Les cartes de contrôle Shewhart sont largement utilisées pour afficher des données d’échantillon dans un processus de production. Ils se sont également révélés utiles pour évaluer la capacité du processus, estimer les paramètres du processus et surveiller le comportement d’un processus de production. Un graphique de contrôle est maintenu en prélevant des échantillons d’un processus et en traçant dans l’ordre temporel sur le graphique certaines statistiques calculées pour les échantillons. Les limites de contrôle sur le graphique représentent les limites dans lesquelles les points tracés tomberaient avec une forte probabilité si l’opération était sous contrôle. Un point en dehors des limites de contrôle est considéré comme une indication que quelque chose, parfois appelé une cause spéciale de variation, est arrivé à changer le processus. Lorsque le graphique signale la présence d’une cause spéciale, une action de rectification est entreprise pour supprimer la cause spéciale et reprendre le contrôle du processus. En plus des causes communes, qui produisent une variation aléatoire, des causes spéciales peuvent produire individuellement une quantité importante de variation. Lorsqu’une cause spéciale de variation est présente, la distribution de la métrique de qualité est indexée par un ou plusieurs paramètres et la présence d’une cause spéciale a pour effet de modifier les valeurs de ces paramètres. Le but d’un tableau de contrôle est de détecter les causes particulières de variation afin que ces causes puissent être trouvées et éliminées. Étant donné qu’une cause particulière est supposée produire un changement de paramètre, le problème pour lequel un tableau de contrôle est utilisé peut être formulé comme le problème de surveillance d’un processus pour détecter tout changement dans les paramètres de la distribution de la variable de qualité.
Pièce 1. Le Diagramme de contrôle de Shewhart généralisé
Duncan (1956) indique que la pratique habituelle pour maintenir un diagramme de contrôle consiste à tracer l’échantillon du processus par rapport à des limites de contrôle de largeur constante, par exemple des limites de trois sigma. Dans le présent document, une modification de la pratique courante dans laquelle les limites de contrôle de l’échantillonnage ne sont pas fixes mais peuvent varier après que le processus a fonctionné pendant un certain temps est étudiée. La base de choix de la largeur limite de contrôle est un modèle pour le coût d’exploitation de la carte. Le modèle de coût est développé pour décrire le coût total par unité de temps de surveillance de la moyenne d’un processus en utilisant à la fois le diagramme de contrôle Shewhart standard et généralisé. Le modèle de coût est développé en supposant que la caractéristique de qualité d’intérêt est normalement distribuée avec une variance connue et constante.
La définition du modèle de coût pour le graphique de contrôle Shewhart standard se déroule en deux étapes telles que définies par Zou &Nachlas (1993). Tout d’abord, la distribution uniforme de durée de vie est utilisée pour décrire la variable aléatoire t, le temps jusqu’à un décalage de processus. On suppose que le processus est soumis à un passage de la valeur de contrôle de la moyenne du processus, μ1, à une valeur hors contrôle, μ2, à un moment aléatoire dans le temps. Ensuite, le coût d’exploitation d’un tableau de contrôle Shewhart standard est défini à l’aide de quatre termes de coût. Il s’agit (1) du coût de l’inspection; (2) du coût des fausses alarmes; (3) du coût du signal réel; et (4) du coût de production d’articles supplémentaires non conformes lorsque le processus est hors de contrôle. De plus, la durée de cycle attendue est déterminée. Ensuite, le coût total attendu par unité de temps est construit comme le coût d’inspection plus le rapport de la somme des trois coûts attendus à la durée de cycle prévue. La définition du modèle de coût correspondant pour le graphique de contrôle de Shewhart généralisé se déroule de la même manière. Supposons que nous prévoyons de commencer le graphique avec un ensemble de limites de contrôle et de modifier les limites pour les resserrer une fois que le processus a fonctionné pendant une période déterminée. Plus précisément, nous supposons que le processus est des échantillons toutes les h heures et qu’après le mème échantillon, les limites de contrôle sont modifiées. Ceci est illustré à la pièce 1. L’objectif est de choisir les valeurs économiques du paramètre de coût afin de minimiser le coût total attendu. Le modèle de coût est conçu pour permettre le choix optimal du temps de changement et des meilleures valeurs pour les limites de contrôle initiales et ajustées et peut donc augmenter la sensibilité du graphique de contrôle à des changements faibles mais anticipés de la moyenne du processus, de sorte que le graphique est capable de détecter rapidement une cause spéciale et de maîtriser le processus. Le modèle de coût est également utilisé pour fournir une comparaison avec la mise en œuvre conventionnelle du tableau de contrôle Shewhart à des fins d’éducation à la gestion de la qualité PMBOK®.
Développement du modèle
Supposons qu’un processus est surveillé à l’aide d’un graphique 
et que le processus est soumis à un décalage de la valeur de contrôle de la moyenne du processus, μ1, à une valeur hors contrôle, μ2, à un moment aléatoire. Supposons que le temps jusqu’à ce qu’un décalage de processus soit une variable aléatoire avec F(t) = t/θ, (0 << ∞). Soit N la valeur maximale de t, alors N = θ/h, et supposons que N soit entier. Pour construire le coût total attendu par unité de temps, les catégories de coûts suivantes sont prises en compte :
1. Ci = coût d’échantillonnage et d’inspection, coût unitaire par événement = c
2. Cf = coût des fausses alarmes, coût unitaire par événement = c
3. Ct = coût réel de correction du signal et du processus, coût unitaire par événement = c
4. Cd = coût de production d’un produit de qualité inférieure tout en étant hors de contrôle, coût unitaire par article = c
5. CT= coût total par unité de temps
La fonction de coût total par unité de temps attendue est alors définie comme suit :
Où E est la durée de cycle attendue (temps de signal). Les notations suivantes sont utilisées:
μ1= valeur sous contrôle de la moyenne du procédé
μ2= valeur hors contrôle de la moyenne du procédé
σx = écart-type de population connu et constant
UCL = limite de contrôle supérieure = μ1 + kσx/n1/22
LCL = limite de contrôle inférieure = μ1-kσx/n1/2
Ux = limite de spécification supérieure
Lx= limite de spécification inférieure
p1 = proportion non conforme lorsque μ= μ1
p2 = proportion non conforme lorsque μ= μ2
p = p1-p2
h = temps entre les échantillons
r = taux de production en unités /heure
n = nombre d’articles inspectés par échantillon
m = nombre d’échantillons avant de modifier les limites de contrôle
δ = nombre d’unités de σx de μ1 à μ2
k1 = nombre σx/n1/2 de μ1 à UCL avant l’échantillon mh
k2 = nombre σx/n1/2 de μ1 à UCL après échantillon mh
α= la probabilité d’erreur de type I
β= la probabilité d’erreur de type II
Les variables de décision sont n, h, m, k1 et k2. Les valeurs optimales pour les variables de décision sont choisies pour minimiser le coût total attendu par fonction de temps unitaire.
(1) Coût d’inspection = Ci = {coût fixe + (coût unitaire) (nombre inspecté)}/ {temps entre les échantillons}, donc:
Pièce 2. Intervalles de temps Impliquant T et tp
Notez que le coût d’inspection est le même pour le graphique de contrôle Shewhart standard et généralisé.
(2)Coût de la fausse alarme = Cf= (coût unitaire) (probabilité de fausse alarme) = cf P.
Let A= »fausse alarme », A1= »fausse alarme sur l’échantillon I », A2= »pas de changement de processus avant l’échantillon I », alors la probabilité de fausse alarme est construite comme suit:
Ainsi le coût de la fausse alarme est:
p>
La probabilité de fausse alarme pour le graphique de contrôle Shewhart généralisé est très différente de celle pour le graphique de contrôle standard. Nous devons considérer t ≤ mh ou t > mh séparément. Ainsi:
Par conséquent:
(3) Coût du signal vrai = Ct= (coût unitaire) (probabilité d’un signal vrai) = ctP.
Soit B= « signal vrai », B1= « décalage de processus dans l’intervalle j », B2= »pas de fausse alarme sur les échantillons j-1 en cours », alors l’expression pour P est :
Ainsi, le coût du signal vrai a la forme suivante:
div>
La probabilité du signal vrai pour le graphique de contrôle de Shewhart généralisé est définie comme suit:
Ainsi:
(4) Coût de production d’articles non conformes lorsque le processus est hors de contrôle = Cd= (coût unitaire) (taux de production) (augmentation de la proportion non conforme) (temps attendu hors de contrôle).
Les intervalles de temps à cette étape peuvent être examinés dans la pièce 2.
Le E = E +E = E +E. Notez que la partie de l’intervalle avant le décalage de processus peut être écrite comme T=t-jh, donc :
Ensuite :
Enfin:
Le E est le même pour le graphique de contrôle Shewhart généralisé, mais le E est un peu différent car l’identification de l’intervalle dans lequel le décalage se produit affecte la probabilité du signal. Donc:
Par conséquent:
(4) Soit E1 = « fausse alarme sur l’échantillon j et pas de décalage de processus avant l’échantillon j, « E2 = »décalage de processus pendant l’intervalle s, pas de fausse alarme avant les intervalles et signal vrai sur l’échantillon j (j-s + 1er après le quart de travail). » Alors l’expression de la longueur de cycle attendue est:
La longueur de cycle prévue pour le diagramme de contrôle Shewhart généralisé doit également refléter les différences dans les événements de signal avant et après mh. E(g) peut être écrit comme suit:
Par conséquent:
Analyse du modèle
En référence au modèle de coût développé précédemment, les termes de coût sont des fonctions des variables de décision, des paramètres de coût et du paramètre de distribution. Deux des valeurs de décision de m et n sont contraintes d’être des entiers, tandis que k1 et k2 peuvent prendre des valeurs réelles. Comme Montgomery (1980) indique qu’une fréquence d’échantillonnage d’une heure est courante pour de nombreuses cartes de contrôle, h = une unité de temps est utilisée. Le comportement du modèle de coût est analysé numériquement. GINO (Lasdon & Warren, 1985) est utilisé pour examiner le comportement du modèle de coût sur des ensembles de paramètres raisonnables et l’algorithme de gradient réduit généralisé (GRG) est utilisé pour tenter de minimiser le coût total attendu par fonction de temps unitaire pour ces ensembles de paramètres. Les plages de paramètres évaluées sont énumérées ci-dessous.
(1) θ ∈(8, 200)
(2) δ = 0.522, l’ampleur du décalage dans la moyenne lorsqu’un décalage se produit. Cette valeur est choisie car elle correspond à une augmentation de la proportion non conforme de 0,01 à 0,02.
(3) ci = 1,0; 5,0
(4) cd ∈(1, 10)
(5) cf= 100
(6) r = 200, le taux de production
(7) ct = 10
Les plages de paramètres ci-dessus définissent les scénarios dans lesquels la performance économique de la norme et le graphique de contrôle de Shewhart généralisé sont étudiés. L’analyse numérique du comportement de la fonction de coût total par unité de temps attendue par rapport aux variables de décision pour une famille de plages de paramètres est examinée.
La fonction de coût total par unité de temps attendue est convexe en k pour toutes les plages des autres paramètres. De petites valeurs de k créent un coût total attendu élevé car un nombre excessif de fausses alarmes est donné. Cela peut dominer toute économie de coûts en raison de la détection rapide des quarts de travail. Les valeurs intermédiaires de k produisent le coût total attendu le plus faible car elles équilibrent les coûts de production non conforme avec le coût des fausses alarmes. De grandes valeurs de k fournissent des probabilités de détection de décalage réduites et donc des coûts de production non conformes de plus en plus importants. L’effet total est que le coût attendu diminue au minimum, puis augmente à nouveau à mesure que k augmente.
La fonction de coût total attendue est également convexe en n pour toutes les plages des autres paramètres. De petites valeurs de n impliquent des coûts d’échantillonnage faibles mais des coûts non conformes élevés, car les décalages ne sont pas détectés rapidement. Les valeurs intermédiaires de n équilibrent le coût d’échantillonnage avec le coût du produit non conforme pour obtenir le coût total attendu le plus bas. De grandes valeurs de n impliquent des coûts d’échantillonnage élevés, ce qui peut dominer les économies réalisées sur les coûts des produits non conformes grâce à de plus grandes probabilités de détection. Ces interprétations varient en fonction de l’importance relative de chaque catégorie de coûts, mais l’effet global est que la fonction de coût total attendue est convexe en n.
Les résultats ci-dessus pour n et k sont anticipés pour les cartes de contrôle Shewhart standard en général et confirmés pour les cartes de contrôle Shewhart généralisées. Le diagramme de contrôle de Shewhart généralisé a des caractéristiques que le diagramme de contrôle de Shewhart standard n’a pas. Les propriétés qui résultent de ces fonctionnalités supplémentaires sont maintenant explorées.
Le comportement du modèle en termes de variable de décision m, k1 et k2 est caractérisé par trois cas. Les grandeurs relatives des paramètres de coût dans chaque cas déterminent quel comportement est observé. Dans le cas un, la fonction de coût total par unité de temps attendue CT, affiche un comportement convexe dans chacune des variables de décision m, k1 et k2 et un minimum se produit à l’intérieur de la région réalisable convexe. Cela signifie que le graphique de contrôle des coûts minimum est une forme du graphique de contrôle de Shewhart généralisé. Dans le deuxième cas, CT est toujours convexe mais il a un minimum correspondant à une limite de m = 0 et k2 = k1 et il augmente strictement dans chacune de ces variables. Cela signifie que le tableau de contrôle des coûts minimum est un tableau de contrôle Shewhart standard sans modification des limites de contrôle. Dans le troisième cas, CT diminue strictement dans m et k2 et a un minimum à la limite k1 = k2 et m = ∞. Cela implique que le tableau de contrôle des coûts minimum est un tableau de contrôle Shewhart standard sans modification des limites de contrôle.
Conclusion
L’analyse présentée ci-dessus apporte plusieurs points intéressants. La première d’entre elles est que l’analyse du coût d’exploitation de tout type de tableau de contrôle doit être traitée avec beaucoup de soin, car la fonction de coût n’a pas toujours la régularité généralement supposée. Le choix des coefficients de coût, la distribution du temps de décalage et les paramètres de distribution ont une influence directe sur la performance de la fonction de coût total par unité de temps attendue. Les résultats importants de l’analyse effectuée montrent que le diagramme de Shewhart généralisé pour les moyennes peut être économiquement intéressant lorsque le coût de l’inspection, le coût du signal réel et le coût non conforme équilibrent ensemble la durée de cycle attendue et le coût de la fausse alarme. Lorsque c’est le cas, la fonction de coût total par unité de temps attendue est convexe avec un minimum intérieur et une opportunité d’optimisation du diagramme de contrôle de Shewhart généralisé. Lorsqu’un ou plusieurs des termes du modèle dominent les autres, le coût total attendu par unité de temps affichera le même comportement croissant ou décroissant que le facteur dominant et le modèle de coût généralisé tel qu’étudié dans cet article sera peu attrayant.
La deuxième conclusion est que tous les paramètres et variables du modèle sont importants pour la fonction de coût total par unité de temps attendue. Les limites de contrôle k1 et k2 ont un effet plus important que le paramètre de distribution θ et k2 a un effet plus important que k1. Il est également vrai que la taille de l’échantillon, n, et le moment du changement de la largeur des limites de contrôle, m, augmentent l’effet du paramètre de distribution, K1 et k2.
La conclusion finale est qu’il existe des applications de diagramme de contrôle pour lesquelles le modèle de coût est utile. Les valeurs des paramètres du processus de production qui affichent les relations les plus couramment rencontrées conduisent au tableau de contrôle de Shewhart généralisé ayant un coût inférieur au tableau de contrôle de Shewhart standard correspondant. Pour l’exemple de cas analysé ci-dessus, l’économie optimale est de 0,22 $ par article produit. Étant donné que le taux de production supposé est de 200 / heure, l’économie de 44 per par heure. Cette économie est spectaculaire et le tableau de contrôle généralisé de Shewhart mérite donc d’être poursuivi.