Système non holonomique

Roue roulantedit

Une roue (parfois visualisée sous la forme d’un monocycle ou d’une pièce roulante) est un système non holonomique.

Explication profane

Considérez la roue d’un vélo qui est garée à un certain endroit (sur le sol). Initialement, la soupape de gonflage est à une certaine position sur la roue. Si le vélo est monté, puis garé exactement au même endroit, la vanne ne sera presque certainement pas dans la même position qu’auparavant. Sa nouvelle position dépend du chemin emprunté. Si la roue était holonomique, la tige de soupape se retrouverait toujours dans la même position tant que la roue était toujours ramenée au même endroit sur la Terre. Il est clair cependant que ce n’est pas le cas, donc le système n’est pas holonomique.

Explication mathématique

Un individu chevauchant un monocycle motorisé. L’espace de configuration du monocycle et le rayon r{\displaystyle r}

de la roue sont marqués. Les lignes rouges et bleues reposent sur le sol.

Il est possible de modéliser mathématiquement la roue avec un système d’équations de contraintes, puis de prouver que ce système n’est pas holonomique.

Tout d’abord, nous définissons l’espace de configuration. La roue peut changer d’état de trois manières: avoir une rotation différente autour de son essieu, avoir un angle de braquage différent et être à un emplacement différent. On peut dire que {{\displaystyle\phi}

est la rotation autour de l’essieu, θ{\displaystyle\theta}

est l’angle de braquage par rapport au x {\displaystyle x}

– axe, et x {\displaystyle x}

et y {\displaystyle y}

définissent la position spatiale. Ainsi, l’espace de configuration est: u →= T {\displaystyle {\overrightarrow{u}} = {\begin{bmatrix} x & y &\theta &\phi\end {bmatrix}} ^{\mathrm{T}}}

Nous devons maintenant relier ces variables entre elles. On remarque que lorsque la roue change de rotation, elle change de position. Le changement de rotation et de position impliquant des vitesses doit être présent, nous essayons de relier la vitesse angulaire et l’angle de braquage aux vitesses linéaires en prenant de simples dérivées temporelles des termes appropriés:

(x y) =(r cocos θ θ r sin sin θ θ) {\displaystyle\left({\begin{array}{c}{\dot{x}} \\{\dot{y}}\end{array}}\right) = \left({\begin{array}{c}r{\dot{\phi}}\cos\theta\\r{\dot{\phi}} \sin\theta\end{array}}\right) }

La vitesse dans la direction x {\displaystyle x}

est égale aux temps de vitesse angulaire le rayon est multiplié par le cosinus de l’angle de braquage, et la vitesse y{\displaystyle y}

est similaire. Maintenant, nous faisons une manipulation algébrique pour transformer l’équation en forme Pfaffienne afin qu’il soit possible de tester si elle est holonomique. (x−r co cos θ θ y−r sin sin θ θ) = 0 → {\displaystyle\left({\begin{array}{c}{\dot{x}} – r{\dot{\phi}} \cos\theta\\{\dot{y}} – r{\dot{\phi}}\sin\theta\end{array}}\right) = {\overrightarrow{0}}}

Séparons les variables de leurs coefficients (côté gauche de l’équation, dérivé de ci-dessus). Nous réalisons également que nous pouvons multiplier tous les termes par d t {\displaystyle {\text {d}}t}

nous nous retrouvons donc avec seulement les différentiels (côté droit de l’équation): (1 0 0-r cos θ θ 0 1 0-r sin θ θ) (x y θ ϕ ) = 0 → = ( 1 0 0 − r cos θ θ 0 1 0 − r sin θ θ) (d x d y d θ d ϕ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c} 1 &&& -r\cos\theta\\0 &&& – r\sin\theta\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\dot{x}}\\{\dot{y}}\\{\dot{\theta}}\ \{\dot{\phi}}\end{array}}\right) = {\overrightarrow{0}} = \left({\begin{array}{c}1 &&&-r\cos\theta\\0&&& – r\sin\theta\end {array}}\right)\left ({\begin{array}{c}{\text{d}} x\\{\text{d}} y\\{\text{d}}\theta\\{\text{d}}\phi\end{array}}\right)}

Le côté droit de l’équation est maintenant sous forme pfaffienne:

∑ s = 1 n A r s d u s = 0; r=1, 2 {\ displaystyle\sum_{s=1}^{n}A_{rs} du_{s}= 0;\;r= 1,2}

Nous utilisons maintenant le test universel pour les contraintes holonomiques. Si ce système était holonomique, nous pourrions avoir à faire jusqu’à huit tests. Cependant, nous pouvons utiliser l’intuition mathématique pour faire de notre mieux pour prouver que le système est non holonomique lors du premier test. Considérant l’équation de test est:

γ ( ∂ Un β ∂ u α ∂ A α ∂ u β ) + Un β ( ∂ A α ∂ u γ ∂ A γ ∂ u α ) + Un α ( ∂ A γ ∂ u β ∂ Un β ∂ u γ ) = 0 {\displaystyle A_{\gamma }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}{\bigg )}+A_{\beta }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}{\bigg )}+A_{\alpha }{\bigg (}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}{\bigg )}=0}

nous pouvons voir que si l’un des termes A α {\displaystyle A_{\alpha}}

, A β {\displaystyle A_{\beta }}

, ou Un γ {\displaystyle A_{\gamma}}

étaient nuls, que cette partie de l’équation de test serait triviale à résoudre et serait égale à zéro . Par conséquent, il est souvent recommandé que la première équation de test ait autant de termes non nuls que possible pour maximiser les chances que la somme d’entre eux ne soit pas égale à zéro. Par conséquent, nous choisissons: Le α=1 {\displaystyle A_{\alpha}= 1}

Le β=0 {\displaystyle A_{\beta}=0}

Le γ =−r cos θ θ {\displaystyle A_{\gamma}=-r\cos\theta}

u α = d x {\displaystyle u_{\alpha}=dx}

u β=d θ {\displaystyle u_{\beta}=d\theta}

u γ= d ϕ {\displaystyle u_{\gamma}=d\phi}

Nous remplaçons dans notre équation de test:

( − r cos ⁡ θ ) ( ∂ ∂ x ( 0 ) − ∂ ∂ θ ( 1 ) ) + ( 0 ) ( ∂ ∂ ϕ ( 1 ) − ∂ ∂ x ( − r cos ⁡ θ ) ) + ( 1 ) ( ∂ ∂ θ ( − r cos ⁡ θ ) − ∂ ∂ ϕ ( 0 ) ) = 0 {\displaystyle (-r\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1){\bigg )}+(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta ){\bigg )}+(1){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0){\bigg )}=0}

et simplifier:

r sin θθ = 0 {\displaystyle r\sin\theta = 0}

Nous pouvons facilement voir que ce système, tel que décrit, est non holonomique, car sin θθ {\displaystyle\sin\theta}

n’est pas toujours égal à zéro.

Conclusions supplémentairesdit

Nous avons terminé notre preuve que le système n’est pas holonomique, mais notre équation de test nous a donné un aperçu de la question de savoir si le système, s’il était davantage contraint, pourrait être holonomique. Plusieurs fois, les équations de test renverront un résultat comme −1 = 0 {\displaystyle-1 = 0}

ce qui implique que le système ne pourrait jamais être contraint à être holonomique sans modifier radicalement le système, mais dans notre résultat, nous pouvons voir que r sin θ θ {\displaystyle r\sin \theta}

peut être égal à zéro, de deux manières différentes:

• r {\displaystyle r}
  

  , le rayon de la roue, peut être nul. Cela n’est pas utile car le système perdrait tous ses degrés de liberté.

• sin θθ{\displaystyle\sin\theta}
  

  peut être nul en définissant θ{\displaystyle\theta}

  

  égal à zéro. Cela implique que si la roue n’était pas autorisée à tourner et devait se déplacer uniquement en ligne droite à tout moment, ce serait un système holonomique.

Il y a une chose que nous n’avons pas encore considérée cependant, que pour trouver toutes ces modifications pour un système, il faut effectuer les huit équations de test (quatre de chaque équation de contrainte) et collecter tous les échecs pour rassembler toutes les exigences pour rendre le système holonomique, si possible. Dans ce système, sur les sept équations de test supplémentaires, un cas supplémentaire se présente:

−r cos θθ = 0 {\displaystyle-r\cos\theta = 0}

Cela ne pose cependant pas beaucoup de difficulté, car l’ajout des équations et la division par r {\displaystyle r}

entraîne : sin θ θ−cos θ θ = 0 {\displaystyle\sin\theta-\cos\theta = 0}

qui a la solution θ = π 4 + n π; n ∈ Z { \displaystyle\theta = {\frac{\pi}{4}} +n\pi ;\;n\in\mathbb{Z}}

Reportez-vous à l’explication du profane ci-dessus où il est dit: « la nouvelle position dépend du chemin emprunté. Si la roue était holonomique, la tige de soupape se retrouverait toujours dans la même position tant que la roue était toujours ramenée au même endroit sur la Terre. Il est clair cependant que ce n’est pas le cas, donc le système n’est pas holonomique. »Cependant, il est facile de visualiser que si la roue ne pouvait rouler qu’en ligne parfaitement droite et en arrière, la tige de soupape se retrouverait dans la même position! En fait, se déplacer parallèlement à l’angle donné de π {\displaystyle\pi}

/4{\displaystyle 4}

n’est pas réellement nécessaire dans le monde réel car l’orientation du système de coordonnées lui-même est arbitraire. Le système peut devenir holonomique si la roue ne se déplace qu’en ligne droite à un angle fixe quelconque par rapport à une référence donnée. Ainsi, nous avons non seulement prouvé que le système d’origine est non holonomique, mais nous avons également pu trouver une restriction qui peut être ajoutée au système pour le rendre holonomique.

Sphère de roulement

Cet exemple est une extension du problème de « roue de roulement » considéré ci-dessus.

Considérons un cadre de coordonnées cartésiennes orthogonales tridimensionnelles, par exemple un plateau de table de niveau avec un point marqué sur celui-ci pour l’origine, et les axes x et y disposés avec des lignes de crayon. Prenez une sphère de rayon unitaire, par exemple une balle de ping-pong, et marquez un point B en bleu. Correspondent à ce point un diamètre de la sphère, et le plan orthogonal à ce diamètre positionné au centre C de la sphère définit un grand cercle appelé équateur associé au point B. Sur cet équateur, sélectionnez un autre point R et marquez-le en rouge. Positionnez la sphère sur le plan z = 0 de telle sorte que le point B coïncide avec l’origine, C est situé à x = 0, y = 0, z = 1, et R est situé à x = 1, y = 0 et z = 1, c’est-à-dire que R s’étend dans la direction de l’axe x positif. C’est l’orientation initiale ou de référence de la sphère.

La sphère peut maintenant être roulée le long d’un chemin fermé continu dans le plan z = 0, pas nécessairement un chemin simplement connecté, de telle sorte qu’elle ne glisse ni ne se tord, de sorte que C retourne à x = 0, y = 0, z = 1. En général, le point B n’est plus confondu avec l’origine et le point R ne s’étend plus selon l’axe X positif. En effet, par sélection d’un chemin approprié, la sphère peut être réorientée de l’orientation initiale vers toute orientation possible de la sphère avec C située à x = 0, y = 0, z = 1. Le système est donc non holonomique. L’anholonomie peut être représentée par le quaternion doublement unique (q et −q) qui, lorsqu’il est appliqué aux points qui représentent la sphère, porte les points B et R à leurs nouvelles positions.

Pendule de Foucault

Un autre exemple de système non holonomique est le pendule de Foucault. Dans le cadre de coordonnées locales, le pendule se balance dans un plan vertical avec une orientation particulière par rapport au nord géographique au début du trajet. La trajectoire implicite du système est la ligne de latitude sur la Terre où se trouve le pendule. Même si le pendule est immobile dans le cadre Terrestre, il se déplace dans un cadre référé au Soleil et tourne en synchronie avec la vitesse de révolution de la Terre, de sorte que le seul mouvement apparent du plan du pendule est celui provoqué par la rotation de la Terre. Ce dernier référentiel est considéré comme un référentiel inertiel, bien qu’il soit lui aussi non inertiel de manière plus subtile. La trame terrestre est bien connue pour être non inertielle, ce qui est perceptible par la présence apparente de forces centrifuges et de forces de Coriolis.

Le mouvement le long de la ligne de latitude est paramétré par le passage du temps, et le plan d’oscillation du pendule de Foucault semble tourner autour de l’axe vertical local au fil du temps. L’angle de rotation de ce plan à un instant t par rapport à l’orientation initiale est l’anholonomie du système. L’anholonomie induite par un circuit complet de latitude est proportionnelle à l’angle solide sous-tendu par ce cercle de latitude. Le chemin n’a pas besoin d’être limité aux cercles de latitude. Par exemple, le pendule peut être monté dans un avion. L’anholonomie est toujours proportionnelle à l’angle solide sous-tendu par le chemin, qui peut maintenant être assez irrégulier. Le pendule de Foucault est un exemple physique de transport parallèle.

Lumière polarisée linéaire dans une fibre optiquedit

Prenez une longueur de fibre optique, disons trois mètres, et disposez-la en ligne absolument droite. Lorsqu’un faisceau polarisé verticalement est introduit à une extrémité, il émerge de l’autre extrémité, toujours polarisé dans le sens vertical. Marquez le haut de la fibre avec une bande correspondant à l’orientation de la polarisation verticale.

Maintenant, enroulez la fibre étroitement autour d’un cylindre de dix centimètres de diamètre. Le trajet de la fibre décrit maintenant une hélice qui, comme le cercle, a une courbure constante. L’hélice a également la propriété intéressante d’avoir une torsion constante. En tant que tel, le résultat est une rotation progressive de la fibre autour de l’axe de la fibre à mesure que la ligne centrale de la fibre progresse le long de l’hélice. En conséquence, la bande se tord également autour de l’axe de l’hélice.

Lorsque la lumière polarisée linéairement est à nouveau introduite à une extrémité, l’orientation de la polarisation étant alignée avec la bande, elle émergera en général sous forme de lumière polarisée linéaire alignée non pas avec la bande, mais à un angle fixe par rapport à la bande, dépendant de la longueur de la fibre, du pas et du rayon de l’hélice. Ce système est également non holonomique, car nous pouvons facilement enrouler la fibre en une deuxième hélice et aligner les extrémités, renvoyant la lumière à son point d’origine. L’anholonomie est donc représentée par la déviation de l’angle de polarisation avec chaque circuit de la fibre. Par un ajustement approprié des paramètres, il est clair que tout état angulaire possible peut être produit.

RoboticsEdit

En robotique, le non-holonomique a été particulièrement étudié dans le domaine de la planification des mouvements et de la linéarisation par rétroaction pour les robots mobiles.