är icke-holonomiskt vid det första testet. Med tanke på testekvationen är:
En γ ( ∂ A β ∂ α u − ∂ A α ∂ u β ) + En β – ( ∂ A α ∂ u γ − ∂ En γ ∂ u α ) + A α ( ∂ A γ ∂ u β − ∂ A β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}
Vi kan se att om någon av termerna A {\displaystyle A_{\alpha}}
, a {\displaystyle A_{\beta }}
, eller en {\displaystyle A_{\gamma }}
var noll, att den delen av testekvationen skulle vara trivial att lösa och skulle var lika med noll. Därför är det ofta bästa praxis att den första testekvationen har så många icke-nolltermer som möjligt för att maximera chansen att summan av dem inte motsvarar noll. Därför väljer vi: Α = 1 {\displaystyle A_{\alpha }=1}
β = 0 {\displaystyle A_{\beta }=0}
γ = − r cos θ {\displaystyle A_{\gamma }=-r – \cos \theta }
u α = d-x {\displaystyle u_{\alpha }=dx}
u β = d θ {\displaystyle u_{\beta }=d\theta }
u γ = D 0 {\displaystyle u_ {\gamma }=d \ phi }
vi ersätter vår testekvation:
( − r cos θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r – \cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r – \cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r – \cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}
och förenkla:
r sin 0 {\displaystyle r\sin \theta = 0}
Vi kan lätt se att detta system, som beskrivet, är icke-holonomiskt, eftersom sin exporterar {\displaystyle \sin \theta }
är inte alltid lika med noll.
ytterligare slutsats
Vi har slutfört vårt bevis på att systemet är icke-holonomiskt, men vår testekvation gav oss några insikter om huruvida systemet, om det är ytterligare begränsat, kan vara holonomiskt. Många gånger kommer testekvationer att returnera ett resultat som − 1 = 0 {\displaystyle -1=0}
vilket innebär att systemet aldrig kan begränsas till att vara holonomiskt utan att radikalt ändra systemet, men i vårt resultat kan vi se att r sin
- r{\displaystyle r}
, hjulets radie kan vara noll. Detta är inte till hjälp eftersom systemet skulle förlora alla sina frihetsgrader.
- sin Portugals {\displaystyle \sin \theta}
kan vara noll genom att ställa in {\displaystyle \theta }
lika med noll. Detta innebär att om hjulet inte fick vända och var tvungen att röra sig bara i en rak linje hela tiden, skulle det vara ett holonomiskt system.
det finns en sak som vi ännu inte har övervägt, att för att hitta alla sådana modifieringar för ett system måste man utföra alla åtta testekvationer (fyra från varje begränsningsekvation) och samla alla misslyckanden för att samla alla krav för att göra systemet holonomiskt, om möjligt. I detta system, av de sju ytterligare testekvationerna, presenterar ett ytterligare Fall sig själv:
− r cos θ = 0 {\displaystyle -r – \cos \theta =0}
Detta inte utgör mycket svårt, dock, som att lägga till ekvationer och dividera med r {\displaystyle r}
resultat: synd θ − cos θ = 0 {\displaystyle \synd \theta -\cos \theta =0}
som har lösningen θ = π 4 + n π ; n ∈ Z {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n \ in \ mathbb {Z} }
hänvisa till lekmannens förklaring ovan där det sägs, ” ny position beror på den väg som tagits. Om hjulet var holonomiskt skulle ventilspindeln alltid hamna i samma position så länge hjulet alltid rullades tillbaka till samma plats på jorden. Det är dock klart att detta inte är fallet, så systemet är icke-holonomiskt.”Men det är lätt att visualisera att om hjulet bara fick rulla i en perfekt rak linje och bakåt, skulle ventilspindeln hamna i samma position! Faktum är att det inte är nödvändigt att röra sig parallellt med den givna vinkeln för den angivna vinkeln för 2x {\displaystyle \pi }
/ 4 {\displaystyle 4}
i verkligheten, eftersom koordinatsystemets orientering är godtycklig. Systemet kan bli holonomiskt om hjulet bara rör sig i en rak linje i vilken fast vinkel som helst i förhållande till en given referens. Således har vi inte bara bevisat att det ursprungliga systemet är nonholonomic, men vi kunde också hitta en begränsning som kan läggas till systemet för att göra det holonomiskt.
Rolling sphereEdit
detta exempel är en förlängning av problemet’ rolling wheel ’ som diskuterats ovan.
Tänk på en tredimensionell ortogonal kartesisk koordinatram, till exempel en nivå bordsskiva med en punkt markerad på den för ursprunget, och x-och y-axlarna läggs ut med blyertslinjer. Ta en sfär av enhetsradie, till exempel en ping-pong boll, och markera en punkt B i blått. Motsvarande denna punkt är en sfärens diameter, och planet ortogonalt till denna diameter placerad vid sfärens centrum C definierar en stor cirkel som kallas ekvatorn associerad med punkt B. på denna ekvator väljer du en annan punkt R och markerar den i rött. Placera sfären på z = 0-planet så att punkten B sammanfaller med ursprunget, C är belägen vid x = 0, y = 0, z = 1 och R är belägen vid x = 1, y = 0 och z = 1, d.v. s. r sträcker sig i riktning mot den positiva x-axeln. Detta är sfärens initiala eller referensorientering.
sfären kan nu rullas längs någon kontinuerlig stängd bana i z = 0-planet, inte nödvändigtvis en helt enkelt ansluten bana, på ett sådant sätt att den varken glider eller vrider, så att C återgår till x = 0, y = 0, z = 1. I allmänhet sammanfaller punkt B inte längre med ursprunget, och punkt R sträcker sig inte längre längs den positiva x-axeln. Faktum är att genom val av en lämplig väg kan sfären omorienteras från den ursprungliga orienteringen till vilken som helst möjlig orientering av sfären med C belägen vid x = 0, y = 0, z = 1. Systemet är därför icke-holonomiskt. Anholonomin kan representeras av den dubbelt unika kvaternionen (q och −q) som, när den tillämpas på de punkter som representerar sfären, bär punkterna B och R till sina nya positioner.
Foucault pendulumEdit
ett ytterligare exempel på ett icke-holonomiskt system är Foucault-pendeln. I den lokala koordinatramen svänger pendeln i ett vertikalt plan med en viss orientering med avseende på geografisk norr i början av banan. Systemets implicita bana är latitudlinjen på jorden där pendeln är belägen. Även om pendeln är stillastående i Jordramen, rör den sig i en ram som hänvisas till solen och roterar i synkronisering med jordens rotationshastighet, så att pendelplanets enda uppenbara rörelse är den som orsakas av jordens rotation. Denna senare ram anses vara en tröghetsreferensram, även om den också är icke-tröghet på mer subtila sätt. Jordramen är välkänd för att vara icke-tröghet, ett faktum som kan uppfattas av den uppenbara närvaron av centrifugalkrafter och Coriolis-krafter.
rörelse längs latitudlinjen parametriseras genom tidens gång, och Foucault-pendelns oscillationsplan verkar rotera runt den lokala vertikala axeln när tiden går. Rotationsvinkeln för detta plan vid en tidpunkt t med avseende på den ursprungliga orienteringen är systemets anholonomi. Anholonomin som induceras av en fullständig krets av latitud är proportionell mot den fasta vinkeln som subtenderas av den latitudcirkeln. Banan behöver inte begränsas till latitudcirklar. Till exempel kan pendeln monteras i ett flygplan. Anholonomin är fortfarande proportionell mot den fasta vinkeln som subtenderas av banan, som nu kan vara ganska oregelbunden. Foucault-pendeln är ett fysiskt exempel på parallelltransport.
linjärt polariserat ljus i en optisk fiberredigera
ta en längd av optisk fiber, säg tre meter och lägg den ut i en absolut rak linje. När en vertikalt polariserad stråle införs i ena änden framträder den från den andra änden, fortfarande polariserad i vertikal riktning. Markera toppen av fibern med en rand som motsvarar orienteringen av den vertikala polarisationen.
spola nu fibern tätt runt en cylinder med tio centimeter i diameter. Fiberns väg beskriver nu en spiral som, liksom cirkeln, har konstant krökning. Spiralen har också den intressanta egenskapen att ha konstant vridning. Som sådan är resultatet en gradvis rotation av fibern kring fiberns axel när fiberns mittlinje fortskrider längs spiralen. På motsvarande sätt vrider remsan också runt spiralaxeln.
När linjärt polariserat ljus introduceras igen i ena änden, med polarisationens orientering i linje med randen, kommer det i allmänhet att framstå som linjärt polariserat ljus i linje med randen, men i viss fast vinkel mot randen, beroende på fiberns längd och helixens tonhöjd och radie. Detta system är också icke-holonomiskt, för vi kan enkelt spola fibern ner i en andra spiral och rikta in ändarna och återföra ljuset till dess ursprungspunkt. Anholonomin representeras därför av avvikelsen av polarisationsvinkeln med varje krets av fibern. Genom lämplig justering av parametrarna är det uppenbart att eventuellt vinkeltillstånd kan produceras.
RoboticsEdit
i robotik har nonholonomic studerats särskilt inom ramen för rörelseplanering och återkopplingslinjärisering för mobila robotar.